En el marco de la implementación del nuevo modelo educativo institucional, en el cual nos enfocamos en un proceso de enseñanza aprendizaje innovador, en donde






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Suponer valores de los coeficientes de fricción de cada tramo en el intervalo de 0.02-0.04.

Calcular la velocidad despejada en la ecuación (6).

Calcular la velocidad de los demás tramos a través de la ecuación de continuidad.

Calcular los números de Reynolds de cada tramo con sus respectivas velocidades y con sus rugosidades relativas, obtener nuevos valores de los coeficientes de fricción de cada tramo a través del diagrama de Moody o formulas de cálculo.

Repetir los pasos 2 al 4, hasta que los coeficientes de fricción de cada tramo converjan a una solución.

EJEMPLO 3

Del sistema serie mostrado en la fig. (4), determine el caudal

µ §

µ §

µ §

µ §

Primero hay que calcular las rugosidades relativas de las tuberías.

µ §

Por continuidad.

µ §

Sustituyendo estos datos en la ecuación (6):

µ §

Donde resulta

µ §

Despejando la velocidad de cálculo

µ §

Con los valores de los coeficientes de fricción se obtendrá un proceso iterativo y es conveniente tener expresiones de los números de Reynolds de cada tubería en función de la velocidad de cálculo µ § esto es:

µ §

µ §

Los cálculos iterativos se muestran en la tabla siguiente

ë©ûë©üV©ûV©üR©ûR©ü0.0250.0259.324.141.86*10v1.24*10v0.0250.0169.474.211.89*10v1.26*10v0.0250.016----

Entonces:

µ § Y µ §

El caudal:

µ §

FORMULA ALTSHUL

µ §

Formula de SWAUCE

µ §

µ §

µ §

SOLUCION DEL SISTEMA EN SERIE SEGÚN LA FORMULA DE HAZEN WILLIAMS

Si se utiliza la ecuación de Hazen Williams para resolver el problema de tuberías en serie se obtiene una expresión similar a la ecuación 6 donde la carga necesaria H estaría en términos del caudal. Para obtener esta ecuación se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B (ver figura 4)

Calculando las pérdidas por fricción en cada tubería:

µ §

µ §

En forma genérica para i-n tramos:

µ §

Las pérdidas locales se pueden expresar como:

Para la entrada:

µ §

En forma genérica para j-n accesorios:

µ §

En el caso de tratarse de una contracción brusca (reducción de diámetro) la pérdida local se expresaría:

µ §

Obsérvese que los µ § son constantes para un sistema de tuberías en serie, por lo tanto de la ecuación de Bernoulli resultara.

µ § (7)

En esta ecuación es posible distinguir dos casos:

Dado Q, encontrar la carga disponible.

Esta solución es directa, si se conoce las características física-geométricas (o sea los diámetros, longitudes, constantes de Hazen-Williams) es posible determinar los valores de las constantes µ § y sustituirlos en la ecuación (7), donde se obtiene el valor de H.

Se conoce la carga disponible del sistema en serie y se desea calcular el caudal trasegado.

De igual forma se determinan los valores de las constantes µ § y la ecuación (7), se transforma como:

µ § (8)

Lo cual puede ser resuelto por tanteo, o bien utilizando métodos numéricos tal como el método de Newton-Rarbpson.

Utilizando el proceso por tanteo, primero se busca un Q aproximado para comenzar estas; por ejemplo:

Como las exponentes son próximos entre sí, pondremos un promedio de estos como

µ § (9)

A continuación se da un ejemplo de aplicación del caso 2.

EJEMPLO 4

En la fig.4 del sistema en serie, calcúlese el caudal si la carga disponible es de 6.10m y los coeficientes de pérdidas locales son µ §Se obtienen las siguientes características:

µ §

Calculando los µ § de los tramos 1 y 2 seria:

µ §

µ §

µ §

µ §

Para las perdidas locales los µ § seria:

µ §

µ §

µ §

La ecuación a resolver resulta:

µ §

Donde el Q aproximado seria 0.02703 µ §

Resolviendo por tanteos

Qµ §0.027031.067310.024000.134630.02350-0.104160.02370-0.009160.023720.00039

Esto indica una discrepancia del 0.11% de la función del caudal. Lo que indica µ §.

Solución de un sistema de Tubería en serie por tubería Equivalente

El método de la longitud equivalente puede ser utilizado para resolver problemas de tuberías en serie, convirtiendo las perdidas en accesorios y todas las perdidas por longitud de otras tuberías a su equivalente a perdidas de fricción de un diámetro dado. Casi siempre se toma uno de los diámetros del sistema.

Longitud Equivalente por Perdidas por Longitud.

Según Darcy ¨C Weisbach

µ § (10)

Según Hazen-Williams

µ § (11)

Longitud Equivalente por Pérdidas Locales.

µ § (12)

En el caso cuando el caudal es desconocido los coeficientes de fricción se calculan por el régimen de turbulencia completa, ya que este coeficiente es constante con cualquier efecto de parte del número de Reynolds, por lo tanto la pérdida es mucho mayor. Según la fórmula de Darcy-Weisbach, en esta zona, las pérdidas son proporcionales a la carga de velocidad, si el diámetro y la longitud son constantes. Por lo tanto solo existe un coeficiente mayor correspondiente a su rugosidad relativa en la zona de turbulencia completa que produzca una perdida mayor, de esta forma aseguramos una longitud equivalente funcionable al sistema original. Después, el método de la longitud equivalente funcionable ocasiona un problema típico simple nuevo, donde el coeficiente de fricción nuevo se calcula por medio de iteraciones o por la ecuación de Coolebrook.

Veamos un ejemplo, en el caso de la fig.4 se reducirían las pérdidas de entradas del tanque de la izquierda, la expansión, la salida al tanque de la derecha y la tubería 2 por sus longitudes equivalentes de tubería 1. En este caso se tomo como tubería equivalente la tubería 1, bien se pudiese haber tomado la tubería 2.

EJEMPLO 5

Resuelva el ejemplo 3, usando tubería equivalente a la tubería 1.

Todos los accesorios y la tubería 2 deben sustituirse por su equivalencia de la tubería 1.

Calculo de los coeficientes de fricción de las tuberías:

µ §

µ §

µ §

Tuberías equivalentes:

Tubería 1:

Longitud equivalente a la tubería 1.

Entrada: µ §

µ §

µ §

Expansión: µ §

µ §

µ §

Tubería 2:

Longitud equivalente la tubería 2

Salida: µ §

µ §

Longitud equivalente de tubería 1.

Longitud: (µ §)

µ §

µ §

Podemos ahora tratar el problema considerando una tubería típica simple con las siguientes características:µ §

La ecuación de energía se reduce a

µ §

µ §

µ §

De donde:

µ §

La rugosidad relativa µ § y el número de Reynolds.

µ §

Asumiendo un valor de coeficiente de fricción de 0.020 y resolviendo iterativamente.

µ §µ §µ §0.020010.60µ §0.02469.55µ §0.02479.55µ §0.02479.55µ §Donde la µ § por lo tanto el caudal seria µ §

Este problema puede resolverse por medio de la ecuación de Coolebrook de forma directa.

EJEMPLO 6

Calcúlese el caudal que pasa por el sistema de la tubería en serie de la fig.4, sustituyendo la tubería 1 por su equivalente en tubería 2, sin considerar perdidas locales. Las características geométricas son: µ § La carga disponible H=10m.

Según Hazen-Williams

µ §

µ §

Entonces el sistema de tuberías en serie se sustituye por una sola tubería con las característica de la tubería 2, cuya longitud seria: 30+131.68 =161.68m.

El caudal seria:

µ § (13)

µ §

REGLA DE DUPUIT

La regla de dupuit permite calcular la relación longitud-diámetro de la tubería equivalente a un sistema de tubería en serie para flujo turbulento completamente desarrollado (turbulencia completa).

Según la fórmula de Darcy-Weisbach

Las perdidas por fricción pueden ser expresadas por

µ §

µ §

µ §

Considerando ahora el sistema de tubería en serie de la figura 6, la pérdida total en el sistema es

µ §

En la ecuación anterior se supone que ambas tuberías tienen un mismo valor de K. en forma genérica obtenemos para n tuberías

µ § (14)

Nótese que se supone que el valor de K es constante tanto en cada una de las tuberías en serie, así como en la tubería equivalente. Esto no es rigurosamente cierto puesto que el valor del coeficiente de fricción, que determina el valor de K, es función de la rugosidad relativa de cada tubería en la zona de turbulencia completa. Sin embargo, la ec. 13 se puede utilizar en cálculos aproximados en los problemas de tuberías en serie.

Figura

La regla de Dupuit, basada en la formula de DARCY-WEISBACH, es por lo tanto solamente una aproximación, siendo exacta únicamente cuando todas las tuberías (incluyendo la equivalente) tienen el mismo coeficiente de fricción.

Una formula más precisa para la regla de Dupuit, basada en la ecuación de DARCY-WEISBACH, debe incluir los coeficientes de fricción para cada tubería del sistema en serie, como

µ § (15)

Los valores de los coeficientes de fricción serán los correspondientes a la zona de turbulencia completa de las respectivas rugosidades relativas de cada tubería en el sistema en serie y la tubería equivalente.

SEGÚN LA FORMULA DE HAZEN-WILLIAMS.

La regla de Dupuit puede ser utilizada con respecto a la ecuación de Hazen-Williams

µ § (16)

EJEMPLO 7

Resuélvase el ejemplo 3, usando la regla de Dupuit. Despréciense las perdidas locales. Úsese un diámetro de 2 pies para la tubería equivalente. å=0.005 pie y viscosidad cinemática de µ §.

Las características geométricas de las tuberías son L©û=1000 pie, D©û= 2 pie, L©ü=800 pie, D©ü= 3 pie, H= 20 pie.

Obteniendo la validez de la regla de Dupuit:

µ §

µ §

µ §

De la ecuación de Bernoulli, se reduce el sistema de tuberías en serie a una tubería simple, obtenemos:

µ §

µ §

µ §

Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el valor del coeficiente de fricción,

µ §

µ §

El valor del coeficiente de fricción

µ §

µ §

µ §

Por lo tanto, el caudal seria de 30.07 pie³/s.

CAPITULO 3

TUBERIAS EN PARALELO

TUBERIAS EN PARALELO

Figura

Un sistema de tubería en paralelo ocurre cuando una línea de conducción se divide en varias tuberías donde cada una de ellas transporta una parte del caudal original de manera que al unirse posteriormente el caudal original se conserva .la figura 7 muestra un sistema de tubería en paralelo.

Las condiciones que un sistema de tubería en paralelo debe cumplir son:

Las sumas de los caudales individuales de cada tubería debe ser igual al caudal original, o sea

µ §

Las perdidas por fruición en cada tubería individual son iguales ,o sea:

µ §

Para los sistemas de tubería en paralelo se presenta dos problemas básicos:

Determinar el caudal en cada tubería individual del sistema, si se conoce la perdida por fricción.

Determinar la perdida de carga y distribución de caudales en la s tubería individuales, si se conoce el caudal original.

DETERMINACION DEL CAUDAL EN CADA TUBERIA INDIVIDUAL, SI SE CONOCE LA PERDIDA POR FRICCION

Según la fórmula de Darcy- Weisbach.

Para este caso la solución es de forma directa, ya que cada tubería del sistema en paralelo se analizara en forma individual, como una tubería simple donde las pérdidas de carga son iguales entre las tuberías y el coeficiente de fricción se determina utilizando la ecuación de Coolebrook

EJEMPLO 8

Si en la figura 6 las características geométricas de la tubería son µ § y å=0.012 cm (para todas las tuberías) determine los caudales en cada ramal y el caudal original para una pérdida de fricción de 5m de agua (viscosidad cinemática es 1*µ §

Para la tubería 1. (µ §)

µ §

µ §

El número de Reynolds correspondiente es

µ §

Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el coeficiente de fricción

µ §

µ §

µ §

la velocidad y el caudal de la tubería 1 seria:

µ §

µ §

Para la tubería 2. (µ §

µ §

µ §

El número de Reynolds correspondiente es

µ §

Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el coeficiente de fricción

µ §

µ §

µ §

La velocidad y el caudal de la tubería 2 seria:

µ §

µ §

Para la tubería 3. (µ §)

µ §

µ §

El número de Reynolds correspondiente es

µ §

Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el coeficiente de fricción

µ §

µ §

µ §

La velocidad y el caudal de la tubería 3 seria:

µ §

µ §

El gasto original seria:

µ §

Según la fórmula de Hazen William

Utilizando la ecuación de Hazen- William los ejercicios de aplicación se le deja al lector
µ §

DETERMINACION DE LAS PERDIDAS DE CARGA Y LA DISTRIBUCION DE CAUDALES EN LAS TUBERIAS, SI SE CONOCE EL CAUDAL ORIGINAL

SEGÚN LA FORMULA DE DARCY-WEISBASCH

En estos problemas se realizan de forma directa utilizando la ecuación de Hazen-Williams. Si se trabaja con la formula de Darcy-Weisbach entonces es necesario llevar a cabo un procedimiento iterativo para calcular los coeficientes de fricción.

Considerando que, las pérdidas de fricción en todas las tuberías en paralelo es la misma:

µ §

µ §

Escogiendo en caudal común (en este caso µ §) de las tuberías en paralelo, para resolver un sistema de ecuaciones obtenemos:

µ §

Aplicando el mismo procedimiento, se obtiene:

µ §

µ §

µ §

En forma genérica se obtiene las relaciones que se pueden expresar en forma genérica

µ §

µ §Según Darcy ¨CWeisbach

(17)

µ § Según Hazen Williams

Donde el coeficiente µ §, se calcula de acuerdo a las expresiones desarrolladas anteriormente, donde j indica el; caudal común de las tuberías en paralelo.

Para el sistema en paralelo se sabe que:

µ §

µ §

µ §

µ §

µ § (18)

Esta fórmula permite calcular µ § a partir del caudal original conocido y las características geométricas e hidráulicas de las tuberías en paralelo y posteriormente la perdida de friccion en cualquiera de las tuberías.

Cuando se trabaja con la ecuación de Hazen-Williams la solución del problema se determina con la resolución de la ecuación anteriores el caso de utilizar la ecuación de Darcy-Weisbach, las µ § estarian en función de los coeficientes de friccion en cada tubería en paralelo (sabemos que esto depende del caudal), por lo tanto hay que suponer los valores de estos coeficiente para cada tubería en paralelo entrando en sí, en un procedimiento iterativo hasta lograr la convergencia. Una buena pauta para suponer estos valores (coeficiente de fricción) es utilizar los valores de estos coeficientes en la zona de turbulencia completa que en la práctica, pocas veces será necesaria una segunda iteración.
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