La definición de la informática educativa, parte de la definición de Informática que se entiende como la ciencia que realiza un tratamiento automático y






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Ejemplos


Consideremos el caso de un tópico algebraico favorito de cualquier profesor: la factorización de expresiones algebraicas. La descomposición en factores sigue siendo muy importante. Después de todo, el Teorema Fundamental del Álgebra es un teorema sobre descomposición en factores. Este teorema es central para una buena comprensión matemática, al igual que las importantes conexiones que existen entre los factores, las intersecciones de la gráfica con el eje http://www.mat.uson.mx/calculadora/awaitsjrjr_archivos/image002.gif, los ceros de la función, y el comportamiento de la función. La Fig. 1 muestra el resultado de aplicar el comando factor( del dispositivo CAS al polinomio cúbico dado:

 

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Figura 1. Un ejemplo de factorización mediante CAS

 

 

La verdadera importancia matemática de este resultado no es el procedimiento mismo de descomponer en factores. ¡En cierto sentido, realmente no nos preocupamos de cómo se ejecuta el procedimiento mientras se haga correctamente! Lo que es realmente importante es que los factores (por inspección) nos dan las soluciones a la ecuación "expresión" = 0 y nos revelan mucha más información sobre el comportamiento de la función polinomial, que la forma no descompuesta en factores. La forma no descompuesta en factores nos da una cierta comprensión global (el polinomio cúbico se comporta como http://www.mat.uson.mx/calculadora/awaitsjrjr_archivos/image005.gif para http://www.mat.uson.mx/calculadora/awaitsjrjr_archivos/image002.gif grande), y la intersección con el eje http://www.mat.uson.mx/calculadora/awaitsjrjr_archivos/image007.gif. Sin embargo, la forma descompuesta en factores nos da mucha información sobre el comportamiento local (las intersecciones con el eje http://www.mat.uson.mx/calculadora/awaitsjrjr_archivos/image002.gif y una cierta idea sobre la existencia y localización de los extremos). También podríamos explorar las conexiones entre los factores, los ceros, y la gráfica del polinomio según lo muestra la Fig. 2.

 

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Figura 2. Explorando las conexiones.

 

 

Para nosotros es claro que la tecnología CAS relativamente barata cambiará la naturaleza del estilo actual de los “cálculos” en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, de un enfoque casi exclusivamente centrado en la manipulación de símbolos a papel y lápiz a un enfoque más equilibrado, según lo mencionamos anteriormente. Claramente, en el futuro aún necesitaremos de las habilidades apropiadas de cálculo mental, un poco de manipulaciones simbólicas de papel y lápiz y además, creemos, de una gran cantidad de manipulaciones simbólicas asistidas por computadora. Por ejemplo, en el pasado era práctica común en álgebra requerir que todos los cálculos, como “Realizar la operación indicada y simplificarla: http://www.mat.uson.mx/calculadora/awaitsjrjr_archivos/image011.gif”, fueran ejecutados con métodos de papel y lápiz. En el futuro se reconocerá comúnmente que una herramienta CAS (como la TI-92) o un software CAS como MAPLE™ en una PC proporcionarán el método de cómputo apropiado. En el pasado, tal fue el caso con el cálculo de sin 20.125º usando la interpolación de los datos de una tabla con lápiz y papel, que fue sustituida por una calculadora científica como herramienta. Para la comunidad matemática, negar el cambio inevitable es como esconder nuestras cabezas en la arena.

 

Habrá algunas sorpresas interesantes a lo largo del camino en la medida en que nos movamos hacia un enfoque más balanceado con respecto al uso de tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo, usando el mismo problema del párrafo anterior, el resultado de introducir el problema en la línea de edición de la calculadora TI-92 y enseguida presionar ENTER es totalmente inesperado (para la mayoría de los estudiantes), como lo muestra la Fig. 3.

 

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Figura 3. ¡Sorpresa!

 

La TI-92 hizo automáticamente una descomposición en fracciones parciales “que apunta” hacia el Cálculo. Lo que los estudiantes usualmente esperan es lo que se muestra en el segundo panel de la Fig. 3, y que se obtiene usando el comando CAS comDenom(. Algunos incluso pudieran esperar el resultado mostrado en el primer panel de la Fig. 4, que se obtiene usando el comando factor( de álgebra por computadora de la TI-92.

 

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Figura 4. Algunos comandos CAS en acción.

 

 

Nótese que la factorización exhibida es trivial (racional). Ningún estudiante esperaría el resultado mostrado en el segundo panel de la Fig. 4, que resulta de usar la sintaxis factor(expresión, x) en la misma expresión. Esta sintaxis pide a la TI-92 los factores reales. La moraleja de esta breve excursión es que hay una cuestión de aprendizaje y entendimiento tanto para el estudiante como para el profesor al usar cualquier sistema CAS.

 

Otro ejemplo de “fracción parcial” tomado del Cálculo implica el uso del comando expand( de la TI-92 como un procedimiento de caja negra. La Fig. 5 muestra el resultado de aplicar el comando CAS expand( a una función racional simple, que difícilmente podría esperarse que alguien fuera capaz de integrar mentalmente. ¡Nótese que ahora es muy fácil integrar el resultado (una descomposición en fracciones parciales), encontrando mentalmente las antiderivadas de cada término a partir de conocimientos básicos de integración!.

 

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Figura 5. Una descomposición en fracciones parciales y una integración mediante CAS.

 

 

El resultado de aplicar el comando CAS integrate(antes de la descomposición CAS en fracciones parciales se muestra en el segundo panel de la Fig. 5 solamente para comprobar nuestras habilidades de “integración mental”. Aquí utilizamos el procedimiento de integrar como un procedimiento de caja blanca. Es decir, permitimos el uso de algún tipo de cómputo algebraico, no del Cálculo, como procedimientos de caja negra, mientras que no permitimos ningún procedimiento de integración de tipo caja negra (hasta que sea aprendida la habilidad o el concepto). El principio de caja blanca/caja negra fue introducido primeramente por el profesor Bruno Buchberger del Instituto de Investigación para el Cómputo Simbólico de Linz, Austria. Este magnífico principio es presentado detalladamente, junto con otros excelentes ejemplos, en el libro de Heugl, Klinger y Lechner (Addison-Wesley Publishing Company, 1996).

 

Creemos que los profesores definitivamente deben continuar enseñando técnicas de factorización, de descomposición en fracciones parciales, de integración, etcétera, así como qué significan y por qué son útiles. Sin embargo, las herramientas que utilizarán para “factorizar”, “descomponer en fracciones parciales”, “integrar”, etcétera, incluirán tanto a las herramientas CAS como a las herramientas mentales y de papel y lápiz. Esto significa que los profesores deben enseñar los viejos y cómodos tópicos tradicionales pero que deben emplear mucho menos tiempo en los métodos de papel y lápiz (manipulaciones) y mucho más tiempo en las herramientas CAS y los nuevos temas de matemáticas que resultan posibles con estas herramientas. Nuestra acometida no debe consistir en suprimir los tópicos tradicionales, sino en reducir el tiempo invertido en ellos y cambiar las herramientas empleadas en tales tópicos, así como agregar algo del nuevo contenido de las matemáticas que tales herramientas han hecho posible.

 

 
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