Vamos a ver en esta sesión varios ejemplos de una de las actividades más fructíferas de las matemáticas como es la generalización






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NÚMEROS METÁLICOS
Vamos a ver en esta sesión varios ejemplos de una de las actividades más fructíferas de las matemáticas como es la generalización.
Los orígenes. El número de oro.

La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.III a.C.), en una construcción geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simple como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas. En un segmento de longitud unidad tenemos



De la definición , de donde , ecuación de 2º grado de soluciones , tomando la solución positiva la razón de la proporción es:= nº áureo

La figura plana que mejor representa la idea de proporción en el plano es el rectángulo. El rectángulo áureo es aquel que tiene la medida de sus lados en esa proporción. Para construir el rectángulo áureo se parte de un cuadrado ABCD, por el punto medio M de uno de sus lados, se traza el segmento que lo une con uno de los vértices del lado opuesto, D, que se abate circularmente sobre la prolongación del lado AB obteniéndose así el lado mayor del rectángulo siendo el menor el lado del cuadrado (figura 1)


figura 1
EJERCICIO 1: Comprobar que los rectángulos y son semejantes

EJERCICIO 2: Una propiedad importante de los rectángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales, como se indica en la figura 2, la diagonal AC pasa por el vértice B. Demostrar que esto es así



figura 2

EJERCICIO 3: Demostrar que representa la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular.
EJERCICIO 4: Demuestra los siguientes resultados relativos al número de oro:

a) ; b) ; c) ; d)

e) ; ; ; ; ; ,..
EJERCICIO 5: El triángulo áureo

Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo están en progresión geométrica. Hallar el valor de la razón de la progresión y las tangentes de los dos ángulos agudos.
EJERCICIO 6: (Olimpiada Matemática. Fase Nacional. Tarragona 1996)

La figura 3 se compone de seis pentágonos regulares de lado 1m. Se dobla por las líneas de puntos hasta que coincidan las aristas no punteadas que confluyen en cada vértice.



figura 3

¿Qué volumen de agua cabe en el recipiente formado?
Leonardo de Pisa (1170 – 1250), más conocido por Fibonacci (que significa hijo de Bonaccio), cuyas aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia, es conocido sobre todo a causa de un matemático francés, Edouard Lucas (1842 – 1891), interesado por la teoría de números. Lucas efectuó un profundo estudio de las llamadas sucesiones generalizadas de Fibonacci, que comienzan por dos enteros positivos cualesquiera y a partir de ahí, cada número de la sucesión es suma de los dos precedentes., Lucas dio el nombre de sucesión de Fibonacci a la más sencilla de estas sucesiones , a saber: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... (otra también sencilla : 1, 3, 4, 7, 11, 18..., es conocida por sucesión de Lucas ).
Del ejercicio 4 e) se puede intuir y es fácil demostrar que la sucesión de números es una progresión geométrica en la que cada término, a partir del tercero, es igual a la suma de los dos anteriores, es decir, que es una sucesión de Fibonacci y a su vez el límite de las razones de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci es (Si nos fijamos bien , no sólo las potencias de , sino cualquier polinomio de cualquier grado se puede expresar en la forma , con a y b enteros).

La íntima relación existente entre la sucesión de Fibonacci y la razón áurea queda de manifiesto en la siguiente fórmula explícita para el n -ésimo término de Fibonacci:; mientras que el n-ésimo término de la sucesión de Lucas es

La sucesión de Fibonacci se puede “visualizar” mediante una sucesión de cuadrados que crece en espiral (ver figura 4). El cuadrado inicial (en gris) tiene de lado 1, al igual que su vecino de la izquierda. Sobre estos dos primeros cuadrados se superpone un cuadrado de lado 2, seguido a su vez por cuadrados de lados 3, 5, 8, 13, 21, y así sucesivamente, se van obteniendo rectángulos que se van aproximando cada vez mejor a un rectángulo áureo. Si en el interior de cada cuadrado se traza un cuadrante de circunferencia, estos arcos quedan conectados y forman una elegante espiral. Dicha espiral constituye una buena aproximación de la llamada espiral logarítmica, que es frecuente encontrar en la naturaleza.



figura 4
Otra espiral asociada al número áureo es la de Durero. En la siguiente figura (figura 5) al rectángulo áureo ABCD se le quita el mayor cuadrado posible ABFE el rectángulo sobrante EFCD también es áureo, repetimos la operación y a éste rectángulo le quitamos el mayor cuadrado posible EHGD el rectángulo restante HFCG es áureo y así sucesivamente



figura 5

Uniendo vértices de los cuadrados auxiliares con arcos de circunferencia, se forma la curva llama “Espiral de Durero”, ya que la descubrió y utilizó ese pintor italiano. Esta espiral es casi una espiral logarítmica (ésta se construye trazando sucesivos triángulos rectángulos semejantes, de tal forma que la hipotenusa de uno es un cateto del siguiente; y uniendo los vértices consecutivos) de salto angular 90 grados y razón geométrica el número de oro. La única diferencia, inapreciable a pequeña escala es que los centros de esos arcos van saltando a su vez de un vértice a otro de los rectángulos.
La generalización de los números (la sucesión) de Fibonacci son los números de Tribonacci donde cada uno es la suma de los tres que le preceden. Los números de «Tribonacci» (1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, ...) fueron así bautizados por el joven y brillante matemático Mark Feinberg, quien publicó un artículo sobre ellos en The Fibonacci Quarterly, (octubre de 1963), cuando sólo contaba 14 años. Su carrera en la Universidad de Pennsylvania quedó cercenada en 1967, en su segundo año de universidad, al morir en un accidente de motocicleta. En su artículo sobre números de Tribonacci, Feinberg puso de relieve que al ir avanzando en la sucesión, la razón entre términos adyacentes converge hacia 0,5436890126.... y más exactamente, hacia la raíz real de la ecuación x 3 + x 2 + x – 1 = 0. Se puede avanzar en la generalización y considerar sucesiones donde cada término sea suma de los cuatro (números de Tetranacci), cinco, seis, etc., números que lo anteceden. En todas estas sucesiones, la razón de cada término al siguiente tiene un límite; al ir aumentando el número de términos a sumar, la razón límite disminuye, tendiendo a su vez hacia 0,5. Tal generalización había sido publicada hacia 1913 por Mark Barr. (Véase Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, página 101.)

Números metálicos

La familia de los números metálicos es un conjunto infinito de números irracionales cuadráticos positivos, descubierta por la matemática argentina Vera G. de Spinadel (1929 –) en 1994. Son las soluciones positivas de las ecuaciones cuadráticas del tipo , donde tanto p como q son números naturales. A sus soluciones positivas se les conoce por los números metálicos denotados por Estas ecuaciones van asociadas a las sucesiones de Fibonacci generalizadas
Comenzaremos un estudio más detallado con los casos particulares que se obtienen al ir variando sólo uno de los dos parámetros p; q

Consideremos pues en primer lugar el grupo de ecuaciones:

● Si p = 1 tenemos la ecuación , de solución positiva , es decir obtenemos el número de oro

● Si p = 2 tenemos la ecuación , de solución positiva , obtenemos el número llamado de plata y designado por θ

● Si p = 3 tenemos la ecuación , de solución positiva , obtenemos el número que se conoce como de Bronce y se denota por σBr

● Para y , obtenemos el número metálico

Este proceso puede seguir indefinidamente y obtendríamos los números metálicos .
Análogamente si consideramos p fijo e igual a 1 y q variando, tenemos el siguiente grupo de ecuaciones:

● Si q = 1 tenemos la ecuación ya conocida, de solución positiva , es decir, tenemos el número de oro φ

● Si q = 2 tenemos la ecuación , de solución positiva 2 que se conoce como número de cobre σCu

● Si q = 3 tenemos la ecuación , de solución positiva que se conoce como número de níquel σNi

Y así iríamos obteniendo los números metálicos
EJERCICIO 7: Hallar la relación existente entre los números de bronce y níquel
EJERCICIO 8: Demuestra que
Se puede probar sin dificultad que los siguientes números metálicos tienen el valor numérico:

; ; ; ; ;…
; ; ; ; ;
De los restantes números metálicos el más conocido es el de platino .
Entre los numerosos problemas físicos, químicos, biológicos y ecológicos en que aparecen los integrantes de la familia de números metálicos, uno de los más notables es el de la estructura de un cuasi-cristal. Las más simétricas, regulares y periódicas de todas las entidades reales, son los cristales, en el extremo opuesto están las sustancias desordenadas o amorfas, como los vidrios. ¿Cómo distinguimos un cristal de un vidrio? La respuesta es simple: un cristal físico real puede modelizarse colocando un átomo o una molécula en el vértice de un reticulado triangular, cuadrangular o hexagonal regular que poseen simetría de orden 3, 4 y 6, respectivamente. Por tanto, su estructura cristalina es periódica, es decir, se puede construir mediante la repetición de una celda unidad. De este modo, el problema de la estructura de la materia se reduce a uno de geometría. Este era el esquema hasta que en 1984, el físico Schechtman registrando esquemas de difracción de electrones en una aleación de Aluminio y Manganeso rápidamente enfriada, encontró al cortar con planos en determinados ángulos, simetrías pentagonales de orden 5, totalmente imposibles en un cristal. A estas configuraciones, que poseen una estructura espacial cuasi-periódica, se las denominó cuasi-cristales. Lo realmente interesante es que las proyecciones se efectuaban tomando un plano que formaba un ángulo con la horizontal igual al número de oro.
Los cuasi-cristales son, en realidad, un nuevo estado sólido de la materia. Matemáticamente hablando, los cuasi-cristales caen en un terreno intermedio entre el orden y el desorden. Los cuasi-cristales son estructuras relativamente comunes en aleaciones con metales como el cobalto, hierro y níquel. A diferencia de sus elementos constituyentes, son malos conductores de la electricidad. No presentan acusadas propiedades magnéticas y son más elásticos que los metales ordinarios a altas temperaturas. Son extremadamente duros y resisten bien la deformación, por lo que se pueden utilizar como recubrimientos protectores antiadherentes.
A partir de este descubrimiento, fueron apareciendo otros cuasi-cristales con otras simetrías prohibidas. Por ejemplo, el Número de Plata , genera un cuasi-cristal con la simetría prohibida de orden 8 mientras que el número aparece en otra simetría también prohibida, de orden 12

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