Universidad iberoamericana a. C. Maestría en ingeniería de calidad






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Superficies de Respuesta P. Reyes / Julio 2005

  • UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA A.C.



MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE CALIDAD


APLICACIONES DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN AL ANÁLISIS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA


PRIMITIVO REYES AGUILAR
Abril, 2000

La técnica de superficies de respuesta se ha utilizado principalmente en las industrias de proceso y químicas, donde después de realizar un diseño de experimentos para identificar las variables relevantes, se hace un estudio posterior en los rangos relevantes de las variables con objeto de optimizar el proceso. Para la optimización, si las variables de control son dos o tres cuantitativas, se puede optimizar el proceso.
IDEAS BASICAS
Suponiendo que se tiene un sistema con una variable de respuesta y que depende del nivel de varias variables de entrada: . Se asume que los niveles de las ’s pueden ser controladas con un error despreciable. El experimento se realiza con las variables de diseño , las cuales son simples transformaciones de las ’s. Cada tratamiento puede ser representado por un punto con coordenadas ( ) en un espacio factorial de k – dimensiones, en cada punto es observado un valor de . Donde:
; el denominador es la diferencia entre niveles de ’s.
En general la respuesta es una función de las variables de entrada:

Esta función es desconocida y a veces complicada.
El procedimiento básico de superficies de respuesta consiste en aproximar la función con un polinomio de bajo orden y usar datos de una muestra para aproximar por el método de mínimos cuadrados, los coeficientes del polinomio.
I. SUPUESTOS BASE
Los supuestos básicos son:


  1. Existe la estructura , y es complicada o desconocida.

  2. Las variables son cuantitativas y continuas.

  3. La función verdadera puede ser ajustada en la región de interés por un polinomio de bajo orden.

  4. Las variables de diseño ( ) son controladas y medidas sin error.


La meta del análisis de superficies de respuesta es:


  1. Encontrar una función de ajuste adecuada con el propósito de predecir respuesta futura.

  2. Hallar los niveles de las variables de entrada para los cuales, en cierto sentido, la respuesta es optimizada.


Si se realiza un experimento con variables de diseño ( ) representado las variables de entrada , se puede obtener una aproximación satisfactoria de a partir de los términos de bajo orden la serie de expansión de Taylor alrededor del punto .

Se toma un modelo de primer orden cuando el experimentador está interesado en analizar en una región angosta de , con poca curvatura presente. En términos de las variables se tiene:

La ecuación de estimación para este modelo de primer orden es:

donde son estimadores muestrales de
Escribiendo la ecuación en forma matricial se tiene:
y = b0 + x’ b
en donde:
x = ; b =

De otra forma, el experimentador podría usar la función de aproximación de segundo orden, tomando los términos de primero y segundo orden de la expansión, se tiene el polinomio cuadrático siguiente:

son del modelo de primer orden
= coeficiente cuadrático de la variable i
= coeficiente de interacción de las variables i, j.
La ecuación de estimación para este modelo, en forma matricial se puede escribir como:
y = b0 + x’ b + x’ B x , donde la matriz B, es:

B =

II. ANÁLISIS DE LA SUPERFICIE AJUSTADA
Habiendo encontrado y probado un polinomio que aproxime la función de respuesta, el próximo paso es buscar las características esenciales de la superficie ajustada, como sigue:
Se puede calcular el punto en el cual y es un máximo, un mínimo o un punto en una silla, se le denomina punto estacionario (x0 )ya que la derivada vale cero.
De la ecuación general para la estimación de la respuesta:
y = b0 + x’ b + x’ B x
Las coordenadas del punto estacionario x0 se encuentran por derivación parcial de la ecuación de primer orden para la respuesta estimada, quedando como:
x0 = - B -1 b / 2
donde b y B se obtienen de la ecuación de estimación.
el valor de y, y0 en el punto estacionario se encuentra substituyendo x0 en la ecuación de estimación, quedando como:
y0 = b0 + ( x’ b ) / 2

**** poner figuras 5.3 y 5.5

III. EJEMPLO NUMERICO
Un químico realiza un experimento para observar el efecto de la temperatura Tp y el tiempo de reacción Tm, sobre el rendimiento de un proceso utilizado para producir antibióticos. El experimento es como sigue:

Tratamiento Tp Tm

1 20 20

2 20 50

3 20 80

4 50 20

5 50 50

6 50 80

7 80 20

8 80 50

9 80 80

Transformando los datos para encontrar las variables de diseño x1i , x2i

con la fórmula:

Se tiene la siguiente tabla de valores:

Bloques

Tratamiento x1 x2 I II III Totales
1 -1 -1 13.66 13.16 15.05 41.87

2 -1 0 12.23 13.84 11.85 36.92

3 -1 1 7.97 10.19 8.38 26.54

4 0 -1 16.98 13.42 14.29 44.69

5 0 0 13.8 15.55 13.92 43.27

6 0 1 12.86 18.27 15.00 46.13

7 1 -1 10.00 10.01 11.10 31.11

8 1 0 10.88 12.18 11.13 34.19

9 1 1 13.28 10.06 11.96 35.30

Totales 111.96 115.78 112.68 340.02

Haciendo un análisis de varianza preliminar con los datos anteriores para el diseño en bloques aleatorios se tiene:
La suma de cuadrados total es:

SST = 13.662 + 13.162 + ....... + 10.062 + 11.962 - (340.06)2 / 27
SST = 154.1606 con N –1 grados de libertad gl = 26
La suma de cuadrados para los 9 tratamientos es:

SSt = [41.872 + 36.922 + ....... + 34.192 + 35.302] / 3 - (340.06)2 / 27
SSt = 118.3145 con i – 1 grados de libertad gl = 8
La suma de cuadrados de los 3 bloques es:

SSb = [111.162 + 115.782 + 112.682 ] / 9 - (340.06)2 / 27
SSb = 0.907 con j –1 grados de libertad gl = 2
Para el error se tiene:
SSe = SST – SSt – SSb = 154.1606 – 118.3145 – 0.9704
SSe = 34.8757
Para la formación de la tabla ANOVA se calculan las sumas promedio cuadradas MS y el estadístico F como:
MSt = SSt / gl t
MSb = SSb / gl b
F = ( MSt o MSb ) / MSe
Por tanto se tiene:
TABLA ANOVA
Fuente Suma de grados de Cuadrados estadístico

de variación cuadrados libertad medios F
Total 154.1606 26

Bloque 0.9704 2 0.4852

Tratamiento 118.3145 8 14.7893 6.78**
Error 34.8757 16 2.1797 .
** significativo al nivel de 1% con F de tablas = 3.9, p = 0.000

Como los dos factores de tratamiento son variables cuantitativas, probaremos si se puede aproximar una superficie de respuesta usando un polinomio cuadrático como una ecuación ajustada para describir la superficie.
Utilizando un modelo de segundo orden, la ecuación de estimación para dos factores que aproxime la superficie de respuesta es:

La matriz básica de diseño (X) para este experimento se muestra a continuación:


X =
El patrón anterior es repetido tres veces para los tres bloques.
Las ecuaciones normales para este experimento son:
X’ X b = X’ y

donde:

X’ X = 3 x
X’ X = ; b =

X’ y = =
Por tanto de la ecuación X’ X b = X’ y se tiene:

=
La solución para b = (X’ X)-1 X’ y, por tanto:

b = =
La suma de cuadrados SSR de la regresión para la superficie ajustada (con corrección en la media) es:
SSR = b’ X’ y -
donde:

b’ X’ = x
=

Entonces b’ X’ y es:
b’ X’ y =

b’ X’ y = 4394.7113
Con los valores anteriores, calculando SSR se tiene:

SSR = 4394.7113 – 4281.9852 = 112.7561

La suma de cuadrados para la falta de ajuste, SSLF es:
SSLF = SST –SSR = 118.3145 – 112.7261 = 5.5884
El análisis de varianza ANOVA final con la suma de cuadrados de tratamientos particionados en un componente asociado con la superficie ajustada y un componente asociado con la falta de ajuste es:

TABLA ANOVA
Fuente Suma de grados de Cuadrados estadístico

de variación cuadrados libertad medios F
Total 154.1606 26

Bloque 0.9704 2 0.4852
Superficie 112.7561 5 22.5452 10.34**

ajustada
Falta de 5.5844 3 1.8628 0.85 NS

ajuste
Error 34.8757 16 2.1797 .
** significativo al nivel de 1% con F de tablas = 3.9, p = 0.000

NS, no significativo
De la tabla de ANOVA se observa que la superficie ajustada contiene una cantidad significativa de la variación de la respuesta, mientras que la falta de ajuste no es significativa. La proporción de la variación total en respuesta contenida en la superficie de respuesta es:
R2 = SSR / Sstot = 112.726 / 154.1606 = 0.73
La ecuación que describe la superficie en términos de las variables de diseño es:

x’b +x’Bx

Para analizar en más detalle la superficie, encontramos el punto estacionario , donde:
x0 = (-B-1 b )/2 = -
con y0 calculada como sigue:
y0 = b0 + (x0‘ b) /2 = 15.35 +
Como ambos coeficientes bii, bij son negativos, el punto estacionario es un máximo.
La ecuación final cuadrática que describe la superficie de respuesta es:

donde
y = resultado de salida de antibiótico
Tp = temperatura (ºC)
Tm = tiempo de reacción (min.)

  1. INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA (RSM)


La RSM es un conjunto de técnicas con el objeto de:


  1. Preparar una serie de experimentos que proporcionen una medición adecuada y confiable de la respuesta de interés.

  2. Determinar un modelo matemático que mejor ajuste los datos colectados del diseño seleccionado en (1), realizando pruebas de hipótesis apropiadas en relación con los parámetros del modelo, y

  3. Determinar el ajuste óptimo de los factores experimentales que produzcan el valor máximo o mínimo de la respuesta.


Para evaluar el efecto de ciertos factores en el comportamiento de una variable de respuesta medible, se utiliza la regresión, la cual ayuda a establecer una relación empírica entre la variable de respuesta y los factores de influencia. La variable de respuesta es la variable dependiente y es llamada la respuesta, los niveles de los factores de influencia se denominan, regresores, explicatorios o variables de entrada.


(a)

(b)


0

x1
Fig. 1.1 Modelos de polinomios, (a) línea recta, y (b) parábola
La función de la respuesta de predicción Y-gorro está en función de los parámetros estimados b0, b1, b2, etc., estableciéndose como sigue:

La superficie de respuesta está representada por la ecuación de predicción, por ejemplo para el caso de una ecuación de segundo orden se tiene:


donde las x’s son variables codificadas. Con k factores la superficie de respuesta es un subconjunto de un espacio euclidiano de (k + 1) dimensiones.
La representación del contorno de una superficie de respuesta son las líneas o curvas de respuesta constante en función de las variables de entrada X’s.
La región de operación es el espacio factorial donde se realizan los experimentos y la región experimental de interés R representa una parte limitada de la anterior.


  1. CONCEPTOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS CON RSM


MATRICES
Definición 2.1 Una matriz cuadrada tiene el mismo número de renglones y de columnas.
Definición 2.2 La transpuesta de una matriz M (N x k) es la matriz (k x N) o M’, obtenida al intercambiar filas por columnas.
Definición 2.3 Una matriz simétrica es igual a su transpuesta, M = M’.
Definición 2.4 Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal mij , i j son cero. Si los elementos en la diagonal son 1’s se tiene una matriz identidad I.
Definición 2.5 La traza de una matriz cuadrada M es la suma de los elementos de la diagonal.
Definición 2.6 Asociada con cada matriz cuadrada M se tiene su determinante denotado por |M|.
Definición 2.7 Los valores característicos de una matriz cuadrada M son las las soluciones a las ecuaciones de determinantes |M -  I| = 0. El determinante es un polinomio de grado k – ésimo en  , por tanto M tiene k valores característicos.
Definición 2.8 Asociado con cada valor característico i de la matriz cuadrada M, hay un vector característico vi, cuyos elementos satisfacen el sistema de ecuaciones:

Definición 2.9 Las matrices que tienen el mismo orden pueden ser sumadas elemento por elemento, se dice que son conformables para la adición. En forma similar son conformables para la multiplicación si el número de columnas de la matriz de la izquierda es igual al número de filas de la matriz de la derecha. Por ejemplo si M es (N x k) y T es (k x r), su producto MT es (N x r).
Definición 2.10 La inversa de una matriz cuadrada M es una matriz denotada por M tal que MM-1 = M-1 M = I, la matriz que tiene inversa se dice que no es singular.

Definición 2.11 Una matriz cuadrada T se dice que es ortogonal si T’ = T-1 o sea la transpuesta es igual a su inversa. La transformación w = T v se denomina una transformación ortogonal.
  1. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS



Asumiendo que N observaciones de la respuesta se puedan expresar por medio de un modelo de primer orden
(2.1)
En la ecuación 2.1 Yu denota la respuesta observada en el intento u; Xui representa el nivel del factor i en el intento u; las betas son parámetros desconocidos y u representa el error aleatorio en Yu. Se asume que los errores u tienen las características siguientes:


  1. Tienen media cero y varianza común 2.

  2. Son estadísticamente independientes.

  3. Están distribuidos en forma normal.


El método de mínimos cuadrados selecciona como estimados para los parámetros desconocidos beta, los valores b0, b1, ...., bk respectivamente, los cuales minimizan la cantidad:

Y son las soluciones a un conjunto de (k +1) ecuaciones normales.
Sobre N observaciones el modelo de primer orden puede expresarse en forma matricial como:

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