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Tipos de red

RdP con peso


Permite que multiples tokens puedan ser quitados/agregados cuando se dispara una transición. Las aristas están etiquetadas con el peso (número de tokens). Si no hay ningún valor se asume que es 1.

RdP con Tiempo


Las Redes de Petri no incluyen concepto alguno de tiempo, por ello, solamente es posible describir solamente la estructura lógica de los sistemas y no su evolución temporal.

La introducción del tiempo en el modelo permite la descripción de comportamientos dinámicos de los sistemas, considerando la evolución de estados y la duración de cada acción tomada por el sistema. Hay múltiples formas diferentes de introducir el concepto de tiempo.

Una primera posibilidad consiste en asociar a cada transición un número que indica, en alguna unidad temporal adecuada, el retardo entre la habilitación y el disparo de la transición. Una RdP Temporizada puede ser definida como:

TPN = {P, T, A, M0, Q}

donde P, T, A y M0 se definen como antes

Q=(q1, q2,…,qm) es el conjunto de retardos asociados a las transiciones.

Una segunda posibilidad para la introducción del concepto de tiempo consiste en asignar un retardo q al proceso de convertir una ficha en disponible luego que la misma llega a un nuevo lugar. Por ello, cada ficha puede estar en uno de dos estados: disponible y no disponible; solamente fichas disponibles habilitan transiciones. La falta de disponibilidad de una ficha modela el tiempo utilizado desarrollando una actividad. En esta abstracción, el tiempo es asociado a los lugares.

La adición de tiempos en las Redes de Petri es un proceso crítico y se deberá prestar atención especial a la comprensión total de la semántica del modelo y a los detalles de su comportamiento.

Existe una amplia variedad de extensiones adicionales, que básicamente consisten en adicionar tiempos a las diferentes componentes del grafo bipartito que constituye la red.

RdP coloreadas


En general, los tokens representan objetos (recursos, personas, etc) en el modelado de un sistema. Para representar los atributos de estos objetos, se utilizan las RdP coloreadas, donde los colores representan las características de los objetos modelados. Las transiciones usan los valores de los tokens adquiridos para determinar los valores de los tokens producidos.

Una transición describe la relación entre los valores de los tokens. Es posible especificar precondiciones, utilizando el color de los tokens para ser consumidos.

RdP jerárquicas


Las especificaciones de sistemas reales tienen una tendencia a ser grandes y complejos. Un mecanismo de abstracción, estructuración jerárquica, se utiliza para poder modificar más fácilmente el modelo. La construcción jerárquica se llama subred. Una subred es un agregado de número de lugares, transiciones y subsistemas. Se puede utilizar para estructurar grandes procesos. En determinados niveles, se quiere dar una simple descripción de un proceso (sin considerar todos los detalles). Pero a otro nivel quizás, se quiera especificar un comportamiento mas detallado. Cada subred se representa con un rectángulo que encapsula parte del modelo general.

Estocásticas


Los modelos de performance tratan de representar el comportamiento de sistemas determinísticos complejos por medio de procesos estocásticos. De esta forma es posible evitar una detallada descripción determinística de las operaciones del sistema, sustituyéndola por asunciones probabilísticas, que capturen la esencia del sistema.

Las Redes de Petri Estocásticas (SPN) se obtienen asociando con cada transición en una RdP una variable aleatoria con distribución exponencial que exprese el retardo desde la habilitación hasta el disparo de la transición. Eliminando las variables aleatorias de una SPN se obtiene la RdP asociada.

Consideremos una SPN y un marcado M en el cual múltiples transiciones están simultáneamente habilitadas. La transición que tiene asociado el retardo más breve disparará primero. La SPN alcanza un nuevo marcado M’, en el cual algunas transiciones estuvieron habilitadas en el marcado M pero que no fueron disparadas y pueden aun estar habilitadas. Debido a la propiedad de falta de memoria de las variables aleatorias exponencialmente distribuidas, obtenemos una distribución de vida igual a la distribución del retardo de disparo en sí mismo. Se puede asumir que la actividad asociada con cada transición recomienza con cualquier nuevo marcado. Esto es válido inclusive cuando se está modelando actividades que se suceden en forma continua: el modelo no “siente” la repetición de actividades asociadas con una transición.

Una definición formal de una SPN es:

SPN = {P, T, A, M0, L}

donde P, T, A y M0 se definen como antes y

L=(l1, l2,…,lm) es el conjunto de tasas de retardos asociados con las transiciones, posiblemente dependientes del marcado, asociadas con las transiciones de la Red de Petri.

Cuando sea necesario, la dependencia con un marcado dado M se representará como lj(M).

Se puede probar que, debido a la propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial de los retardos en los disparos, las SPN son isomórficas a cadenas de Markov de tiempo continuo. En particular, una SPN k-acotada es isomórfica a una MC finita. La misma se puede obtener aplicando las siguientes reglas:

1. El espacio de estados S de la MC corresponde al conjunto de alcance R(M0) de la Red de Petri asociada con la SPN (Mi<->i).

2. La tasa de transición del estado i (correspondiente a Mi) al estado j (Mj) es (Mj) es qij = Σk∈Hij lk, donde Hij es el conjunto de transiciones habilitadas por el marcado Mi, cuyos disparos generan el marcado Mj.

Una SPN se dice ergódica si genera una CTMC. Es posible mostrar que una SPN es ergódica si M0, el marcado inicial, es alcanzable desde cualquier Mi que pertenece R(M0).

Si la SPN es ergódica, es posible calcular la probabilidad de distribución de marcados en el estado estacionario resolviendo la ecuación matricial ΠQ = 0 con la restricción adicional ΣΠi = l, donde Q es el generador infinitesimal cuyos elementos se obtienen por el método de construcción de la MC anterior y p es el vector de probabilidades del estado estacionario. A partir de la distribución de probabilidades del estado estacionario es posible obtener estimaciones cuantitativas del comportamiento de la SPN.

Redes de Petri Estocásticas Generalizadas


Frecuentemente no es deseable asociar un tiempo aleatorio a cada transición. Naturalmente se tiende a asociar tiempos con las transiciones más lentas o aquellas que se cree que tienen un mayor impacto en la performance global del sistema y a asumir instantáneas aquellas muy breves o cuya duración se estima que no tendrá impacto en la performance global.

Un ejemplo típico puede ser el caso en el cual las actividades que componen el sistema poseen diferencias en duración de órdenes de magnitud. La opción se convierte en particularmente conveniente si el número de estados de la Cadena de arkov asociada se reduce. Las Redes de Petri Estocásticas Generalizadas (GSPN) se obtienen permitiendo que las transiciones pertenezcan a dos clases diferentes: inmediatas y temporizadas. Las transiciones inmediatas disparan en tiempo cero una vez que están habilitadas. Las transiciones temporizadas disparan luego de un tiempo de habilitación aleatorio, exponencialmente distribuido. Una definición formal para las GSPN se obtiene haciendo que los elementos del arreglo L sean solamente elementos m’, aquellos asociados a transiciones temporizadas. Si el conjunto de transiciones habilitadas H incluye solamente transiciones temporizadas, entonces la transición ti (i pertenece H) dispara con probabilidad li / Σk∈Hlk como en el caso de SPN. Si H involucra transiciones temporizadas e inmediatas simultáneamente, únicamente dispararán transiciones inmediatas. Si H involucra cero o más transiciones temporizadas y solamente una transición inmediata, solamente disparará la transición inmediata. Cuando H involucra varias transiciones inmediatas, es necesario especificar la función de densidad de probabilidad en el conjunto de transiciones inmediatas habilitadas de a cuerdo a la cual se obtiene la transición que dispara. El subconjunto H que involucra todas las transiciones inmediatas habilitadas, junto con las probabilidades de distribución es llamado switch aleatorio (random switch).
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