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ECUACIONES DIFERENCIALES



UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

CREAD – LORICA

TABLA DE CONTENIDO



  1. Generalidades.------------------------------------------------------------------------------ 3



    1. Nombre del curso---------------------------------------------------------------------- 3

    2. Programa---------------------------------------------------------------------------------- 3

    3. Área----------------------------------------------------------------------------------------- 3

    4. Semestre---------------------------------------------------------------------------------- 3

    5. Créditos----------------------------------------------------------------------------------- 3

    6. Pre – requisitos------------------------------------------------------------------------- 3



  1. Introducción--------------------------------------------------------------------------------- 3

  2. Objetivos educativos---------------------------------------------------------------------- 4

  3. Justificación---------------------------------------------------------------------------------- 5

  4. Competencias por núcleo problémico----------------------------------------------- 5

  5. Metodología----------------------------------------------------------------------------------- 6

  6. Recursos--------------------------------------------------------------------------------------- 7



    1. Físicos-------------------------------------------------------------------------------------- 7

    2. Tecnológicos----------------------------------------------------------------------------- 7

    3. Audiovisuales---------------------------------------------------------------------------- 7

    4. Telecomunicaciones------------------------------------------------------------------ 7



  1. Sistemas de evaluación------------------------------------------------------------------ 8

  2. Criterios de evaluación------------------------------------------------------------------- 8

  3. Preguntas frecuentes-----------------------------------------------------------------------8

  4. Glosario--------------------------------------------------------------------------------------- 8

  5. Bibliografía---------------------------------------------------------------------------------- 13

  6. Contenidos---------------------------------------------------------------------------------- 14



  1. Cronograma--------------------------------------------------------------------------------- 18

    1. Unidades de aprendizajes-----------------------------------------------------------18

    2. Encuentros presenciales------------------------------------------------------------ 19

    3. Foros--------------------------------------------------------------------------------------- 19

    4. Chats--------------------------------------------------------------------------------------- 19

    5. Protocolos-------------------------------------------------------------------------------- 19

    6. Proyecto de aula------------------------------------------------------------------------ 19

    7. Video conferencias-------------------------------------------------------------------- 19

    8. Eventos------------------------------------------------------------------------------------ 19





  1. GENERALIDADES.

    1. Nombre del curso: CB09401Ecuaciones Diferenciales

    2. Programa: Ingeniería de Sistemas

    3. Área: Formación profesional

    4. Semestre: Cuarto

    5. Créditos: 6

    6. Pre – requisitos: CB09301Cálculo Integral

  2. INTRODUCCIÓN.

En las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar como varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.

Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa, de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas

La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales, esto es, ecuaciones en las que además de la función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos órdenes.

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones.

Sucede con frecuencia que las leyes que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, leyes que representan un problema económico y otros, se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

.

  1. OBJETIVOS EDUCATIVOS:

OBJETIVO GENERAL:

Desarrollar en los estudiantes las habilidades y destrezas necesarias para plantear y resolver problemas propios de la Ingeniería de Sistemas, de otras disciplinas y de la vida cotidiana, aplicando las Ecuaciones Diferenciales, de igual forma orientarlos en el manejo y uso de herramientas tecnológicas que le faciliten la solución de problemas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

  • Identificar los diferentes tipos de Ecuaciones Diferenciales a partir del grado y número de variables implicadas en ellas.

  • Plantear Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones dadas de las ciencias y/o del mundo de la vida. de variables implicadas en ellas.

  • Resolver Ecuaciones Diferenciales utilizando el método adecuado.



  1. JUSTIFICACIÓN

La historia de las matemáticas está ligada al desarrollo integral del hombre, y es así como sus progresos son agentes influyentes en el avance de las demás ciencias. Por tanto, el desarrollo del algebra básica, las ecuaciones y las funciones desde la antigüedad, con los aportes de los Babilonios, los Hindúes y los Griegos, hasta llegar a los trabajos de los árabes, y en la época más moderna (siglo XVI en adelante) con los italianos Feerrari, Cardano y Bombelli, y los franceses Vieté, Fermat y Descartes; estos temas permitieron desarrollos conceptuales para el mundo moderno pero, es Isaac Newton quien trata inicialmente las Ecuaciones diferenciales para estudiar el movimiento planetario.

El estudio de las Ecuaciones Diferenciales, que se inició, en la práctica después de Newton, fue progresando a medida que se avanzó en las ciencias naturales, especialmente en la física. De tal manera que como se observa a continuación muchos problemas importantes de la física se plantean en forma de Ecuaciones Diferenciales, así por ejemplo, la ley del movimiento de Newton (1687), las ecuaciones de Euler para Hidrodinámica (1775), de Laplace (Laplace 1782), de Lagrange para Mecánica Analítica (1788), de Poisson (1812), la de conducción del calor (Fourier 1812), la de Maxwell para electrodinámica (1864), la ecuación de Schrödinger para mecánica cuántica (1926).

Actualmente las Ecuaciones Diferenciales no solo se utilizan en el campo de la física, sino también en el de la Ingeniería, de la Química, Economía, Agronomía, etc., de ahí que su estudio sea indispensable para la especulación de toda ciencia natural.

  1. COMPETENCIAS POR NUCLEO PROBLEMICO

NUCLEO PROBLEMICO 1: El uso del lenguaje matemático.

COMPETENCIAS (COMUNICATIVA):

  • Establece diferencias entre el lenguaje matemático y el lenguaje semántico de un problema.

  • Apropia la simbología matemática y establecer la importancia de esta.

  • Plantea una problemática en lenguaje matemático.

  • Propone solución a problemas con el uso del lenguaje matemático.

NUCLEO PROBLEMICO 2: Planteamiento y resolución de problemas.

COMPETENCIA:

  • Crea y usa diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas utilizando Ecuaciones Diferenciales.

  • Genera procedimientos distintos a los sugeridos por el tutor para plantear y solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas, utilizando Ecuaciones Diferenciales.



  1. METODOLOGÍA.

Atendiendo al Plan Integral del Curso en busca de optimizar el aprendizaje autónomo, el colaborativo y tutorial, el estudiante contará con la asesoría permanente del tutor en sus espacios presenciales y a través de los distintos medios propios del estudio a distancia, como son el foro, el chats, correo electrónico, entre otros.

A lo largo del desarrollo del Plan Integral del Curso se le dedicarán las fuentes de información necesarias para dar cumplimiento a las exigencias del programa, las fuentes complementarias con sus bibliografías, las actividades que determina el tutor, los protocolos, foros, chats prácticas e investigaciones que deben ser desarrolladas y analizadas para afrontar las evaluaciones programadas, a través del uso de técnicas para el aprendizaje autónomo.

Las tutorías presenciales se desarrollaran fundamentadas en los protocolos presentados por los grupos de trabajo en los foros y retroalimentados por cada uno de los integrantes de los otros grupos con el fin de encontrar procesos de pensamiento colectivo para lo cual usted, señor estudiante debe participar de las actividades propuestas.

Para el aprendizaje tutorial, será el tutor encargado de dirigir, orientar, moderar, ser cuestionador o desequilibrador del conocimiento con el fin de optimizar los ejercicios, consultas, foros y sesiones de chats donde participan los estudiantes.

Sugiero planear el trabajo académico semanal así:

Iniciar con un proceso de consultas comprensivas en solitario (buscar un lugar tranquilo en la casa y colocarle, de ser posible, una tablilla que diga “Universidad de Cartagena”, así sentirá que asiste a la universidad todos los días y no solamente los sábados). Elaborar un protocolo individual con las comprensiones e incomprensiones, hallazgos, etc., para llevar al encuentro del pequeño grupo. El pequeño grupo debe elaborar un protocolo colectivo con las comprensiones, incomprensiones, hallazgos, etc., para participar en los foros que deben ser a más tardar el jueves, antes de la tutoría.

La educación a distancia nos exige desarrollar nuestras potencialidades, para alcanzar total autonomía, en el proceso auto formativo, esto implica realizar esfuerzos dirigidos por sí mismo de acuerdo a principios éticos y morales. Es por ello, que le invitamos a presentar de manera auténtica y transparente sus actividades durante el proceso de formación.

Recuerde que como parte de su rutina de estudio semanal, debe ingresar a cada uno de estos espacios en donde encontrará descritas las actividades a realizar. Además de compartir los objetivos y los medios, para el aprendizaje en este ambiente, es vital compartir los principios de respeto mutuo. Destacamos lo siguiente:

  • La cortesía y la amabilidad en las comunicaciones: aunque uno no esté de acuerdo con las ideas del otro, no tiene sentido volver personal una argumentación; siempre es posible dar una retroalimentación acerca de las ideas, sin necesidad de agredir.

  • Auto gestiona tu aprendizaje: eres el principal gestor de tu proceso de aprendizaje.

  • Trabajo en equipo: intercambia información, opiniones, puntos de vista con los compañeros del curso y el tutor.

  • Puntualidad: entrega a tiempo el desarrollo de tus actividades de acuerdo al cronograma establecido.



  1. RECURSOS

    1. FÍSICOS:

  • Aula de clase equipada con sillas cómodas.

    1. TECNOLÓGICOS:

  • Plataforma virtual MOODLE.

  • Paginas web.

    1. AUDIOVISUALES:

  • Video Beam

  • Aula inteligente.

    1. TELECOMUNICACIONES:

  • Chats

  • Foros

  • Correo electrónico

  • Celular



  1. SISTEMA DE EVALUACIÓN

La evaluación en el contexto de la formación profesional a distancia busca el fomento del auto aprendizaje, auto formativo y autónomo del estudiante, por lo tanto se tendrá en cuenta la escala general de calificación que está determinada por los valores que van de cero a cinco, considerando una nota aprobatoria de tres en adelante.

Se tomará una nota de seguimiento correspondiente al 30%, para esto se tendrá en cuenta: investigaciones, protocolos, foros, chats, etc. El 70% restante corresponde a un examen final sobre la temática vista en el desarrollo del curso.

Tenga en cuenta que una nota igual o mayor a dos pero menor que tres se pude habilitar pero, menor que dos no se puede habilitar. Tampoco se pude habilitar cuando se obtiene en tres o más asignatura una nota menor a dos.

  1. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

  • Puntualidad en la entrega de protocolos

  • Contenido en los protocolos entregados

  • Número de participaciones y profundidad de la participación en la plataforma Moodle.

  • Pertinencia de la participación.

  • Desarrollo de la evaluación final (proceso)



  1. PREGUNTAS FRECUENTES.

  • ¿Cómo podemos aplicar las E.D. en la Ingeniería de Sistemas?

  • ¿De qué manera las E.D. proporcionan utilidad en el análisis de una situación de la Ingeniería?



  1. GLOSARIO

Condiciones Iniciales

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) = y1,...,y(n1) (x0) = y(n1) se llaman condiciones iniciales.

Condiciones De Linealidad

Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n1).

Las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales son:

i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1.

ii) Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.

Conjunto Fundamental De Soluciones

Todo conjunto y1, y2,..., yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

Dependencia O Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0, para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Ecuación Auxiliar

Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden ay + by + cy = 0 (2)

Si probamos con una solución de la forma y = emx, entonces y = memx, y = m2emx, de modo que la ecuación (2) se transforma en am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx (am2 + bm + c) = 0

Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática am2 + bm + c = 0

Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica.

Función Complementaria

La combinación lineal yc(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x), que es la solución

general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces, Y = función complementaria + cualquier solución particular.

Diferencial Exacta

Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Dependencia O Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) = 0

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Derivadas Totales.

En algunos casos x, y no son variables independientes en la función Q=f(x,y) ya que tanto x como y pueden estar en función de una tercera variable t es decir, X =f (x), y = f(t) valores que se sustituyen en la función Q, esta se convierte en una función de una sola variable “t” y su derivada puede encontrarse de manera ordinaria o mediante la expresión.

De la misma forma se obtiene para una función de un número cualquiera de variables, esto es:

Ecuaciones Exactas.

La igualdad M (x,y) dx + N(x,y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta el primer

miembro es una diferencial total.

Es decir: Si df = fxdx + fydy por lo tanto fxdx + fydy = 0 es una ecuación diferencial exacta y fx = M(x,y), y fy = N(x,y).

Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es hallar una función f(x,y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada.

Ecuación Integral Con Factor Integrante.

Si existe una función F(x,y) tal que f(x,y)M(dx) + f(x,y)N(dy) = 0 es exacta entonces f(x,y) se llama factor de integración de la ecuación diferencial Mdx + DNI = 0

Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios factores de integrantes es decir, puede convertirse en exacta.

Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial

Y’ + P(x)y = f(x)yn n es cualquier número real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal.

Ecuaciones Lineales No homogéneas

Toda función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7) se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante yp = 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y + 9y = 27.

Ecuación Diferencial

Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una ecuación diferencial.

Factor Integrante

El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo Bernoulli para poder obtener su solución.

Familia De Curvas

Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la función, genera una familia de curvas.

Función Seccionalmente Continua

Una función es continua por tramos en [ 0, ") si, en cualquier intervalo 0 " a " t " b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk , k = 1, 2, .... , n (t k1< t k ) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto t k1< t < t k.

Fracciones Parciales

Usted ya sabe como combinar dos o más expresiones racionales a fin de obtener una expresión racional mediante adición o sustracción.

En ocasiones es necesario invertir el proceso, es decir, representar una expresión racional simple como una suma de dos o más cocientes simples, denominado fracciones racionales.

En cálculo se necesita hacer esto a fin de efectuar la operación de integración de algunas funciones racionales. Con frecuencia se emplean sistemas de ecuaciones para descomponer una expresión racional en fracciones parciales.

H(x) = P(x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se asumirá que se tiene una fracción propia, esto es, una fracción por la cual el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Si se tiene una función racional para la cual el grado del numerador no es menor que el grado del denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el denominador hasta que se obtenga una fracción propia.

Función Homogénea

Cuando una función f tiene la propiedad F(tx,ty) = ta f(x,y) Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado.

Intervalo De Convergencia

Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia, que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie.

Operador Diferencial

En calculo, la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula; esto es dy/Dx = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función

Punto Ordinario

Se dice que un punto xo es punto ordinario de la ecuación diferencial si P(x) y Q(x) son analíticas en x0.

Punto Singular

Se dice que un punto que no es ordinario es un punto singular de la ecuación. Es singular real si tanto (x - x0)P(x) como (x - x0)Q(x), son analíticas en xo. Se dice que un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación.

Soluciones Explicitas e Implícitas

Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función .

Solución General

Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, ya,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n paramétrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.

Solución Particular

Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia mono paramétrica y = cex también satisface la ecuación.

Solución Singular

En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular.

Teorema De Existencia Y Unicidad

Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d, que contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces existe un intervalo I,

Series De Potencias

Una serie de potencias en x - a es una serie infinita de la forma . También, se dice que esa serie es una serie de potencias centradas en a.

  1. BIBLIOGRAFÍA

ZILL, Dennis, CULLEN, Michael. Ecuaciones Diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Thomsom-Learning. México, 2002

CAMPBELL, Stephen y HABERMAN, Richard. Introducción a las ecuaciones

diferenciales. Mc Graw Hill, México 1998

DIPRIMA, Boyce. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.

Limusa. México 1998

KREYZIG, Erwin. Matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol. 1. Limusa. México 2000

TAKEUCHI, RAMIREZ, RUIZ. Ecuaciones Diferenciales. Limusa, Bogotá, 2.000



  1. CONTENIDOS:

CONCEPTUAL (SABER)

PROCEDIMENTAL

ACTITUDINAL (SABER SER)

COMPETENCIAS

  • INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

  • Conceptualización de una ecuación diferencial

  • Resolución de una ecuación diferencial

  • Clasificación de las ecuaciones diferenciales

  • Campos de aplicación de las ecuaciones diferenciales

  • Precisa las características en cuanto a tipo, orden, grado y linealidad de una ecuación diferencial.

  • Reconoce una ecuación diferencial y hallar una solución general de una ecuación diferencial de primer orden

  • Actitud critica.

  • Aprecio por la cultura y las matemáticas.

  • Cultura por el trabajo en equipo.

  • Creatividad e imaginación.

  • Observar el grado de compromiso respecto a las tareas y trabajos propuestos.

  • Motivación, responsabilidad, puntualidad.

  • Organización mental de las ideas.

  • Capacidad de aportar su trabajo personal al trabajo en grupo.

  • Solución de Problemas.

Establece diferencias entre el lenguaje matemático y el lenguaje semántico de un problema.

 Apropia la simbología matemática y establecer la importancia de esta.

 Plantea una problemática en lenguaje matemático.

 Propone solución a problemas con el uso del lenguaje matemático.

 Usa diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas utilizando Ecuaciones Diferenciales.

 Genera procedimientos distintos a los sugeridos por el tutor para plantear y solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas, utilizando Ecuaciones Diferenciales.

  • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

  • De variables separables

  • Homogéneas

  • Ecuaciones exactas

  • El factor integrante

  • Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

  • Identifica una ecuación diferencial de variables separables de orden 1 y halla la solución general de dicha ecuación.

  • Identifica una ecuación diferencial homogénea y halla la solución general.

  • Reconoce una Ecuación diferencial exacta de primer orden y halla la solución general.

• Actitud critica.

• Aprecio por la cultura y las matemáticas.

• Cultura por el trabajo en equipo.

• Creatividad e imaginación.

• Observar el grado de compromiso respecto a las tareas y trabajos propuestos.

• Motivación, responsabilidad, puntualidad.

• Organización mental de las ideas.

• Capacidad de aportar su trabajo personal al trabajo en grupo.

• Solución de Problemas.

Establece diferencias entre el lenguaje matemático y el lenguaje semántico de un problema.

 Apropia la simbología matemática y establecer la importancia de esta.

 Plantea una problemática en lenguaje matemático.

 Propone solución a problemas con el uso del lenguaje matemático.

 Usa diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas utilizando Ecuaciones Diferenciales.

 Genera procedimientos distintos a los sugeridos por el tutor para plantear y solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas, utilizando Ecuaciones Diferenciales.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

  • Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden.

  • Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden

  • Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes

  • Ecuaciones diferenciales lineales no homogénea con coeficientes constantes

  • Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden.

  • Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

  • Determina cuando sea posible un factor integrante que permita reducir una ecuación diferencial de primer orden exacta y no exacta y halla la solución.

  • Reconoce una ecuación diferencial de BERNOULLI y halla una solución general de dicha ecuación.

• Actitud critica.

• Aprecio por la cultura y las matemáticas.

• Cultura por el trabajo en equipo.

• Creatividad e imaginación.

• Observar el grado de compromiso respecto a las tareas y trabajos propuestos.

• Motivación, responsabilidad, puntualidad.

• Organización mental de las ideas.

• Capacidad de aportar su trabajo personal al trabajo en grupo.

• Solución de Problemas.

Establece diferencias entre el lenguaje matemático y el lenguaje semántico de un problema.

 Apropia la simbología matemática y establecer la importancia de esta.

 Plantea una problemática en lenguaje matemático.

 Propone solución a problemas con el uso del lenguaje matemático.

 Usa diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas utilizando Ecuaciones Diferenciales.

 Genera procedimientos distintos a los sugeridos por el tutor para plantear y solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas, utilizando Ecuaciones Diferenciales.

ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

  • SERIES DE POTENCIAS

  • Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias

  • SERIES DE TAYLOR

  • Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de Taylor

  • Utiliza series de potencia para hallar la solución de una ecuación diferencial.

  • Aplica las series de Taylor para hallar la solución general de una ecuación diferencial.

• Actitud critica.

• Aprecio por la cultura y las matemáticas.

• Cultura por el trabajo en equipo.

• Creatividad e imaginación.

• Observar el grado de compromiso respecto a las tareas y trabajos propuestos.

• Motivación, responsabilidad, puntualidad.

• Organización mental de las ideas.

• Capacidad de aportar su trabajo personal al trabajo en grupo.

• Solución de Problemas.

Establece diferencias entre el lenguaje matemático y el lenguaje semántico de un problema.

 Apropia la simbología matemática y establecer la importancia de esta.

 Plantea una problemática en lenguaje matemático.

 Propone solución a problemas con el uso del lenguaje matemático.

 Usa diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas utilizando Ecuaciones Diferenciales.

 Genera procedimientos distintos a los sugeridos por el tutor para plantear y solucionar problemas de la ingeniería o de otras disciplinas, utilizando Ecuaciones Diferenciales.



  1. CRONOGRAMA:

TUTORÍAS

FECHA

HORA

ACTIVIDAD

OBSERVACIONES

14072012

10:20 – 12.30

Introducción a las E. Diferenciales.




21072012

10:20 – 12.30

E. Diferenciales de variables separables.




28072012

10:20 – 12.30

E. Diferenciales homogéneas.




04082012

10:20 – 12.30

E. Diferenciales exactas.




11082012

10:20 – 12.30

E. Diferenciales de segundo orden.




18082012

10:20 – 12.30

Aplicación de las E. Diferenciales en el planteamiento y solución de problemas.




25082012

10:20 – 12.30

Estudio de series y funciones especiales (opcional)




EVENTOS

NOMBRE

DESCRIPCIÓN

FECHA

HERRAMIENTA

Introducción a las E. Diferenciales

Cada equipo de trabajo debe elaborar un protocolo sobre este tema y colocarlo en la plataforma. Todos deben participar aportando ideas pertinentes que aclaren o amplíen una duda sobre el tema

Inicio: 15072012

Fin: 20072012

Plataforma Moodle o correo.

Los equipos de trabajo deben responder las preguntas frecuentes, ¿cómo podemos aplicar las E. Diferenciales en la ingeniería? ¿De qué manera las E. Diferenciales proporcionan utilidad en el análisis de una situación de la ingeniería?

Los equipos de trabajo “CIPAS”, deben focalizar una situación problema de la región que permita utilizar las ecuaciones diferenciales para plantearla y resolverla. Esta investigación debe constituirse en el trabajo final. A través de la plataforma Moodle, si está habilitada, o del correo jpmartinezmil@hotmail.com, hacen llegar los siguientes elementos: La situación problema a trabajar, caracterización del problema, justificación y objetivos.

Inicio:

23072012

Fin:

26072012

Plataforma Moodle o correo.





























































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