Introducción a la Epistemología Introducción




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3 Características de los obstáculos didácticos


a) Errores: un obstáculo se manifiesta por sus errores, los cuales son reproducibles y persistentes. Están ligados entre ellos por una fuente común, una forma de conocer, una concepción característica coherente y que ha tenido éxito en todo un dominio de acciones que no son forzosamente explicitables.

Los errores persisten, resurgen a pesar del tiempo que tengan de haber sido rechazados del sistema cognitivo consciente, no desaparecen radicalmente de golpe.

b) Franqueamiento: el obstáculo está constituido como un conocimiento con objetos, relaciones, métodos de aprehensión, consecuencias olvidadas... va a resistir el rechazo, se adaptará localmente, se modificará al menor precio, se optimizará sobre un campo reducido siguiendo un proceso de acomodamiento. Será necesario un flujo suficiente de situaciones nuevas que van a desestabilizar en el alumno su conocimiento y hacer necesaria la reconsideración, el rechazo, el olvido hasta en sus últimas manifestaciones. Franquear un obstáculo exige un trabajo de igual naturaleza que el establecimiento de un conocimiento, es decir, interacciones rechazadas en el proceso dialéctico entre el alumno y el objeto de conocimiento. Así, un verdadero problema es una situación que permita esta dialéctica y que la motive.

c) Afianzamiento a causa del medio ambiente: el conocimiento, el hombre y el medio mantienen una interacción que desemboca frecuentemente en concepciones erróneas, mismas que son dirigidas por condiciones de interacción posibles de modificar, fenómeno que es objeto de la didáctica. Este obstáculo es fruto de una interacción del alumno con su medio.

Esta declaración tiene consecuencias para la enseñanza: si uno quiere desestabilizar una noción enraizada es necesario que el alumno pueda invertir sus concepciones dentro de situaciones numerosas e importantes para él, con condiciones informacionales diferenciadas para que un salto cualitativo sea necesario.
4 Consideraciones en la organización de situaciones problemáticas

La concepción del aprendizaje apoyada en el desarrollo de los conocimientos en términos de obstáculos difiere de la concepción clásica en lo concerniente al rol y organización de los problemas. El problema va a jugar en el proceso un rol fundamental.

  • Plantear el problema consiste en encontrar una situación en la que el alumno emprenderá una sucesión de intercambios relativos a una cuestión que constituye un obstáculo para él, el cual tomará como apoyo para apropiarse o construir un conocimiento nuevo.

  • Las condiciones en que se desarrolla esta situación-problema son inicialmente escogidas por el que enseña.

  • El proceso debe pasar rápidamente por el control de quien va a participar a su vez en la situación. La motivación nace de esta inversión y se conserva con ella.

  • El estudiante deberá establecer la validez de una afirmación, por lo que el maestro debe dirigirse al alumno como un sujeto capaz de aceptar o rehusar sus afirmaciones, exponer pruebas de lo que anticipa, de oponerle otras afirmaciones. Estos intercambios entre maestro y alumno permiten explicitar teorías matemáticas. Se trata menos de aprender las pruebas aceptadas que de poner a prueba aquéllas que uno concibe. Un proceso de prueba se construye en una dialéctica de la validación que conduce al alumno a usar espontáneamente retórica, es decir, defender con argumentos aquello de lo que no está tan seguro y, enseguida renunciar a ellos.

A lo largo de este apartado se han esbozado de forma muy breve y sencilla las aproximaciones teóricas que fundamentan a la Ingeniería Didáctica como una metodología constructivista que intenta, desde el aula, captar la complejidad de la clase.
En cuanto a los campos conceptuales, igualmente se aceptó en el transcurso de los procesos anteriores, la influencia de más de una alternativa en las formas de dar solución a la situación-problema enfrentada por los alumnos, a fin de que lograran, en consecuencia, el conocimiento esperado.
Se abordó la comunicación de un saber a un público (los estudiantes), proceso que supone la transformación de un saber en un conocimiento a enseñar y después en un objeto de enseñanza, en donde quedó contemplada la transposición didáctica.
Así mismo, se esbozó la forma en que se deben crear y desarrollar las situaciones didácticas a fin de que el alumno construya un conocimiento nuevo a partir de la superación de sus obstáculos, cuestión que alude a las situaciones didácticas.
En este contexto teórico “los problemas” serán considerados no como un medio para dificultar el aprendizaje en los estudiantes, sino como la mejor alternativa para ayudarlos a superar sus obstáculos y provocarlo, de ahí que se sugiere una nueva forma de plantearlos.

De esta manera, los problemas y el surgimiento de los obstáculos personales de los estudiantes ante un saber son medulares en la Ingeniería Didáctica, la cual como se mencionó anteriormente, es la metodología específica que surge de la teorización de las situaciones didácticas.
En esta teoría el papel del profesor consiste principalmente en:

  • Organizar la situación didáctica de modo que el conocimiento sea planteado como un objeto de enseñanza de forma tal que pueda ser adquirido, bajo su dirección, en el proceso de aprendizaje,

  • Permitir a los estudiantes aceptar la responsabilidad de resolver el problema propuesto, en un modo de funcionamiento adidáctico, manteniéndolo por medio de un proceso de confrontación y argumentación.

  • Unir las adquisiciones desarrolladas durante el proceso de solución al conocimiento institucional a través de una fase de institucionalización.

Actividades del profesor que ciertamente son muy distintas a las que en general desarrollan dentro del sistema tradicional, sin embargo, desde la perspectiva de la Ingeniería Didáctica, esbozan ya los pasos para la aplicación o experimentación de una secuencia didáctica.

Cabe aclarar que tales situaciones, aunque fundamentales para el aprendizaje, pueden raramente corresponder a la enseñanza global en un campo dado bajo condiciones estándar, incluso cuando tal funcionamiento pudiera ser teóricamente posible.
Con relación al cálculo, A la par de las dificultades en la enseñanza, también se presentan las propias del aprendizaje, mismas que son de diversa índole, aunque se sobreponen y refuerzan mutuamente. Existen tres grandes tipos:

a) Dificultad por la complejidad de los objetos básicos del cálculo (números reales y funciones) y su plena conceptualización.

Cuando se inicia la enseñanza del cálculo, los números reales y las funciones no son conceptos que los estudiantes desconocen del todo. Estos son objetos en "construcción" que no se pueden considerar "inertes" a medida que se efectúa el aprendizaje del cálculo. El aprendizaje de éste será motor para llegar a su plena conceptualización.

Los números reales: para los estudiantes resultan poco claras las relaciones existentes entre los diferentes conjuntos de números. Esto es, si para los estudiantes R comprende categorías distintas de números (enteros, fracciones, decimales, radicales y otros como Pi), todos estos tienden a confundirse en la asociación entre sí.

Las funciones: se han detectado dificultades con la identificación de lo que en verdad es una función. Varias investigaciones se han centrado en este aspecto: las primeras desde un enfoque conjuntista demostraron la existencia de una brecha entre la concepción de los estudiantes respecto a éstas y los criterios para la identificación de objetos funcionales y su clasificación como tales. Estos últimos partían de concebir a la función en torno a los prototipos de funciones comunes encontrados, de su asociación y fórmula, ignorándose su definición, de donde conducían a rechazar funciones y a admitir objetos no funcionales, además de carecerse de una coherencia global, pues los criterios dependían del registro de representación utilizado. A pesar de la evolución de la enseñanza y la desaparición de las definiciones conjuntistas poco se logró modificar tales criterios.
b) Dificultades asociadas con la conceptualización de la noción de límite.

En las investigaciones sobre la enseñanza del cálculo, el límite tiene un lugar esencial, dada la posición central del concepto en este campo. En particular, la noción de límite interviene en la noción de convergencia de series. Se ha buscado conciliar una aproximación cognitiva e histórica, y con base en la noción de obstáculo epistemológico (introducida por G. Bachelard, 1938),7 se ha indagado también sobre el desarrollo histórico de la noción de límite y sobre los candidatos a obstáculos, susceptibles de explicar las dificultades que en particular pueden encontrar los estudiantes.

El obstáculo epistemológico no se refiere a las dificultades desorganizadas o derivadas de la ausencia del conocimiento, sino a las dificultades directamente vinculadas con las formas de considerar el conocimiento o con los conocimientos mismos, por lo tanto es válido suponer que el conocimiento científico no es el resultado de un proceso continuo, por el contrario, requiere de algunos momentos de ruptura con los conocimientos anteriores.

Un obstáculo epistemológico que aparece en este dominio es el sentido común, mismo que favorece la concepción del límite como una barrera indispensable, una marca o el último término de un proceso, y al mismo tiempo tiende a reforzar en los estudiantes concepciones monótonas estrictas (que siempre crecen o bien siempre decrecen) de la convergencia.

Muchas investigaciones han evidenciado, al solicitarles a los estudiantes la comparación entre los números 0.9999.... y 1, que perciben la notación 0.9999... como algo diferente a un proceso infinito que no se detiene jamás y que, por tanto, nunca llega al valor de 1. Por otra parte, se les cuestiona sobre si se puede calcular la suma 9/10+9/100 + ..., y si se puede hacer, qué valor tiene. En este caso, la pregunta evoca directamente al estudiante la serie geométrica y, también, algunas actividades, como la fórmula de la suma o el algoritmo que permite calcularla. Tanto en la visión que tiene el estudiante, como en la solución que él hace del problema, el proceso del límite en sí está relegado a último plano.

Existe un salto cualitativo mayor, que se verifica en la historia misma del concepto, entre el manejo relativamente intuitivo de la noción de límite y la noción formalizada estándar. El concepto formalizado aparece como un concepto hecho para "demostrar", lo cual rompe parcialmente con las formas de conocimientos anteriores (Lakatos 1976)8 y se convierte, de hecho, en una gran dificultad para el estudiante.
c) Dificultades asociadas a la ruptura álgebra/cálculo.

El cálculo es un dominio donde la actividad matemática se apoya en gran medida en las competencias algebraicas, donde se necesita de una ruptura con una cierta cantidad de prácticas algebraicas para acceder a él, temática que en realidad se ha trabajado muy poco.

Dentro del campo algebraico, los estudiantes están acostumbrados a razonar en lo posible por equivalencia. Entrar en el campo del cálculo significa comprender que este manejo con frecuencia no se va a realizar.

Todo esto no tiene por qué ser natural. La ideología tradicional de la enseñanza no ayuda a los estudiantes a tomar conciencia de estos cambios pues lo conduce a minimizar las rupturas y a mantener la ficción de un aprendizaje progresivo y continuo.

De igual forma, esto es difícil porque los modos de razonamiento que subyacen a este trabajo son nuevos para los estudiantes y porque las técnicas matemáticas de trabajo son delicadas. Se pasa de razonamientos por equivalencias sucesivas a razonamientos por condiciones suficientes.
5. Usos de la epistemología en diversos trabajos de investigación

Muy diversos trabajos se han realizado con aporte epistemológico dentro de la naciente escuela mexicana de matemática educativa. Tal es el caso del estudio sobre las categorías relativas a la apropiación de una base de significaciones propia del pensamiento físico para los conceptos y procesos matemáticos de la teoría elemental de las funciones analíticas realizado por Ricardo Cantoral (1990)9. Destaca, entre otras cosas importantes, el resaltar una noción que, por el papel que desempeña en la construcción del conocimiento, se ubica como la idea germinal, a partir de la cual tanto procedimientos como significaciones se construyen paulatinamente y adquieren entre sí su completa significación epistémica. Cantoral sostiene que esta idea alcanza su madurez durante el siglo XVIII y la que llamará prædicere, el cual define como: “Es la acción intelectual del sujeto epistémico sobre los datos fácticos para establecer los patrones de regularidad del comportamiento de lo que ha de predecirse. Acción que tiene efecto sólo con el conocimiento de las explicaciones causales de los fenómenos de los estudiantes”.

El prædicere, dice él, transita por diversos estadios de su desarrollo que denomina: prædicere como esquema, prædicere como modelo y, prædicere como teoría. El primero se refiere a la construcción de tablas numéricas y de ecuaciones cuasi-empíricas que incorporan variables continuas. Dichas tablas constan de una colección finita de valores de cierto parámetro físico y sirven para predecir valores no contenidos en ellas. Respecto a las ecuaciones, éstas son expresadas generalmente en la lengua natural y se han obtenido mediante la percepción de algún patrón de regularidad en el comportamiento de los datos empíricos. La segunda se encuentra sobre la base del anterior, añadiendo la estructuración de ecuaciones cuasi-universales en el primer marco teórico integrador. En este estadio se construyen las ecuaciones a partir del reconocimiento de la unidad fundamental y permanente, con lo cual se puede prescindir de las grandes tablas construidas. Los resultados, en este contexto, dejan de ser particulares en la mediada que se aplican a todos los objetos en situaciones semejantes. El tercer estadio se refiere a la presencia de un marco teórico relativamente completo en el que las ideas tienden a ocultar su significación que les dio origen. Por otra parte, el enfoque epistemológico forma parte del procedimiento metodológico de la investigación en Cantoral que incluye una génesis histórica, didáctica de antaño, fenomenología intrínseca, constructos característicos, reconstrucción de significados asociados y la praxis educativa.
En el trabajo de Francisco Cordero10 se puede observar otra forma contemporánea de hacer epistemología desde una perspectiva neo-piagetiana. Cordero caracteriza el conocimiento matemático, dentro de situaciones problemas, en términos de procesos y objetos. De este modo, la complejidad del conocimiento matemático consiste en dos aspectos: situación del problema y concepción matemática del sujeto. De éstas depende tomar el papel de proceso o de objeto para muchas nociones matemáticas. Él considera que la transformación proceso-objeto constituye una de las componentes de la problemática, la cual precisa sobre las dificultades de ir más allá al considerar una función como una regla de procedimiento y concebir esto como un ente individual: un objeto matemático. La visualización es otra componente de la matemática la cual consiste en la reticencia del pensamiento visual en la escuela ante la resolución de problemas matemáticos. La flexibilidad de representaciones permite tener al mismo tiempo significados y significantes que no están formados solamente de signos sino, también, de conceptos y nociones que reflejan a la vez el mundo material y la actividad del sujeto en éste.
Otros estudios tales como Ingeniería didáctica. Un estudio de la variación y el cambio de Rosa María Farfán (1994)11, muestra la relevancia de la dimensión epistemológica en matemática educativa cuando afirma que el análisis epistemológico permite al didacta tomar distancia y controlar las representaciones epistemológicas de las matemáticas inducidas por la enseñanza. Argumenta que esto se debe a que dicho análisis provee de historicidad a los conceptos matemáticos que la enseñanza usual presenta como objetos universales, así como a las nociones metamatemáticas y protomatemáticas. Además, posibilita la observación de las disparidades entre el saber científico y el enseñado. Esto contribuye de desterrar ficciones de la escuela, tal como que la concepción de que los objetos de enseñanza son copias simplificadas, pero fieles de los objetos de la ciencia.
Asuman Oktaç (1998)12, en sus trabajos sobre construcciones de las nociones del álgebra lineal y abstracta puede observarse que parte de una experiencia epistemológica, entendida como formas de pensamiento sintético y analítico, sobre lo que significa entender el concepto y cómo el concepto puede ser construido por el que aprende. Todo ello sintetizado en situaciones matemáticas en donde se diseñan actividades dentro de los marcos de aprendizaje cooperativo.
En otros trabajos como el de La convergencia de series en el nivel superior. Una aproximación sistémica de Albert A. (1996) no sólo recurre a la epistemología como una componente fundamental de la metodología que aporta importantes elementos para el diseño y análisis a priori, sino que hace énfasis en la detección de obstáculos epistemológicos y la construcción de las nociones sobre series numéricas, pero no centrado en el individuo sino en la colectividad de la situación escolar. De modo que las relaciones sujeto-objeto no son referidas centralmente a entender sujeto como individuo sino como colectividad en la clase. Así, no son lo mismo los posibles obstáculos y procesos de construcción sobre determinadas nociones para cada estudiante que en su interacción con otros estudiantes y luego con el profesor.
La epistemología de la matemática educativa es una disciplina en ciernes, pero muy importante de desarrollar porque existen muchas interrogantes que resolver como:

¿Cómo distinguir un resultado científico en matemática educativa del que no lo es?

¿qué tan importantes son los estudios antecedentes epistemológicos en todo proceso de investigación en matemática educativa?

¿ Cuales son los alcances y las limitaciones de las validaciones internas, las validaciones sociológicas (de una comunidad científica específica) y respecto a los distintos marcos teóricos que existen?

¿Cómo podría medirse el grado de confirmación de una hipótesis y cómo el de una teoría en matemática educativa?

¿Qué significaría en matemática educativa el concepto de verdad aproximada?

¿Cuáles son los alcances de validación en matemática educativa de trabajos de investigación fundamentados en introspección, seguimiento clínico, trabajo cooperativo, situación escolar?

¿Que es una invariancia en matemática educativa y cuál sería su naturaleza?

¿Hasta donde llegarían los niveles de compatibilidad y de contradicción el uso de más de una teoría en la investigación en matemática educativa (v. gr. : Resolución de problemas con Ingeniería Didáctica?

¿Qué tan sostenible es una postura ecléctica en matemática educativa para la investigación?

¿Qué repercusiones, en términos de validación, tendría recurrir al concepto de probabilidad en la investigación en matemática educativa?

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