I. teoria de colas: lineas de espera. Jackeline Henao, Juan Ignacio Pérez, William Andrés Pérez. Direccion de operaciones y toma de decisiones. IntroduccióN




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fecha de publicación29.08.2016
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UNIVERSIDAD CATOLICA DE ORIENTE, INGENIERIA INDUSTRIAL.




I.
TEORIA DE COLAS: LINEAS DE ESPERA.



Jackeline Henao, Juan Ignacio Pérez, William Andrés Pérez.

DIRECCION DE OPERACIONES Y TOMA DE DECISIONES.



INTRODUCCIÓN


En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.

Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc.
El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

II.HISTORIA



El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.


III.OBJETIVOS TEORIA DE COLAS.


• Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.
• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
• Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
• Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

IV.DEFINICION.


En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio.

Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable.

En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.

La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas. Véase figura 1.



Figura 1.




V. ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS

A. Fuente de entrada o Población potencial.


Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio. Véase figura 2.

B.Cliente.


Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0 Véase figura 2.


C.Capacidad de la cola.


Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma. Véase figura 2.

D.Disciplina de la cola.


Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. Véase figura 2.


E.Mecanismo de servicio.


Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno. Véase figura 2.


Figura 2.

VI. ESTRUCTURAS TIPICAS DE SISTEMA DE COLAS.




Figura 3.


Figura 4.



Figura 5.


Figura 6.

VII.NOTACION KENDALL.


Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre sino que son de naturaleza estocástica o probabilística. Es decir los tiempos de llegada y de servicio deben describirse a través de distribuciones de probabilidad y las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que e comportan los tiempos de llegada o de servicio.

En teoría de líneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones de probabilidad bastante comunes, están se mencionan a continuación:



Markov



Determinística



General

La distribución de Markov, en honor al matemático A.A. Markov quien identifico los eventos "sin memoria", se utiliza para describir ocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de los eventos pasados.

Una distribución determinística es aquella en que los sucesos ocurren en forma constante y sin cambio.

La distribución general sería cualquier otra distribución de probabilidad. Es posible describir el patrón de llegadas por medio de una distribución de probabilidad y el patrón de servicio a través de otra.

Para permitir un adecuado uso de los diversos sistemas de líneas de espera, kendall, matemático británico elaboro una notación abreviada para describir en forma sucinta los parámetros de un sistema de este tipo. En la notación Kendall un sistema de líneas de espera se designa como

A / B / C

En donde

A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada.

B = se sustituye por la letra que denote la distribución de servicio.

C = se sustituye por el entero positivo que denote el número de canales de servicio. 


VIII.FORMULACION DEL MODELO.




A.Modelo M/M/1 Este sistema trata de una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio Markoviano, y un servidor.


Llegadas aleatorias (M / M / 1)

En las situaciones cotidianas es fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que las llegadas serán aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia.

 Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipo especial pueden describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de Poisson. Este tipo especial de llegadas aleatorias supone características acerca de la corriente de entrada. En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema.

En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria".

Si conocemos el número promedio de ocurrencias por periodo, podemos calcular las probabilidades acerca del número de eventos que ocurrirán en un periodo determinado, utilizando las probabilidades conocidas de la distribución de Poisson.

En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:

 

P[n llegadas en le tiempo T] =

Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la probabilidad de que haya solo 3 llegadas durante una hora está dada por:

P[6 llegadas en le tiempo en una hora] = = 0.0892

 Tiempo de servicio aleatorio (M / M / 1)

Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios aleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes de memoria se describen a través de una distribución de probabilidad.

La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio aleatorios es que estos se describen a través de una distribución continua en tanto que las llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta. Si la duración de los tiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial negativa describe ese tipo de servicio. Si la m es la tasa promedio de servicio entonces la distribución esta dada por:

F(t) = m e-m t

Es posible emplear esta fórmula para calcular la probabilidad de que el servicio sea más prolongado que alguna duración especificada de tiempo T. En la siguiente figura se representa es modelo.

Características de operación

Para calcular las características de operación de una cola M / M / 1, primero debemos de observar que sí l = tasa promedio de llegadas y m = tasa promedio de servicio, entonces l debe de ser menor que m. Si esto no ocurriera el promedio de llegadas sería superior al número promedio que se atienden y el número de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande. Si hacemos que r = l / m puede denominarse a r como factor de utilización. Este valor es la fracción promedio de que el sistema este ocupado, también sería el número promedio de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de probabilidad tendríamos que:

Pw = probabilidad de que el sistema esté ocupado.



Entonces la probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío, P0, puede obtenerse por medio de:

 

A partir de esto podemos obtener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema, Pn, mediante:



En donde n es cualquier entero no negativo. Este importante resultado nos permite calcular las características de operación de las líneas de espera.

La primera característica de operación que calculamos es el número promedio de unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas. Denominaremos a este número promedio de unidades promedio, L. Entonces tenemos que:



Con estos valores obtenidos podemos calcular el número promedio de unidades que esperan ser atendidas, Lq. Dado que L es el número de unidades que están esperando o están siendo atendidas, y r es el número promedio de unidades que están siendo atendidas en algún momento dado entonces:

L = Lq + r

 A partir de esto es fácil observar que

Lq = L - r

O también podríamos decir que



Ahora examinaremos el tiempo de espera. Utilizaremos W para representar el tiempo promedio o esperado que una unidad se encuentra en el sistema. Para encontrar W, observaremos que se L el número esperado de unidades de en le sistema y l es el número promedio de unidades que llegan para ser atendidas por periodo, entonces el tiempo promedio de cualquier unidad que llega debe estar en el sistema está dado por:

W = tiempo promedio de una unidad en el sistema



De manera similar, el tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida, Wq, esta dado por:



En la siguiente figura se representa este modelo.

 

B.Modelo M/M/S. Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples, teniendo las mismas consideraciones que le modelo de canal único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de entrada que alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio.


El cálculo de las características de la línea de espera para el modelo M / M / S es algo más complicado que los cálculos para el caso de canal único, y dado que primordialmente nos interesa las implicaciones de estas características más que las formulas necesarias para calcularlos, nos apoyaremos en el uso de tablas elaboradas a partir de estas formulas para hacer los cálculos. 

 Características de operación.

En el modelo M / M / S, si m es la tasa promedio de servicio para cada uno de los S canales de servicio, entonces ya no se requiere que m > l , pero Sm debe ser mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En el caso de M / M / S, la característica que se utilizará para hacer los demás cálculos es la probabilidad de que el sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es de que haya S o más unidades en el sistema. En este caso todos los canales de servicio se estarán utilizando y por ello se dice que el sistema está ocupado. Esto de puede representar como: 

P(Sistema ocupado) =

 Y lo podemos calcular por medio de la siguiente ecuación:

P(Sistema ocupado) =

En donde Po estará representado por



Con las ecuaciones anteriores podemos calcular los demás datos que requiera el sistema. En el modelo M / M / S, al igual que el modelo M / M / 1, se tiene que L = Lq + r, pero aquí utilizaremos el valor P(sistema ocupado) para calcular Lq:

Lq = P(sistema ocupado) x

Ahora calcularemos el valor L

Lq = P(sistema ocupado) x

En el caso de M / M / S, al igual que en el modelo M / M / 1, W = L / l y Wq = Lq / l , por ello se tiene que





En la siguiente figura se representa este modelo.


C.Modelo M/G/1.


Descripción.

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera.

En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio.

La razón por la que podemos considerar el caso M / G / 1 es que las formulas que se utilizan para calcular sus características de operación son bastantes simples. Al igual que en el caso M / M / S, no es posible calcular en forma directa el numero esperado de unidades en el sistema (L). Para esto primero debe de calcularse el número de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), y utilizar este resultado para calcular el valor de L. Para calcular el valor de Lq debemos de conocer le valor de la desviación (s ) estándar de la distribución que distingue los tiempos de servicio. Si no se conoce la distribución de los tiempos de servicio no es posible determinar las características de operación.

Ahora si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse fórmula para el valor de Lq a partir de la siguiente ecuación.



Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:



Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1, podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:





IX. CONCLUSIONES.

La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.
 
Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes.
 
La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.
 
Pero si utilizamos el concepto de "clientes internos" en la organización de la empresa, asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de organización empresarial "just in time" en el que se trata de minimizar el costo asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva.

X. BIBLIOGRAFIA


Arbonas, M.E. Optimización Industrial (I): Distribución de los recursos. Colección Productica No. 26. Marcombo S.A, 1989.
Arbonas, M.E. Optimización Industrial (II): Programación de recursos. Colección Productica No. 29. Marcombo S.A, 1989.
Moskowitz,H. y Wright G.P. Investigación de Operaciones. Prentice_Hall Hispanoamericana S.A. 1991.
Buffa, E: Operations Management: Problems and Models. Edición Revolucionaria, La Habana, 1968.





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