Resumen en este trabajo se hace una reconstrucción del desarrollo de la didáctica de las matemáticas como




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2.1. El enfoque antropológico como desarrollo de la didáctica fundamental

En el marco de la didáctica fundamental pronto se puso de manifiesto que no era posible interpretar adecuadamente la matemática escolar ni la actividad matemática escolar sin tener en cuenta los fenómenos relacionados con la reconstrucción escolar de las matemáticas que tienen su origen en la propia institución de producción del saber matemático. Ésta es una de las primeras aportaciones de la teoría de la transposición didáctica (Chevallard, 1985). El desarrollo de esta teoría ha mostrado que las diferentes formas de manipulación social de las matemáticas no pueden ser estudiadas separadamente (Chevallard, 1990). En otro lugar hemos aportado argumentos para justificar porqué no pueden separarse completamente el estudio de la génesis y el desarrollo del saber matemático, del estudio de la enseñanza y la utilización de dicho saber (Gascón, 1993).

Resulta, en definitiva, que los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas sólo pueden abordarse científicamente si se tienen en cuenta simultáneamente los fenómenos de transposición didáctica que, a su vez, no pueden separarse de los fenómenos relativos a la producción de las obras matemáticas (ver la sección 2.2.). La actividad matemática escolar se integra así inseparablemente en la problemática mucho más amplia de las actividades matemáticas institucionales (ver la sección 2.3.), las cuales pasan a constituir el nuevo y más extenso objeto primario de la investigación didáctica.

Surge así una definición más general de didáctica de las matemáticas como “ciencia de las condiciones específicas de la difusión (impuesta) de los saberes matemáticos útiles a las personas y a las instituciones humanas” (Brousseau, 1994), que amplía el ámbito de estudio de la didáctica mucho más allá de las instituciones escolares para abarcar todas aquellas instituciones en las que tiene lugar algún tipo de manipulación de los conocimientos matemáticos.

En este marco de la didáctica fundamental, y como una consecuencia natural del desarrollo de la teoría de la transposición didáctica, ha surgido el enfoque antropológico en didáctica de las matemáticas (Chevallard, 1992). Este enfoque propugna que la actividad matemática debe ser interpretada (esto es, modelizada) como una actividad humana junto a las demás, en lugar de considerarla únicamente como la construcción de un sistema de conceptos, como la utilización de un lenguaje o como un proceso cognitivo. De esta manera el enfoque antropológico integra muchos enfoques parciales (epistemológicos, lingüísticos, psicológicos, sociológicos, ...).

Así, mientras que los enfoques clásicos de la didáctica de las matemáticas se desarrollaron principalmente a la sombra de modelos psicológicos del aprendizaje (conceptualistas, psicolingüísticos o cognitivistas), el enfoque antropológico precisará de un modelo de las matemáticas institucionales que incluya la matemática escolar como un caso particular y de un modelo de las actividades matemáticas institucionales que incluya la enseñanza-aprendizaje escolar de las matemáticas, como una actividad matemática institucional particular. Este paso, de la institución escolar a cualquier institución en la que se manipulen conocimientos matemáticos, con la consiguiente inclusión de los fenómenos de transposición didáctica, constituye la última de las ampliaciones de la problemática didáctica. Esta generalización del objeto de investigación es, por tanto, otra de las aportaciones del enfoque antropológico en relación a las primeras formulaciones de la didáctica fundamental.
2.2. La noción de obra matemática: elementos y estructura

En los últimos desarrollos del enfoque antropológico (Chevallard, 1996) se modeliza la matemática institucional mediante la noción de obra matemática. No se dice lo que “es” una obra matemática, pero se propone un modelo de su estructura a partir de los elementos que la constituyen.

Se postula que una obra matemática, como toda obra humana, surge siempre como respuesta a un conjunto de cuestiones y como medio para llevar a cabo, en el seno de cierta institución, determinadas tareas problemáticas.

Así, por ejemplo, podemos considerar la obra matemática que responde, entre otras, a cuestiones del tipo: “¿Cómo obtener determinado objeto al menor precio posible?”, “¿Cómo alcanzar el mayor efecto posible con un determinado esfuerzo?”, “¿Cómo efectuar el máximo trabajo dentro de un tiempo dado?”, “¿Cómo obtener el máximo beneficio corriendo el mínimo riesgo?”, “¿Cómo construir una máquina que gaste el mínimo de energía para llevar a cabo cierto trabajo?”, “¿Cómo construir un recipiente cilíndrico de determinado volumen minimizando el gasto de materia prima?”, etc. Se trata de cuestiones que de una u otra forma se plantean en la institución escolar.
Las cuestiones y las tareas problemáticas a las que responde una obra matemática acaban cristalizando en uno o más tipos de problemas, aunque inicialmente sólo se disponga de algunos problemas concretos del campo. A medida que la actividad matemática avanza, y siempre que los problemas no se traten como anécdotas aisladas (o “adivinanzas”), es la propia actividad la que genera uno o más tipos de problemas.

En la obra matemática que estamos considerando aparecen problemas tales como: “Dada una recta r en el plano y dos puntos A y B situados en el mismo semiplano respecto a r, buscar el punto X de r tal que el ángulo AXB sea máximo”, “De entre todos los triángulos que tienen un lado de longitud dada y un perímetro dado, ¿cuál es el que tiene área máxima?”, “De entre todos los rectángulos de área dada, cuál es el que tiene el perímetro mínimo?” Se trata de problemas que pueden ser planteados en la enseñanza escolar de las matemáticas.

Si afirmamos que los problemas citados forman, junto a otros muchos, un tipo de problemas no es porque tengan enunciados más o menos parecidos (en todos ellos la incógnita es en un objeto “óptimo” en algún sentido), sino porque existe una técnica matemática (no algorítmica, como en la mayoría de los casos) capaz de abordarlos y de generar muchos más problemas del mismo tipo.

Para abordar los problemas anteriores existe, por ejemplo, la técnica de la línea de nivel tangente a la trayectoria (Polya, 1954). Se trata de una técnica que no utiliza el cálculo diferencial y que, por razones que analizaremos más adelante, no forma parte del currículo escolar (para hacerse cargo del funcionamiento de esta técnica, puede consultarse el ANEXO de este trabajo).
Ninguna técnica puede “vivir” con normalidad en una institución si no aparece en ésta como una manera de hacer a la vez correcta, comprensible y justificada. La existencia de una técnica supone, por tanto, que exista en su entorno un discurso interpretativo y justificativo de la técnica así como de su ámbito de aplicabilidad o validez. Llamamos a este discurso sobre la técnica una tecnología (de tékhne, técnica y logos, discurso). Además de justificarla y hacerla inteligible, la tecnología tiene la importante función de aportar elementos para modificar la técnica con el fin de ampliar su alcance, superando así sus limitaciones y posibilitando la producción de nuevas técnicas.
En nuestro ejemplo, el elemento fundamental de la tecnología asociada a la técnica de la "línea de nivel tangente a la trayectoria", lo constituye el teorema de los multiplicadores de Lagrange. Incluso podría decirse que la técnica descrita constituye una "interpretación geométrica" del sistema de Lagrange. El hecho de que esta tecnología no tenga cabida en la enseñanza secundaria de las matemáticas podría explicar, en parte, la ausencia de la técnica de la “línea de nivel” en dicha institución (a pesar de que permite resolver muchos problemas planteables de manera natural pero irresolubles mediante la técnica que se enseña en secundaria). En el caso de la enseñanza universitaria, la técnica de la “línea de nivel” no puede vivir con normalidad porque tendría que competir con la propia técnica analítica de los multiplicadores de Lagrange que es mucho más potente y general.
Otros elementos que también forman parte de la tecnología asociada a una técnica son las proposiciones que describen su alcance, su relación con otras técnicas, sus posibles generalizaciones (por ejemplo, del plano al espacio) y las causas de sus limitaciones (Gascón, 1989).

La tecnología asociada a una técnica es, en general, un discurso matemático que, como tal, requiere a su vez una interpretación y justificación institucional.

Llamamos teoría asociada a una técnica a la tecnología de su tecnología, esto es, a un “discurso” matemático suficientemente amplio como para justificar e interpretar la tecnología de dicha técnica (junto a la de muchas otras). Mientras que la tecnología asociada a una técnica tiende a ocupar una posición cercana a ésta y aparece con cierta frecuencia en las prácticas matemáticas en las que se utiliza dicha técnica, la teoría, por contra, suele mantenerse a mayor distancia de la práctica matemática, y acostumbra a estar “ausente” de la misma.

La teoría asociada a la técnica de la “línea de nivel tangente a la trayectoria” estará así contenida en la teoría de la diferenciación de funciones reales de varias variables.

Podemos decir, en resumen, que la matemática institucionalizada y, en particular, la matemática escolar, se organiza en obras matemáticas que son conjuntos estructurados de objetos matemáticos que surgen como respuesta a ciertas cuestiones planteables en el seno de dicha institución. Las obras matemáticas son así el resultado final de una actividad matemática que, como toda actividad humana, presenta dos aspectos inseparables: la práctica matemática que consta de tareas(materializadas en tipos de problemas) y técnicas útiles para llevar a cabo dichas tareas, y el discurso razonado sobre dicha práctica que está constituido por dos niveles, el de las tecnologías y el de las teorías. Estos son, en definitiva, los elementos constitutivos de toda obra matemática.

Lo anterior no significa que el carácter “práctico” o “teórico” de un objeto matemático sea intrínsico al mismo. Por contra, hay que subrayar que un mismo objeto, como por ejemplo el sistema de Lagrange, puede formar parte de una actividad “práctica” (puede utilizarse directamente para resolver un problema de máximos y mínimos condicionados) o, en otra organización institucional, puede jugar el papel de elemento “teórico” que puede justificar, en última instancia, una práctica matemática, pero manteniéndose muy alejado de ella. Resulta, en definitiva, que el carácter “teórico” o “práctico” de un objeto matemático depende, en cada institución y en cada actividad matemática concreta, de la función que dicho objeto desempeñe.

Lo dicho hasta aquí pone de manifiesto además que, lejos de ser independientes, los elementos constitutivos de una obra matemática están fuertemente interrelacionados entre sí: el desarrollo de las técnicas genera nuevos tipos de problemas y provoca nuevas necesidades tecnológico-teóricas. Éstas, a su vez, permiten modificar las técnicas ya establecidas, interrelacionarlas con otras, generar nuevas técnicas y, en definitiva, plantear y abordar nuevos tipos de problemas3
2.3. Modelo del proceso de estudio de una obra matemática
Ya hemos dicho que en el enfoque antropológico, el objeto primario de investigación didáctica lo constituyen las actividades matemáticas institucionales que se modelizan mediante la noción de proceso de estudio de una obra matemática en el seno de una institución.

Los estudiantes (esto es, los sujetos de la institución inmersos en un proceso de estudio) no tienen porqué ser alumnos; también pueden ser investigadores de matemáticas, biólogos, químicos, economistas e incluso músicos o pintores que se plantean cuestiones matemáticas para utilizar las respuestas en su trabajo. También puede tratarse, claro está, de profesores que estudian matemáticas en el marco de su actividad docente. En este sentido la noción de proceso de estudio contiene ampliamente la noción clásica de proceso de enseñanza-aprendizaje: mientras que la enseñanza es sólo un medio (a veces poderoso, pero nunca el único) para el estudio, el aprendizaje es el efecto perseguido por el estudio (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997).

El enfoque antropológico postula que el proceso de estudio no es homogéneo sino que está estructurado en diferentes momentos. Cada momento del proceso de estudio hace referencia a una dimensión o aspecto de la actividad matemática más que a un periodo cronológico preciso; por tanto, los momentos están distribuidos de una manera dispersa a lo largo del proceso de estudio y no pueden ser vividos “de una vez por todas”.

En una primera aproximación, el proceso de estudio de una obra matemática puede describirse, aunque de una forma inevitablemente simplificada, relacionando cada momento con los diferentes elementos (tipos de problemas, técnicas, tecnologías y teorías) que constituyen dicha obra.

Denominamos momento del primer encuentro a aquel que hace referencia a los objetos que permiten enunciar problemas de un cierto tipo. La función principal de este momento es la de “hacer existir” dichos objetos para los estudiantes, lo que provoca la emergencia para éstos de un campo de problemas que, en principio, tiene una existencia únicamente virtual y está muy mal delimitado.

El momento del primer encuentro con los problemas de máximos y mínimos tiene lugar, en la organización matemática escolar de la Enseñanza Secundaria4 en las aplicaciones de la noción de derivada de una función real de variable real. En este caso los problemas de máximos y mínimos existen para los estudiantes de Secundaria únicamente dentro del “estrecho” mundo de las funciones de una variable.
Al momento del primer encuentro le sigue, funcionalmente, el momento exploratorio que tiene como primera función que el estudiante utilice el pensamiento conjetural o plausible (Polya, 1954) con prioridad al pensamiento lógico, en la búsqueda de alguna manera de enfrentarse con los problemas. La segunda función del momento exploratorio consiste en permitir que el estudiante llegue a tratar con problemas concretos del campo y a utilizar efectivamente una técnica matemática para resolverlos. La actividad matemática que se lleva a cabo en el momento exploratorio tiene un carácter de conocimiento “en acto”, esto es, no presupone que el estudiante sea capaz de explicitar la técnica que está utilizando ni, mucho menos, que esté en condiciones de justificarla.

Las funciones del momento exploratorio son, así, perfectamente compatibles con una actividad matemática dubitativa y rígida y, por tanto, son insuficientes. La actividad matemática exploratoria conlleva errores y bloqueos que los estudiantes sólo pueden superar familiarizándose con las técnicas y fortaleciendo su dominio de las mismas.

En el caso de los problemas de máximos y mínimos tal como se estudian en la enseñanza secundaria, podemos decir que el momento exploratorio está prácticamente ausente. Ello es debido a que la única técnica que aparece en la organización escolar es casi algorítmica (puesto que, explícitamente, se reduce a la resolución de la ecuación de puntos críticos de una función) y viene dada de antemano. No hay ningún vestigio de ninguna otra técnica (en particular no aparece ni puede aparecer la técnica de la línea de nivel tangente a la trayectoria ni otras técnicas clásicas independientes del cálculo diferencial) y los aspectos menos algorítmicos de la técnica que se utiliza (esto es, la modelización del problema mediante una función de una variable que hay que optimizar) no son tomados en consideración como “maneras de hacer matemáticas”, esto es, como técnicas que habría que explorar, practicar y llegar a dominar.
Llamamos momento del trabajo de la técnica al que completa, en el sentido indicado, al momento exploratorio. Sus funciones principales apuntan a que el estudiante llegue a tener un dominio robusto de las técnicas previamente exploradas, pueda llegar a explicitar la técnica que está utilizando, lleve a cabo pequeñas variaciones de la misma, relaciona diversas técnicas y, en última instancia, pueda llegar a producir nuevas técnicas (respecto a la cultura matemática del grupo).

El momento del trabajo de la técnica es, por tanto, un momento muy importante del proceso de estudio pero, paradójicamente, las instituciones didácticas actuales no disponen de ningún dispositivo en el cual este momento pueda vivir y desarrollarse de una manera normal (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997).
En el caso particular del estudio de los problemas de máximos y mínimos tal como éste se lleva a cabo en la enseñanza secundaria, tampoco se pretende que el alumno llegue a tener un dominio robusto de la técnica escolar habitual ni, mucho menos, que llegue a producir técnicas nuevas.

Sería posible imaginar, sin embargo, una organización matemática escolar en la cual tuviese cabida la técnica de la línea de nivel tangente a la trayectoria y en la cual existiera un dispositivo didáctico que posibilitara que los estudiantes alcanzasen un dominio robusto de la misma. En ese “mundo posible” sería previsible que el desarrollo de la técnica de “la línea de nivel” permitiese producir una nueva técnica, la técnica de variación parcial” (Polya, 1954) que tampoco requiere la utilización del cálculo diferencial pero que permite abordar problemas de un campo mucho más amplio.
Como ya hemos dicho, la aparición de una nueva técnica, comporta que ésta aparezca como “correcta”, “justificable” e “interpretable” en la institución de referencia. Estas necesidades institucionales también se manifiestan a nivel del proceso de estudio de una pequeña comunidad (incluso en el caso límite de un solo estudiante) que, después de producir una técnica nueva (respecto de la cultura matemática del grupo) fruto de un trabajo más o menos guiado, necesitan vivir momentos tecnológico-teóricos a fin de integrar ambos niveles de justificación de la práctica matemática.
Los momentos de institucionalización y evaluación, por fin, considerados como dimensiones o aspectos del proceso de estudio de una obra matemática en el seno de una institución, no deben ser confundidos con la institucionalización y la evaluación escolares que no son más que formas muy particulares de materializar dichas dimensiones. Todo “estudiante” de matemáticas (sea investigador, alumno, profesor, científico que utiliza las matemáticas, etc.) vive momentos de “institucionalización” y de “evaluación” a lo largo de su proceso de estudio5
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