Nociones sobre conjuntos






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títuloNociones sobre conjuntos
fecha de publicación05.02.2016
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ELABORADO POR: LETICIA LOPERA

CARLOS GUEVARA

BEATRIZ EUGENIA TANGARIFE MEJIA

NOCIONES SOBRE CONJUNTOS

Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto.

Un conjunto puede escribirse por:

* Extensión: haciendo una lista explícita de sus elementos, separados por comas y encerrado entre llaves, o por

* Comprensión: dando la condición o condiciones que cumplen los elementos del conjunto.

Si un conjunto no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota por φ ó { }.

Si un conjunto es vacío o su número de elementos es un número natural , se dice que el conjunto es finito.

Si un conjunto no es finito, se dice que es infinito.

Si A es un conjunto, decimos que a pertenece a A y escribimos a A si a es un elemento de A. En caso contrario decimos que a no pertenece a A y escribimos a ∉ A. Si C y B son conjuntos, decimos que C es subconjunto de B y escribimos C ⊆ B si todo elemento de C es también elemento de B.
C ⊆ B
Propiedades:
Si A, B y C son conjuntos,
a) φ ⊆ A.

b) A ⊆ A.

c) Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. Es decir, A = B si y sólo si todo elemento de A está en B y todo elemento de B está en A.
Número de elementos de un conjunto:

Si A es un conjunto, denotaremos con el número de elementos de A.

Ejemplo. Si , entonces n(V ) = 5.

Si conocemos el número de elementos de ciertos conjuntos dados, es posible encontrar el número de elementos de la unión, intersección y complementos.

Si

Si , se tiene que

Si A ∩ B ∩ C ≠ φ, se tiene que n( AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n (A ∩ B) – n(A ∩ C) –

n(B ∩ C) +n(A ∩ B ∩ C)

Ejemplo:

En el grupo de deportes del colegio hay 75 estudiantes y en danza hay 35. Halla el número de estudiantes que hacen deporte o danza:

a) Si los entrenamientos se hacen a la misma hora.

b) Si los entrenamientos se hacen en días diferentes y se sabe que 15 estudiantes pertenecen a ambos grupos.

Solución:

a) En este caso no se puede determinar con certeza el número de elementos, pues no sabemos cuántos estudiantes practican ambas cosas. Podemos asegurar que el número máximo es 110 y el mínimo 75.

b) Tenemos que si practica deporte} y hace danza}, entonces



= 75 + 35 - 15

= 95
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Unión
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la unión de A y B, denotada AU B, como el conjunto A U B = {x/x A o x B}

A U B


2. Intersección
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la intersección de A y B, denotada A ∩ B, como el conjunto A ∩ B = {x/x A y x B}


A ∩ B

Propiedades de la Unión y de la Intersección
Sean A, B y C conjuntos.
A U A = A A ∩ A = A

A U φ = A A ∩ φ = φ

A ⊆ (A U B); B ⊆ (A U B) (A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ B

A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

A U (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

3. Complemento
Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U, definimos el complemento de A, denotado A’ como el conjunto,
A’ = {x U / x ∉ A.}

Propiedades del Complemento
Sean A y B conjuntos.
a) (A’)’ = A

b) A U A’ = U

c) A ∩ A’ = φ

d) (A U B)’ = A’ ∩ B’

e) (A ∩ B)’ = (A’ U B’)

Nota: Las dos últimas propiedades son conocidas como las "Leyes de De Morgan".

4. Diferencia
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B, denotada A - B, como
A - B = {x/x A y x B}

A – B

Propiedades de la Diferencia
Sean A y B conjuntos.
a) A - B = A ∩ B’

b) A - B ≠ B - A

c) A - A = φ;

d) A - φ = A

e) U - A = A’

SISTEMAS NUMÈRICOS

Los números naturales son: 1, 2, 3, 4, ……….

Representamos por N al conjunto de todos lo números naturales, es decir,

N = {1; 2; 3; 4,……….}
Los números enteros están formados por los números naturales junto con los números negativos y el 0. Denotamos por Z al conjunto de los números enteros:

Z = {…….,-3,-2,-1,0,1,2,3,…….}

:

Algunas veces, se acostumbra escribir Z+ = N.

El conjunto de los números racionales se obtiene al forma cocientes de números enteros. Este conjunto lo denotamos por Q. Luego, r Q si y sólo si r =

, con p, q Z, q ≠ 0.

Existen números que no pueden expresarse en la forma con p, q Z; q ≠ 0. Estos números se denominan irracionales, denotados por I. Es posible probar que números como
; , , e,π pertenecen al conjunto I.
El conjunto de lo números reales se representa por R y consta de la unión de los racionales y los irracionales, es decir, R = Q U I.
Todos los números reales tienen una representación decimal. Si el número es racional, entonces, su decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo

  1. = 0:5000….= 0,50




1 = 0,3333…. = 3
157 = 0,3171717……. =0,3

495
9 = 1,285714285714…….. = 1,

7
La barra significa que la sucesión de cifras se repite indefinidamente. Si el número es irracional, la representación decimal no es periódica, por ejemplo =1,41421356237… e = 2:7182818284590452354……

ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE:


  1. Utilizar figuras geométricas para formar conjuntos y analizar las operaciones entre ellos.

  2. Plantear problemas para ser resueltos en grupos de 3.




    1. A una fiesta asistieron 77 ejecutivos de los cuales 27 son gimnastas, 55 son hombres y 10 de las mujeres son gimnastas. La cantidad de personas que son hombres y no son gimnastas es. La cantidad de mujeres pero no gimnastas que hay en la fiesta es.

    2. En una encuesta en un centro educativo sobre la práctica de los deportes que tienen los 100 estudiantes del plantel, se obtuvieron los siguientes resultados: 18 estudiantes practican fútbol, 26 baloncesto, 18 tenis, 9 practican fútbol y tenis;10, fútbol y baloncesto; 8, baloncesto y tenis, La cantidad de estudiantes que practican los tres deportes sabiendo que 59 estudiantes no practican ninguno de los tres deportes es:

    3. Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios. ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?

    4. Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7. El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de los dos productos. El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3. Se desea saber: ¿Cuántas personas prefieren el producto A? ¿Cuántas personas prefieren el producto B solamente? ¿Cuántas personas prefieren ambos productos?

    5. Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. El número de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se desea saber: ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi? ¿ Cuántos de los encuestados prefirieron Coca Cola? ¿ Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?

  1. Expresar un número decimal periódico en forma de fracción.

0,833333333….

0,77777….

0,545454….

  1. SOLUCIONAR TALLER PROPUESTO

TALLER SOBRE CONJUNTOS



  1. En una clase de historia de 50 estudiantes, 35 son estudiosos, 23 pierden y 8 de los que pierden son estudiosos. Los estudiantes que no son estudiosos y pierden son:



  1. 31

  2. 20

  3. 15

  4. 27



  1. Suponga que un conjunto de 100 pacientes de un hospital, 20 tienen dolores estomacales, 30 tienen gripe y 5 los dos síntomas. Tienen dolores estomacales o gripe:



  1. 50 pacientes

  2. 45 pacientes

  3. 35 pacientes

  4. 65 pacientes



  1. En una clase de 50 estudiantes hay 20 físicos y 40 matemáticos. Son simultáneamente físicos y matemáticos:



  1. 10 estudiantes.

  2. 90 estudiantes.

  3. 70 estudiantes.

  4. 30 estudiantes.



  1. En una hamburguesería se ofrecen dos tipos de hamburguesas: sencilla y especial. Al final del día, la contabilidad arrojó los siguientes datos: 130 prefirieron la sencilla, 170 la especial y 38 ambos tipos de hamburguesas. Si el servicio fue ofrecido a 350 personas, entonces la cantidad de personas que no tuvieron preferencia por ninguna es:



  1. 88

  2. 12

  3. 68

  4. 78

  1. En el colegio el 60% de los alumnos juega fútbol, el 40 % juega baloncesto y el 20% ninguno de ellos. El porcentaje de los alumnos del colegio que juega ambos deportes es:



  1. 10%

  2. 0%

  3. 20%

  4. 8%



  1. En una encuesta realizada en un colegio de la ciudad a un total de 150 estudiantes, se hallaron los siguientes datos: 54 estudian Álgebra, 89 estudian Inglés, 80 estudian Ciencias Naturales, 60 estudian Ciencias Naturales e Inglés, 10 estudian Álgebra solamente, 20 estudian Álgebra y Ciencias, 15 estudian las tres materias simultáneamente. Los estudiantes que estudian sólo Inglés o sólo Ciencias son:



  1. 15 estudiantes.

  2. 20 estudiantes.

  3. 49 estudiantes.

  4. 45 estudiantes.

Los numerales del 7 al 9 se responden de acuerdo con el siguiente enunciado:

De los 55 estudiantes de un curso, 23 pierden matemáticas, 19 pierden física y 13 pierden química. 13 pierden matemáticas y física, 7 física y química, 9 matemáticas y química y 4 las tres materias.

  1. Los estudiantes que perdieron por lo menos una materia son:



  1. 55

  2. 30

  3. 42

  4. 50



  1. Los estudiantes que no ganan matemáticas sino física son:

  1. 10

  2. 17

  3. 16

  4. 5



  1. Los estudiantes que ganan física pero no química son:



  1. 1

  2. 4

  3. 5

  4. 6

Los numerales del 10 al 14 se responden de acuerdo con el siguiente enunciado:

Al finalizar el año de estudios se observó, analizando tres materias M, B y E, que el 2% reprobó las tres materias, el 6% reprobó M y B, el 5 % reprobó B y E, el 10% reprobó M y E, el 19% reprobó M, el 32% reprobó B y el 16% reprobó E.

  1. El porcentaje de estudiantes que aprobó las tres materias es:



  1. 2%

  2. 17%

  3. 52%

  4. 15%



  1. El porcentaje de estudiantes que reprobó B si y sólo si aprobó E es:



  1. 62%

  2. 27%

  3. 38%

  4. 57%



  1. El porcentaje de estudiantes que reprobó una materia exactamente es:



  1. 16%

  2. 32%

  3. 13%

  4. 31%



  1. El porcentaje de estudiantes que aprobó a lo sumo una materia es:



  1. 83%

  2. 31%

  3. 15%

  4. 17%



  1. El porcentaje de estudiantes que aprobó mínimo dos materias es:



  1. 31%

  2. 52%

  3. 17%

  4. 83%




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