Preâmbulo






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João Batista



R
evisões de Trigonometria


“Não tenho aqui espaço suficiente para dar a explicação completa.”

Pierre de Fermat (1601-1665), matemático francês


Índice

Preâmbulo 5

1. Ângulos 6

1.1. Ângulo trigonométrico 6

1.2. Classificação de ângulos 7

1.3. Arcos de circunferência 8

2. Triângulos 9

2.1. Semelhança de triângulos 9

2.2. Classificação de triângulos 10

3. Trigonometria e relações trigonométricas 11

3.1. Teorema de Pitágoras 11

3.2. Relações trigonométricas de ângulos 12

3.3. Fórmula fundamental da trigonometria 13

3.4. Um problema de trigonometria 14

4. Seno, coseno e tangente como funções reais de variável real() 16

5. Propriedades importantes das funções trigonométricas 18

5.1. Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave 18

5.2. Paridade das funções trigonométricas 19

5.3. Sinal das funções trigonométricas 19

5.4. Monotonia das funções trigonométricas 21

5.5. Redução ao primeiro quadrante 23

5.6. Periodicidade das funções trigonométricas 24

5.7. Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas 25

6. Relações importantes de funções trigonométricas 28

6.1. Fórmulas de adição e subtracção 28

6.2. Fórmulas de duplicação 29

6.3. Fórmulas de bissecção 29

6.4. Fórmulas de transformação 29

7. Funções trigonométricas inversas 32

7.1. Arco seno: arcsen(a) 32

7.2. Arco coseno: arccos(a) 33

7.3. Arco tangente: arctg(a) 33

7.4. Arco co-tangente: arccotg(a) 33

7.5. Resumo: domínio e contradomínio das funções trigonométricas inversas 33

8. Resolução de algumas equações trigonométricas 34

8.1. Resolução de equações de funções trigonométricas do tipo f(x) = y 34

8.2. Exemplo 35

8.3. Funções trigonométricas inversas 35

9. Derivadas de funções circulares e respectivas inversas 36

9.1. Estudo do 36

9.2. Derivadas de funções trigonométricas 37

9.3. Derivadas de funções trigonométricas inversas 38

9.4. Resumo das derivadas de funções trigonométricas e trigonométricas inversas 39

10. Exercícios resolvidos 41

Bibliografia 44



Preâmbulo


Este texto resume os assuntos respeitantes a trigonometria e geometria do plano leccionada no ensino público secundário, do 9º ao 12º ano. Como tal, não se discutem neste texto funções trigonométricas hiperbólicas – seno hiperbólico, coseno hiperbólico, etc. – que são abordadas em contextos adequados, mais especificamente ao nível de cursos superiores de Matemática e Física. Pressupõe-se que o leitor possui já conhecimentos razoáveis sobre as matérias abordadas. Para um maior aprofundamento, recomenda-se a consulta de livros de texto aprovados e usados nas escolas, tais como os indicados na bibliografia.

Esta é uma segunda versão do texto original, datado de Setembro de 1997. Foram feitas revisões e acréscimos relativamente à primeira versão – essencialmente, esta revisão consistiu numa profunda remodelação do aspecto visual. Foi incluído um capítulo com alguns exercícios resolvidos, no final, dos quais se recomenda uma reflexão adequada à compreensão dos passos envolvidos. É desejável que o leitor tente resolver os exercícios antes de ler a resolução possível apresentada (porque em geral, como em muitas outras coisas na Matemática, existe habitualmente mais que uma resolução). De facto, identificar mais que uma resolução, e comparar as várias possíveis, pode revelar-se útil no desenvolvimento de técnicas de solução de problemas.

Alguns parágrafos são de leitura opcional em virtude da sua utilização pouco frequente na maior parte das aplicações em Trigonometria, e foram introduzidos apenas com o intuito de providenciar uma revisão dos conceitos neles abordados. Assim, os seguintes parágrafos poderão ser ignorados sem grande prejuízo para a revisão de conhecimentos fundamentais:

1.2.b. Classificação de ângulos quanto ao posicionamento (relativamente a outros ângulos)

1.3. Arcos de circunferência

2.1. Semelhança de triângulos

Declaração


Este texto é do domínio público, e pode ser distribuído livremente desde que as seguintes condições sejam respeitadas:

  1. O meu nome e elementos de contacto não poderão ser removidos, substituídos, alterados, ou de outro modo deliberada ou acidentalmente omitidos por terceiros ao divulgar, modificar ou corrigir este texto.

  2. Eventuais correcções a este texto por parte de terceiros deverão ser devidamente assinaladas pelos respectivos autores. A eles cabe acrescentar numa página nova no texto, que em momento algum poderá ser omitida, o(s) seu(s) nome(s), pelo menos um contacto, a data, e onde foi feita a correcção.

  3. Nenhuma compensação, monetária, em géneros, ou qualquer outra, poderá ser obtida a partir da divulgação deste texto, salvo para cobrir as despesas necessárias à cópia e distribuição do texto (e.g. fotocópias, suporte informático – como disquetes –, ou outro meio que sirva para armazenar e permitir a leitura deste texto).

Consciente de que estas condições são razoáveis, espero que sejam respeitadas integralmente. O conhecimento é um património que não tem dono e como tal deve ser divulgado sem restrições.

João Miguel Nobre Batista

Setúbal, Novembro de 2000

Como contactar o autor


Pode contactar o autor deste texto pelo endereço, telefone, endereço de correio electrónico ou página de Internet seguintes:

João Miguel Nobre Batista

Avenida Luísa Tódi, 110, 2ºEsq.

2900-450 Setúbal

Tel. 265 228 384 / 91 427 0853

email: jmnbpt@yahoo.com

Web: www.geocities.com/jmnbpt

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