Por Comprensión o de forma constructiva






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CONJUNTOS
Consideremos el siguiente ejemplo:



Entonces:

Notación: C

Relación de pertenencia:

2  C 8  C {1; 2}  C 5  C 6  C

Cardinal de un conjunto:

n(C) = 5

        1. DETERMINACION DE UN CONJUNTO

    1. Por Comprensión o de forma constructiva:

Ejemplo:

A = {x/x es un número natural par menor que 15}

B = {x/x es una vocal abierta}

C = {x/x Î N Ù 4 < x £ 7}

    1. Por extensión o de forma tabular:

Ejemplo:

Desarrollando los conjuntos que están escritos arriba por comprensión serán escritos por extensión así:

A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}

B = {a, e, o}

C = {5, 6, 7}

Observación: No todos los conjuntos se pueden determinar por comprensión y extensión a la vez.

Ejemplo:



Por comprensión, tenemos:



        1. CLASES DE CONJUNTO

POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS:

  1. Vacío o Nulo: se denota por: F ó {}

Ejemplo:

A = {x Î N/ 5 < x < 6}

Desarrollando por extensión será: A = {} o A = F

  1. Unitario o Singletón:

Ejemplo:

G = {x Î Z / - 4 < x < - 2}

Desarrollando por extensión será: G = {-3}

  1. Universal: (U)

Ejemplo: U

N

.1 .2

Z

Q*



R

3,25
C

.-3

.-7

Q
½
-3/7

Donde:

U = {-7 -3 ; ; 1; 2 ; ; 3,25} (Conjunto Universal)

N = { 1; 2 }

Z = {-7 -3 ; 1; 2 }

Q = {-7 -3 ; ; 1; 2 }

Q* = {}

  1. Finito

M = {x/x es una ciudad del Perú}

  1. Infinito

K = {x/x es un número natural}

POR LA RELACIÓN ENTRE LOS CONJUNTOS

  1. Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento común. Su gráfica es:

A Ç B = F
Ejemplo:

A = {1; 2; 4; 6}

B = {5; 8; 16; 3}

Entonces: A Ç B = F

  1. Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un elemento común (pero no todos). Su gráfica es:

A Ç B ¹ F

Ejemplo:

A = {5; 4; 6}

B = {5; 8; 16}

Entonces: A Ç B = {5} ¹ F

Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A Ì B ó B Ì A. Su gráfica es:


BÌA AÌB

Ejemplo:

A = {2; 3}

B = {2; 3; 5; 8}

Entonces: A Ì B

  1. Equipotentes o Equivalentes: Cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. (tienen el mismo número de elementos)

Ejemplo:

A = {5, 6, 8, 9}

¯ ¯ ¯ ¯

B = {m, b, g, k}

Entonces: n(A) = n(B) = 4

Luego: A y B son Conjuntos equivalentes

        1. CONJUNTO ESPECIALES

  • Conjunto de Conjuntos: También se le denomina "Familia de Conjuntos" y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos:

  • Ejemplo:

A = {{3}, {1, 4}, {6, 7}}

  • Conjunto Potencia: Se llama conjunto potencia de A (o conjunto de partes de A) al conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Se le denota por: P(A)

El número de elementos de P(A) está dado por: 2n, donde "n" representa el número de elementos del conjunto A.

Es decir:

n[P(A)] = 2n(A)

Ejemplo:

Si: A = {1, 3} y n(A) = 2 elementos

Þ n [P(A)] = 2n(A) = 22 = 4

Luego: P(A) = {F, {1}, {3}, {1, 3}}

        1. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

  • Relación de Inclusión: Es la relación que existe entre dos conjuntos:
    Se dice que "El conjunto A está incluido en el conjunto B (Se denota A Ì B), cuando todo elemento que pertenece al conjunto A también pertenece al conjunto B. Es decir:

A Ì B Û "x, xÎA Þ xÎB

Número de subconjuntos de A: n[P(A)] = 2n(A)

Ejemplo:

Si: A = {1; 2; 3} y n(A) = 3 elementos

Þ Número de subconjuntos de A: n [P(A)] = 2n(A) = 23 = 8

y P(A) = {F, {1},{2}, {3}, {1, 3} {1,2}, {2, 3}{1, 2, 3}}

Observación: Subconjunto Propio: Se dice que A es subconjunto propio de B si y solo si. A Ì B y A ¹ B.

Número de subconjuntos propios de A: 2n(A) - 1

  • Relación de Igualdad: Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos.

Es decir: A = B Û A Ì B Ù B Ì A

Ejemplo:

Sean: A = {1; 2; 3}

B = {x/x Î N Ù 0 < x £ 3}

Desarrollando por extensión al conjunto B se tiene: B = {1; 2; 3}

Luego A = B

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS


          1. Unión o Reunión (AÈB): A È B {x/x Î A ó x Î B}



Ejemplo:

Si: A = {1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}

Luego: A È B = A = {1; 2; 3; 4; 5}

Propiedades.

a) AÈB = BÈA b) AÈA = A c) AÌ(AÈB) d) AÈF = A

e) BÌ (AÈB) f) AÈU = U donde U = Conjunto Universal

          1. Intersección (AÇB): AÇB = {x/x Î AÙx Î B}



Ejemplo: Si A = {1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}

Luego: A Ç B = { 3 }

          1. Diferencia (A-B): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a "A" pero no al conjunto "B". Es decir:

A - B = {x/x Î A Ù x Ï B}

Ejemplo: Si A = {1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}

Luego: A - B = {1; 2 }

Propiedades:

a) A-B ≠ B-A b) A-A = F c) (A-B) Ì A d) A - F = A e) (B-A) Ì B

f) F - A = F h) (A-B) È (AÇB) = A

Gráficamente se tiene:



A-B B-A A-B B-A


A-B B-A =F

Observación: A - B = F = B - A Þ A = B

          1. Diferencia Simétrica (ADB): A D B = {x/xÎA ó xÎB; xÏ(AÇB)}

También:

ADB = (A-B)È(B-A)

ADB = (AÈB) - (AÇB)

Ejemplo:

Si: A = {1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}

Luego: A D B = { 1; 2; 4; 5 }

Propiedades:

  1. ADA = F

  2. ADF = A

  3. ADB = BDA

  4. Si: A y B son conjuntos disjuntos, entonces ADB = AÈB

  5. Si: B está incluida en A, entonces: ADB = A - B

          1. Complemento (A') (Aº): A' = {x/xÎU Ù xÏA}



A' A' A'

Ejemplo: Si A = {1; 2; 3} y U = {1; 2; 3; 4; 5}

Luego: A' = { 4; 5 }

Propiedades:

a) AÈA' = U b) AÇA' = F c) (A')' = A d) F' = U

Leyes de Morgan:

(AÈB)' = A' Ç B'

(AÇB)' = A' È B'

Observación: Tres conjuntos A, B y C que en un diagrama de Venn se representan secantes, mutuamente quedan divididos en siete regiones. El número de elementos de cada región de dichos conjuntos puede calcularse del modo siguiente:


Sólo A = n1 = n(A) – n(BC)

Sólo B = n2 = n(B) – n(AC)

Sólo C = n3 = n(C) – n(AB)

Sólo A y C = n4 =n(AC) – n(B)

Sólo A y B = n5 =n(AB) – n(C)

Sólo B y C = n6 =n(BC) – n(A)

A, B y C en conjunto = n7 = n(A BC)

ni A, ni B ni C = n8 = n(U) – n(A B C)


EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. De 180 alumnos de la U.M.B el número de los que estudian Matemática es el doble de los que estudian Lenguaje. El número de alumnos que estudian ambos cursos a la vez es el doble de los que estudian solo lenguaje e igual a los que no estudian algunos de esos cursos ¿Cuántos alumnos estudian sólo Matemática?

M L

2x

4x

x

2x

U(180)

Solución:

Tenemos

2x + 4x + 2x + x = 180

9x = 180

x = 20

Entonces:

Sólo Matemática llevan

4x = 80 alumnos

2. ¿Qué representa la región sombreada?

a) (A - B)  (A - C)

b) A – (B  C)

c) (A - B) – (A –C)

d) A  (C – B)





AUTOEVALUACIÓN


      1. Dados los conjuntos A = {2; 3; 5} B = {4; 2; 5} C = { 2; 3; 4; 5}. Determine la validez V ó falsedad F de las siguientes proposiciones:

i) A  B = A  C ii) [ ( B C) ( A-B )]  A iii) A B = C – (A  B)

a) FVV b) FFV c) VVV d) VFV e) FVF


      1. Sean los elementos : A = {2; 3; 4}; B = {2; 4; 6} y C = {1; 2; 3; 4}

Determinar el número de elementos de P si:

P = [(C – A) È (C – B)] È [(B-A) È (B-C)]
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


      1. Sean: U = {1; 2; 3; ...} A = {2x / x Î U Ù x £ 5}


¿Cuántos elementos tiene P(C)?
a)8 b) 16 c) 10 d) 4 e) 32

      1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos.

A = B =


      1. Escribir por comprensión el siguiente conjunto:


B =


      1. Para dos conjuntos M y N se cumple que:


n(M È N) = 8, además n[P(M)] + n[P(N)]=160. Determine n[P(M Ç N)]
a) 14 b) 15 c) 16 d) 4 e) 8


      1. Dados los conjuntos A y B que cumplen: n(A  B) = 12; n(B – A) = 1 y n(A U B) = 33. Calcular: 4[n (A  B)] – 3 [n(A – B)]


a) 13 b) 31 c) 5 d) 51 e) N.A.

      1. Si un conjunto tiene 4095 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene dicho conjunto?


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14


      1. Siendo A y B dos conjuntos, tales que: n(A È B) = 35; n(A – B) = 15; n(B – A) = 12. Hallar: 3[n(A)] – 2[n(B)] – n(AÇB)


a) 24 b) 21 c) 27 d) 18 e) 10



      1. Al determinar por comprensión el conjunto : P = {1, 2/5, 1/4, 2/11, 1/7}

Se obtiene:

  1. {1/2 (3n-5) / n Î N, 1 < n £ 5}

  2. {1/2 (3n – 5) / n Î z+, 1 £ n £ 5}

  3. {2/(3n-1) / n Î z+, 1 £ n £ 5}

  4. {2/(3n+1) / n Î N, 1 £ n £ 5}

  5. {2/(3n-1) / n Î N, 1 £ n < 5}




      1. Hallar (b + c)2 – a2. Si a, b y c se obtienen de los conjuntos iguales :

A = {a + 3; 7 – a} B = {a – 3; 13 – a} C = {2; b + c}
a) 39 b) 38 c) 8 d) 5 e) 38,5


  1. A y B son conjuntos finitos y se sabe que : n(AÇB) =1 ; n(B–A) = 4;

n[P(AÈB)] = 126 + n[P(AÇB)]. Hallar n(A).

a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3


  1. Sean A, B y C conjuntos tales que: A Ì C; C É B; n(A ÇB) = 30; n(A È B) = 90 ; n(A) = n(B) + 30 ; n(C) = 120. Determinar : n [(C – A) È (B – A)]


a) 55 b) 50 c) 45 d) 40 e) 36


  1. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes, se obtuvo 28 estudian inglés, 30 alemán, 42 francés, 8 alemán e inglés, 10 francés e inglés, 5 francés y alemán; 3 los 3 idiomas. ¿Cuántos solo estudian 2 idiomas?


a) 25 b) 34 c) 22 d) 20 e) 18

  1. En una investigación efectuada a 370 personas se determinó que:

20 personas leen Solamente la revista A.

10 personas leen Solamente la revista A y B.

40 personas leen Solamente la revista B y C

El número de personas que leen las revistas A, B y C es el doble de las que leen solamente la revista B, el cuádruplo de las que leen solamente la revista C y es 8 veces mayor de las que leen solamente la revista A y C. Hallar: El número de personas que leen solamente la revista B y la revista C. El número de personas que leen al menos 2 revistas.
a) 40 y 200 b) 200 y 50 c) 40 y 230 d) 230 y 60 e ) N.A


  1. De un grupo de estudiantes que rindieron exámenes los resultados fueron:10 aprobaron Matemática y Física; 07 aprobaron Matemática y Química; 09 aprobaron Química y Física, 17 aprobaron Matemática; 19 aprobaron Física; 18 aprobaron Química y 4 aprobaron los 3 cursos. ¿Cuántos alumnos rindieron exámenes? y ¿Cuántos aprobaron sólo 1 curso?


a) 31 y 2 b) 32 y 10 c) 33 y 12

d) 32 y 14 e) 32 y ninguno


  1. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. ¿Qué fracción no son ni morenas, ni tienen ojos azules?


a) 9/10 b) 3/10 c) 2/15 d) 1/6 e) 1/5


  1. Se tiene 2 conjuntos comparables A y B los cuales tienen uno 3 elementos más que el otro, el número de sus conjuntos potencias difieren en 3584. Calcular el cardinal de la unión de ambos conjuntos.


a)8 b) 17 c)10 d)11 e)12


  1. Un club de deportes tiene 38 frontistas, 15 pimponistas y 20 tenistas. Si el número total de jugadores es 58 y solo 3 de ellos practican los 3 deportes. ¿Cuántos jugadores practican solamente un deporte?


a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46


  1. ¿A qué operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico?


a) (B È C) – A A B

b) (B Ç A) – C

c) (A Ç C) – B

d) (A È C) – B

e) (B Ç C) – A C

A

C

B

¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada?

a) (AB)  C

b) (AB) - C

c) (AB) – C

d) (AC)B

e) (AC) – B

A

B

C

¿Qué relación conjuntista expresa mejor la siguiente región sombreada?

a) (AB)  (BC)

b) (A - C)  (B - C)

c) (BA’)  C

d) (AC)  B

e) (A’C’)  B


  1. De un grupo de 60 personas, los que leen “El Comercio” y “La República” son:

1/3 de los que leen “El Comercio”

1/5 de los que leen “LA República”

Si 4 no leen estos diarios ¿Cuántos leen solo El Comercio”?
a) 24 b) 15 c) 16 d) 14 e) 10.


  1. De un grupo de 36 invitados a una fiesta, se sabe que 18 son argentinos, 8 peruanos y 19 son músicos. De los músicos 4 no son, ni argentinos, ni peruanos, además 5 son músicos peruanos. ¿Cuántos de los artistas no son peruanos?


a) 15 b) 14 c) 13 d) 22 e) 11


  1. En un grupo de 70 personas, 32 saben inglés, 26 castellano, 37 alemán, 6 inglés y castellano, 9 castellano y alemán y 12 inglés y alemán. ¿Cuántos saben los 3 idiomas?


a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 15


  1. De un grupo de profesores se sabe que el 65% trabajan en colegios nacionales, 420 profesores solo en colegios particulares, y el 20 % en colegios particulares y nacionales. ¿Cuántos profesores son en total?


a) 630 b) 840 c) 700 d) 1200 e) 3500


  1. Para estudiar la calidad de un producto se consideran 3 defectos A, B y C como los más importantes. Se analizan un grupo de ellos con el siguiente resultado: 33 productos tienen el defecto A; 37 productos tienen el defecto B; 44 productos tienen el defecto C; 53 productos tienen exactamente un defecto y 7 productos tienen exactamente 3 defectos. ¿Cuántos productos tienen exactamente 2 defectos?


a) 48 b) 32 c) 22 d) 20 e) 18


  1. En un campeonato escolar de atletismo se reunieron 180 atletas de los cuales 35 participaron en la carrera de 100m., 20 participaron en los 400m. y 14 corrieron los 800 m. Si sólo 15 atletas no corrieron estas distancias, entonces los que participan en más de una de estas pruebas fueron :

a) 11 b) 15 c) 14 d) 7 e) N.A


  1. En una muestra recogida a 200 transeúntes se determinó lo siguiente:

60 eran mudos 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos, de éstos últimos 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. ¿Cuántos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?
a) 40 b) 30 c) 25 d) 45 e) N.A


  1. De 55 alumnos que estudian en la UMB se obtuvo la siguiente información: 32 alumnos estudian el curso A, 22 alumnos estudian el curso B, 45 alumnos estudian el curso C y 10 alumnos estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian simultáneamente dos cursos?


a) 23 b) 25 c) 20 d) 28 e) N.A


  1. De 120 familias encuestadas en el balneario de Pimentel para determinar el diario que leen, se sabe que 48 leen "La Industria" y 85 leen "Norteño". ¿Cuántas familias leen un solo diario?


a) 107 b) 13 c) 72 d) 35 e) N.A.


  1. En un evento internacional el 60% de las participantes habla inglés y el 25% habla castellano. Si el 20% de los que hablan inglés hablan también castellano y son 1200 los que hablan sólo inglés, ¿Cuántos no hablan inglés ni castellano?


a) 645 b) 625 c) 715 d) 675 e) N.A.

Walter Orlando Gonzales Caicedo


Walter Orlando Gonzales Caicedo

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