Traslación






descargar 39.74 Kb.
títuloTraslación
fecha de publicación27.12.2015
tamaño39.74 Kb.
tipoDocumentos
med.se-todo.com > Contabilidad > Documentos






Departamento de Ciencia y Tecnología

Universidad Nacional de Quilmes

DIPLOMATURA EN CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Roque Sáenz Peña 352 – (B1876BXD) Bernal – Buenos Aires – Argentina
Algebra y Geometría Analitica

Cátedra: Saslasvky




Aplicaciones de las Matrices a las Transformaciones del Plano


integrantes:



  • Diego Tomas Guastavino

  • Juan Pablo Ñáñez

  • Florencia Scialabba

  • Eugenia Madonia


Introducción
Una transformación en un plano, es una aplicación que hace corresponder a cada punto P de coordenadas (x,y) del plano, otro punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En consecuencia, cualquier conjunto de puntos F se puede transformar en otro conjunto de puntos F’.
A continuación veremos algunas de las transformaciones con las siguientes características:
Mantienen la forma y el Tamaño de la figura (son isometrías o movimientos rígidos).:
Desarrollo

Traslación:


La traslación es una de las Unicas Transformaciónes1 que NO es Lineal. Esto se debe a que no incluye en si porpiedades como la Aditividad y el producto por Número que hacen que una transformación sea Lineal.

En algebra lineal se al define como una  isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector , tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P' , tal que:


pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados.


La imagen anterior muestra como todo lo trabajado en la asignatura con Matrices permite la traslación de diferentes figuras. Por ejemplo si tenemos un cuadrilatero y lo queremos trasladar respecto de un Vector ( 2 8)T , se procede en colocar cada vertice del mismo de forma matricial y sumarle la coordenada del vector con el cual queremos trasladar y asi obtendremos las nuevas coordenadas tal como muestra la última columna del cuadro anterior.

Rotación:



Geométricamente una rotación en el plano representa una

Transformación ahora si Lineal que representa un giro de una figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, que puede estar o no dentro de la figura.

En álgebra lineal, una matriz de rotación es la matriz que representa una rotación en el espacio euclídeo. Por ejemplo, la matriz



Que representa la rotación de θ grados del plano en sentido antihorario.

Con esta Matriz se puede rotar cualquier punto del plano colocandolo en forma matricial de la siguiente manera:

al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario:



Donde al multiplicar la matriz por el vector. Se obtiene un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario:

Aunque en la mayoría de las aplicaciones se consideran rotaciones en dos o tres dimensiones, las matrices de rotación pueden definirse en espacios de cualquier dimensión. Algebraicamente, una matriz de rotación es una matriz ortogonal de determinante uno:



Las matrices de rotación son cuadradas y con valores reales. Sin embargo, se pueden definir sobre otros cuerpos.

Por ejemplo si queremos Rotar un cuadrilatero de coordenadas ( 6 5)T

( 10 5)T ( 7 12)T ( 4 8)T con respecto de un angulo de 60°. Se debe calcular la matriz de rotación para dicho angulos y luego multiplicarla por cada matriz de vértices y asi se obtienen las nuevas coordenadas de la rotación tal como muestra el grafico siguiente:



Simetría:


La simetria o reflexión es otra transformación lineal ocurrida en el plano que permite mediante la utilización vectorial y matricial reflejar diferentes objetos o curvas.

Ele cho de poder reflejarlos a traavez de un punto o una recta implica la existencia de un subconjunto dentro de estar transformación:

Simetría respecto a una recta

Geométricamente la reflexión de una figura en el plano respecto de una recta dada e, representa su imagen simétrica respecto a ella. La recta e se denomina eje de simetría.
Si un vector ( x y ) = ( rcos 0 rsen0 ) tiene longitud r y angulo genérico 0, el simetrico o reflejado respecto de una recta esta dado por la matriz de transformación:



Donde si se quiere calcular el reflejado de un vector por ejemplo ( 1 8)T con respecto de un angulo de 45 °. Se reemplaza este valor en la matriz y luego se lo multiplica por el vector.

Esta transformación tiene mucha aplicación por ejemplo en quimica ya que

El centro activo de la hemoglobina es un anillo de porfirina con un átomo de hierro (en rojo) en el centro. El "esqueleto" de este macrociclo de porfirina (marcado con líneas negras) está compuesto por átomos de carbono (morados) y nitrógeno (azules). Las esferas blancas representan átomos de hidrógeno, mientras que las marcadas de amarillo pueden ser diversos grupos orgánicos. Las líneas anaranjadas representan planos de simetría perpendiculares a la figura, mientras que el cuadrado amarillo del centro indica un eje de simetría cuaternario que coincide con la recta de intersección de los planos de simetría. Además de los elementos de simetría indicados, esta molécula (que es plana y cuyo anverso y reverso son equivalentes) posee ejes binarios, un plano de simetría que coincide con el plano del papel, y un centro de simetría que coincide con el punto donde se intersecan todos los otros elementos de simetría.



Simetría Axial

Es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierto eje y conteniéndolo presentan idénticas características.

Este tipo de Simetria posee una Matriz fija asignada a la transformación que no depende del angulo. Tal como indica la siguiente tabla :


Homotecia- Trasquilado



Geométricamente la homotecia es una transformación lineal que cambia el tamaño de un objeto sin variar su forma.

Sea E un espacio vectorial sobre una figura . Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecia de centro C y de razón k,envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:



La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación Lineal de la forma:



La anterior relación puede escribirse Matricialmente en el plano como:



Donde: ,  y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.


En muchos casos, suele denotarse como Tp X =p X donde:

  • si p >1 es una dilatación y amplifica la Figura.

  • Si 0 > p < 1 es una contracción y reduce la figura

  • si p= 1 es una reflexión respecto al origen

La transformación T = = Se llama Trasquilado. Los vectores del eje X quedan Fijos y los otros sufren una transformación proporcional su alejamiento en X.

Una transformación en un plano, es una aplicación que hace corresponder a cada punto P de coordenadas (x,y) del plano, otro punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En c o n s e c u e n c i a , c u a l q u i e r c o n j u n t o d e p u n t o s F s e p u e d e transformar en otro conjunto de puntos F mediante la utilización de matrices. Colocando cada uno de los puntos como elementos de la misma. Para ejemplificar esto se propone el siguiente ejemplo:

Donde se muestra una homotecia de razón -3 aplicada al triángulo ABC que lo transforma A1, B1, C1 mediante la utilización de matrices.

x =


Aplicaciones de las Matrices de la Homotecia:
Al fotocopiar un documento con la finalidad de ampliarlo o reducirlo, la máquina realiza el proceso de transformación del documento original mediante una homotecia de la razón necesaria por medio de matrices para obtener un“zoom”, que varía en diferentes porcentajes.
Conclusión

A partir del analisis del informe podemos concluir reafirmando la gran utilidad que poseen las matrices en las transformaciones en el plano.

Muchas de ellas suelen ser transformaciones Lineales que cuentan con una gran aplicación en el campo del Algebra lineal como asi en los sistemas de control. Sin embargo, toda tranformación viene respaldada por una matriz que permite la operación de manera simple y sin la necesidad de recurrir a la Geometria descriptiva.

Esto no solo nos permitió una gran ventaja para la matematica sino tmabien para las diferentes aplciaciones y situaciones cotidianas, donde una matri zesta presente. Por ejemplo en el diseo de ropa, en el armado de una habitación o el arte.

Bibliografía:

  • Algebra Lineal. A. Poole

  • Apuntes de cátedra de Algebra Lineal. Dr. Nicolás Coleff

  • Matemática Maravillosa: Matrices y Transformaciones. Tomo Fundación Polar



1 Se define a una Transformación como Lineal si verifica la Aditividad y el producto por numero. Es decir que la tranformada de una suma es la suma de los transformado y lo mismo con el producto


Medicina





Todos los derechos reservados. Copyright © 2015
contactos
med.se-todo.com