Solución: ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 cartas, extraídas sucesiva




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títuloSolución: ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 cartas, extraídas sucesiva
fecha de publicación18.01.2016
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GUÍA #1 DE ESTADÍSTICA

GRADO DÉCIMO

DOCENTE: LETICIA LOPERA ZULETA

COMBINATORIA
NOMBRES: __________________________________________________


INSTRUCCIONES:

Para salir adelante con esta temática, deben leer muy bien, comprendiendo los conceptos que en ella se abordan.

Después de leer cada contenido, desarrollar los ejercicios o problemas propuestos.

Al terminar la guía, ésta se calificará y se hará una evaluación escrita para sustentar la misma.


COMBINATORIA

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se ocupa de la resolución de problemas de elección y disposición de los elementos de cierto conjunto, de acuerdo con ciertas reglas. Es decir, dentro de la Combinatoria es donde tienen sentido preguntas del tipo:

1. ¿Cuántas posibles combinaciones pueden darse en el baloto?

2. ¿Qué posibilidades hay de que me toquen los cuatro ases en una mano de tute?

3. ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en 5 asientos de un cine?
El objetivo de la Combinatoria es calcular cuántos tipos de muestras, de un determinado tamaño, se pueden extraer de cierta población. El resultado en el que nos basaremos, a la hora de calcular el número de muestras, es el siguiente:
Principio de multiplicación:
Si un procedimiento se puede separar en etapas, de modo que el resultado de una de ellas no influye en el resultado de las otras, y en cada una de estas etapas se obtienen respectivamente

resultados, entonces el procedimiento global conduce a resultados.
Ejemplo:
¿Cuántos resultados podemos obtener al lanzar una moneda tres veces?
Aplicando el principio anterior, en el primer lanzamiento obtenemos 2 resultados (Cara o sello), en el segundo lanzamiento, otros 2 y en el tercero también 2.

Por tanto, en total hay posibles resultados.
Si lo disponemos en forma de diagrama de diagrama de árbol, obtenemos los 8 resultados:


ACTIVIDAD 1: Resuelve


  1. Juana tiene en su clóset, 5 jeans diferentes, 6 blusas y 3 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir Juana usando estos elementos?

Solución:
















  1. ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 cartas, extraídas sucesivamente y sin repetir, de una baraja española? (Recuerda que una baraja española consta de 40 cartas)




Solución:














VARIACIONES
Cuando tomamos algunos elementos de una población que consta de elementos, y nos interesa el orden de éstos, tenemos variaciones. Existen dos tipos:


  • Variaciones sin repetición: Cuando los elementos no se repiten. Usamos la fórmula:



- Variaciones con repetición: Cuando se permiten repeticiones. Usamos la fórmula:


Por ejemplo:


  1. Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.

En un principio se puede elegir cualquiera de los 7 libros para ubicarlo en primer lugar. Después quedan 6 libros posibles para colocar en el segundo lugar y por último solo 5 libros para el tercer lugar.

Por lo tanto las distintas maneras en que se pueden llenar los 3 huecos de la biblioteca es: 7.6.5 = 210

Si se tienen 7 libros y tres lugares, usando la fórmula sería:



R// Hay 210 formas distintas de ubicar estos libros en los estantes.

  1. En una clase de 10 estudiantes, se van a repartir 3 regalos diferentes, ¿de cuántas maneras pueden distribuirse si un mismo alumno puede recibir más de un premio?

Como un estudiante puede repetir regalo y los regalos son diferentes (es decir, no es lo mismo recibir el primer premio que el segundo, entonces importa el orden), luego, tenemos una variación con repetición. Así:



R// Hay 1000 maneras distintas de distribuir los tres regalos en este grupo.

ACTIVIDAD 2: Resuelve

  1. ¿Cuántos números de cuatro cifras no repetidas, se pueden formar con los números del 1 al 9?

    Solución:







  2. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco, si hay 4 sitios disponibles?

Solución:










  1. En un grupo de 10 amigos, ¿cuántas distribuciones de sus fechas de cumpleaños pueden darse al año?

Solución:

















PERMUTACIONES:
En el caso particular de que se tome una muestra de tamaño igual al tamaño de la población, es decir, , las variaciones se denominan permutaciones.
Así, del mismo modo tenemos dos tipos de permutaciones:


  • Permutaciones sin repetición: Donde los elementos no se repiten. Usamos la fórmula:





  • Permutaciones con repetición: Si queremos calcular el número de permutaciones de elementos de los cuales hay de una clase, de otra, de otra y así sucesivamente, de modo que ; entonces hablamos de permutaciones de elementos, algunos de los cuales están repetidos, lo que se expresa como:


Por ejemplo:


  1. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en 5 asientos en un cine?


La primera persona se puede sentar en 5 sitios. La segunda sólo en 4, la tercera en 3, la cuarta en 2 y la quintaen1.
De modo que hay posibilidades.

Es decir,


  1. Cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química han de ser colocados en una estantería ¿Cuántas colocaciones distintas admiten si:

  1. Los libros de cada materia han de estar juntos.

  2. Sólo los de matemáticas tienen que estar juntos?

(Supóngase que los libros de cada materia son de diferente autor)


  1. Consideramos cada conjunto de una materia como una unidad. Entonces hay ordenaciones posibles de las materias.


Además hay que considerar también las permutaciones de los libros de Matemáticas; permutaciones de los libros de Física y, por último, permutaciones de los de Química. Luego, aplicando el principio de la multiplicación, tenemos:
maneras diferentes de colocar lo libros.


  1. Consideramos los cuatro libros de Matemáticas como una unidad. Se tendría entonces una unidad correspondiente a Matemáticas, 6 unidades diferentes de Física y 2 de Química. Por lo tanto tenemos:


maneras de ordenar estas 9 unidades, y por cada una de ellas hay maneras de ordenar los textos de Matemáticas, por lo que en total hay:
formas de colocar los libros.
ACTIVIDAD 3:


  1. Resolver el segundo ejercicio del tema anterior (literal b), teniendo en cuenta que los libros de cada materia son idénticos.

Solución:
















  1. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer con todas ellas?

Solución:













COMBINACIONES:

Cuando al elegir la muestra de una población, no interesa el orden, hablamos entonces de combinaciones.

Combinaciones sin repetición: Cuando no hay elementos repetidos. Se usa la fórmula:



Las combinaciones con repetición, les queda de consulta.

Por ejemplo:

  • En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar sólo 3 para la final. ¿Cuantos grupos distintos de finalistas se pueden formar?


El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8 elementos tomados de tres en tres:
grupos distintos de finalistas posibles.
ACTIVIDAD FINAL
Resolver, identificando en cada caso, la técnica a aplicar:
1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

3. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5. ?

4. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

5. ¿Cuántos números lógicos de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

6. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

7. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

8. En una bodega hay, en un estante, cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

9. Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?

10. Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

11. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

a. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

b. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

c. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

12. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

13. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

14. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

15. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

16. Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

17. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

18. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

19. Cinco libros distintos de matemáticas, tres diferentes de física y cuatro diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

a. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

b. Solamente los libros de física deben estar juntos.

20. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

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