Curso: Estadística l-mi-j 17 -19 hs






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Curso: Estadística L-Mi-J 17 -19 hs

Pablo Di Benedetto - 871186

Matías Toporovskaja - 871489


Trabajo Práctico

Dialogando con los matemáticos”
William Sealy Gosset
11 de junio de 1876  16 de octubre de 1937

Fue un estadístico, mejor conocido por su sobrenombre literario Student.

Nacido en Canterbury en el año de 1876, hijo de Agnes Sealy Vidal y el coronel Frederic Gosset, asistió a la famosa escuela privada de Winchester College, y en el New College de Oxford en donde estudió química y matemática posteriormente.

Tras graduarse en 1899, se inicio en trabajos en el departamento de fermentación de la compañía cervecera de los Sres. Guinness en Dublin.

Guinness era un negocio agroquímico progresista y Gosset podría aplicar sus conocimientos estadísticos tanto a la destilería como a la granja (para seleccionar las mejores variedades de cebada) .En esa época se empezaron a usar métodos científicos y determinaciones de laboratorio para técnicas de fermentación.

Gosset adquirió ese conocimiento mediante estudio, prueba y error así como pasando dos temporadas durante 1906/7 en el laboratorio bioquímico de Karl Pearson donde lo ayudó a Gosset con la matemática de sus artículos.

Su principal herramienta y con la que inició sus estudios fueron los libros "Teoría de errores de observaciones" de G.B.Airy y "El método de mínimos cuadrados" de M. Merriman.

Se sabe que ya en 1903 él calculaba el error probable. Las circunstancias en las que se llevan a cabo los procesos de fermentación en la producción de cerveza, con materiales variables, susceptibilidad a cambio de temperaturas y necesariamente series pequeñas de experimentos, son tales que pronto demostraron a Gosset las limitaciones de la teoría de muestras grandes y le enfatizaron la necesidad de un método correcto para el tratamiento de muestras pequeñas. No fue entonces un accidente, sino más bien las circunstancias de su trabajo, las que dirigieron a Gosset hacia este problema, y lo condujeron al descubrimiento de la distribución de la desviación estándar muestral, lo cual dio origen a lo que en su forma moderna se conoce como la prueba t. Pearson contribuyó a los artículos de 1908, pero no apreció lo suficiente su importancia.

Otro investigador de Guinness había publicado anteriormente un artículo que contenía secretos industriales de la destilería. Para evitar futuras exposiciones de información confidencial, Guinness prohibió a sus empleados la publicación de artículos independientemente de la información que contuviesen. Esto significaba que Gosset no podía publicar su trabajo usando su propio nombre. De ahí el uso de su pseudónimo Student en sus publicaciones.

En el desarrollo de su estadística, Gosset mismo realizaba toda la aritmética involucrada en sus investigaciones, ya que no tuvo asistente estadístico permanente sino hasta 1922. La aritmética que manejaba era considerable, debido a que sus descubrimientos se basaban en una gran cantidad de experimentos.

Gosset publicó El error probable de una media y casi todos sus artículos usando el pseudónimo Student en la publicación Biometrika creada por Pearson.

  Sin embargo, fue R.A. Fisher quien apreció la importancia de los trabajos de Gosset sobre muestras pequeñas, Fisher creyó que Gosset había efectuado una "revolución lógica". Irónicamente la estadística t por la que Gosset es famoso fue realmente creación de Fisher.
La estadística de Gosset era z = t/√(n - 1).

El interés de Gosset en el cultivo de la cebada le llevó a especular que el diseño de experimentos debería dirigirse no sólo a mejorar la producción media, sino también a desarrollar variedades cuya producción no se viese afectada (robusta) por las variaciones en el suelo y el clima .


En 1935 dejó Dublín para ocupar el puesto de Destilador Jefe (Head Brewer), a cargo de la parte científica de la producción, en la nueva destilería Guinness de Londres.

Murió en Beaconsfield, Inglaterra siendo una gran pérdida para la estadística, ya que con su mente vigorosa, todavía, seguramente hubiera podido continuar trabajando durante muchos años más.

Gosset fue amigo tanto de Pearson como de Fisher, un gran logro, ya que ambos se profesaban un intenso desprecio mutuo.

Egon Pearson, quien tuvo la fortuna de conocerlo escribió :

"Todos los que lo conocieron estarán de acuerdo en que poseía más de las características del estadístico perfecto que cualquier otro hombre de su tiempo. Ellos también coincidirán en el balance esencial y tolerancia de su punto de vista, y en ese algo que lo hizo durante su vida la misma persona amistosa, confiable, callada y sin malicia, que trabajó no para su reputación personal, sino porque sintió que había un trabajo que hacer y por lo tanto valía la pena hacerlo bien".


El aporte de Student a la Medición del Grado de Significación de una Tendencia:

Una contribución muy importante en el desarrollo de los tests estadísticos fue el ensayo titulado The probable error of a mean (1908), escrito por el matemático inglés William Sealy Gosset (1876−1937), mejor conocido por su seudónimo de Student con el que firmó varios de sus escritos.

En esta obra Student analiza a profundidad el problema de los errores que generalmente se pueden cometer en la interpretación de los datos estadísticos y propone parámetros para medir objetivamente el grado de significación de las tendencias o desviaciones encontradas en una muestra estadística analizada, aportes que son el fundamento de la actualmente denominada “Prueba T de Student “

Estos aportes de Student se fundamentan en los trabajos experimentales que él previamente desarrolló al analizar diversas muestras estadísticas de granos de cebada cultivados en diferentes regiones y que eran usados como materia prima en la elaboración de cerveza en las fábricas de Arthur Guinness & Son localizadas en Dublín, y también se basan en los trabajos de análisis de resultados estadísticos obtenidos en diferentes experimentos de antropometría que él presenció entre 1906 y 1907 en el laboratorio de biométrica de Karl Pearson cuando allí fue su asistente personal.
Student también aportó profundas reflexiones sobre los procedimientos matemáticos aplicables para determinar el tamaño adecuado de una muestra estadística, y realizó importantes análisis sobre la valoración matemática de las diferentes decisiones que adopta un investigador cuando diseña un experimento antes de realizarlo, todo lo cual fue expuesto en diferentes ensayos publicados entre 1908 y 1920 en la revista Biometrika cuya línea editorial era la divulgación de temas referentes a la genética, la experimentación biológica, la estadística demográfica y la eugenesia

La prueba t-Student se utiliza para contrastar hipótesis sobre medias en poblaciones con distribución normal. También proporciona resultados aproximados para los contrastes de medias en muestras suficientemente grandes cuando estas poblaciones no se distribuyen normalmente

Existen dos versiones de la prueba t-Student: una que supone que las varianzas poblacionales son iguales y otra versión que no asume esto último


Fórmulas básicas

Cálculo de la prueba t-Student para la diferencia de medias suponiendo igualdad de varianzas

Para llevar a cabo el contraste:
H0: µ1 - µ2 = 0

H1: µ1 - µ2 ≠ 0
suponiendo igualdad de varianzas poblacionales, se construye el estadístico de contraste experimental “t” dado por:


que bajo la hipótesis nula sigue una distribución t-Student con grados de libertad gl = (n1 - 1) + (n2 – 1) =

(n1 + n2 – 2).


Cálculo de la prueba t-Student para la diferencia de medias suponiendo no igualdad de varianzas
Para llevar a cabo el contraste:
H0: µ1 - µ2 = 0

H1: µ1 - µ2 ≠ 0

suponiendo no igualdad de varianzas poblacionales, se construye el estadístico de contraste experimental “t” dado por:


que bajo la hipótesis nula sigue una distribución t-Student con grados de libertad gl dados por:


que recibe el nombre de grados de libertad de Sattherthwaite.
Ejemplos
Intervalo de confianza para la diferencia de medias y prueba t-Student para dos medias

Se tienen los siguientes datos experimentales correspondientes a 17 individuos de los que se ha recogido el valor que presentan en dos variables, una de ellas cuantitativa con distribución normal considerada como variable respuesta (Rta), y la otra variable dicotómica considerada como variable explicativa (Exp). Los datos se presentan de forma que en las filas hay varios individuos para facilitar la lectura:


Calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias asumiendo igualdad de varianzas y no asumiendo la igualdad de éstas y realizar el siguiente contraste:

H0: µ1 - µ2 = 0

H1: µ1 - µ2 ≠ 0
mediante la prueba t-Student para dos medias en los dos supuestos de igualdad y no igualdad de varianzas.

Cálculo de la prueba t-Student para la diferencia de medias suponiendo igualdad de varianzas
Para llevar a cabo el contraste requerido se construye el estadístico de contraste experimental t dado por:


que bajo la hipótesis nula sigue una distribución t-Student con grados de libertad gl = (n1 - 1) + (n2 – 1) = (n1 + n2 – 2) = 15, que tiene asociado un p-valor de 0.9412.
Cálculo de la prueba t-Student para la diferencia de medias suponiendo no igualdad de varianzas
Para llevar a cabo el contraste requerido se construye el estadístico de contraste experimental t dado por:



que bajo la hipótesis nula sigue una distribución t-Student con grados de libertad gl dados por:


que tiene asociado un p-valor de 0.9426.

Bibliografia






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