Resumen en este trabajo se hace una reconstrucción del desarrollo de la didáctica de las matemáticas como




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3. La didáctica de las matemáticas como ciencia del “estudio”

Podríamos decir, en resumen, que el paso del punto de vista clásico a la didáctica fundamental inaugura un nuevo programa de investigación en didáctica de las matemáticas (Lakatos, 1978) que, aunque modifica el objeto primario de investigación, abarca ampliamente toda la problemática didáctica clásica, puesto que permite reformular sus problemas y plantear y abordar muchos más. Surgió como consecuencia del descubrimiento de que todo fenómeno didáctico tiene un componente matemático esencial. Este descubrimiento trajo consigo la ampliación inesperada del objeto de investigación de la didáctica, incluyendo las prácticas matemáticas escolares no como un objeto más entre otros, sino como el objeto primario de investigación de cuyo estudio dependen, en cierta forma, todos los demás.

La problemática didáctica se situaba así en el marco de la epistemología de las matemáticas provocando, simultáneamente, una antropologización de la epistemología para dar cabida al “estudio del hombre haciendo matemáticas”. Surge así la antropología de las matemáticas como ampliación de la tradicional “epistemología de

las matemáticas” que sólo se ocupaba de la producción de los conocimientos matemáticos. En el seno de esta antropología de las matemáticas emerge la (antropología) didáctica de las matemáticas (Chevallard, 1990).

Desde ese momento fue posible empezar a recorrer el camino inverso: partir del hombre haciendo matemáticas para constatar que lo didáctico es denso en lo matemático y que todo fenómeno matemático tiene un componente didáctico esencial. Este es el camino que ya hace unos años ha empezado a recorrer el enfoque antropológico en el marco de la didáctica fundamental. Sólo así ha sido posible descubrir no sólo que es insuficiente considerar al estudiante como “sujeto cognitivo”, sino que tampoco basta tomarlo como “sujeto epistémico” (en el sentido estrecho de la epistemología clásica); es preciso abarcar toda la complejidad del “sujeto didáctico” (Artigue, 1990). En el enfoque antropológico esta necesidad de abarcar todas las sujeciones del sujeto didáctico se satisface postulando que la relación del estudiante a una obra matemática puede ser reconstruida a partir de las relaciones institucionales a dicha obra del conjunto de todas las instituciones (no únicamente escolares) a las que el estudiante está sujeto.

El enfoque antropológico toma como objeto primario de investigación el proceso (institucionalizado) de estudio de una obra matemática. Abreviadamente podemos decir que, desde este punto de vista, la didáctica es la ciencia del estudio6 (incluyendo la ayuda al "estudio”) de las matemáticas. Su objetivo es llegar a describir, caracterizar y explicar (pero también diseñar, ayudar a gestionar y evaluar) los procesos de estudio de las comunidades que se ven llevados a estudiar matemáticas en el seno de ciertas instituciones.

Tenemos, en resumen, que el paso del punto de vista clásico a la didáctica fundamental constituye lo que Lakatos denomina un “cambio progresivo de problemática”, con el consiguiente aumento del poder heurístico” del nuevo programa de investigación (Lakatos, 1978). Este aumento viene corroborado por la aparición de nuevos problemas, de nuevas teorías auxiliares y con la anticipación de hechos y fenómenos nuevos. A fin de ejemplificar algunos de los elementos que ponen de manifiesto este aumento de “poder heurístico”, distinguiremos entre el nivel de investigación didáctica básica y el nivel de ingeniería didáctica:

(i) A nivel de investigación didáctica básica, el enfoque antropológico permite reformular nociones de la didáctica fundamental tan importantes como las de transposición didáctica (que, en lugar de referirse a la transposición de las “nociones matemáticas” o de los “objetos matemáticos”, en adelante versará sobre la transposición de las “obras” matemáticas), y obstáculo epistemológico, que pasa ahora a referirse a obstáculos en el “proceso de estudio de una obra matemática” y que ahora podrán ser descritos en base a los cambios (necesarios) de actividad matemática que comporta todo proceso de estudio.

Este enfoque permite, además, abordar muchos problemas didácticos como, por ejemplo, el “problema del diseño del currículo de matemáticas”, que no eran planteables sin salirse del ámbito escolar. Digamos, por último, que gracias al enfoque antropológico es posible describir y empezar a explicar muchos fenómenos didácticos que habían pasado inadvertidos durante años (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997).

(ii) A nivel de ingeniería didáctica, el enfoque antropológico proporciona los instrumentos para analizar, por ejemplo, la estructura y las funciones de los actuales dispositivos didácticos escolares (“clase de matemáticas”, “clase de teoría”, “clase de problemas”, “libro de texto”, “dispositivos de evaluación”, etc.). Este análisis ha permitido constatar y, en cierto sentido, explicar la pobreza de dispositivos didácticos escolares actuales, así como algunas de sus consecuencias.

En un sentido más general, el enfoque antropológico permite simplificar el análisis didáctico previo al diseño de una ingeniería didáctica, centrándolo inicialmente en dos polos: el análisis de la relación institucional a la obra matemática involucrada en el problema didáctico estudiado y el análisis del modelo didáctico específico dominante en la institución escolar, esto es, lo que se (sobre)entiende en dicha institución por “enseñar y aprender” la obra matemática en cuestión. Lo anterior no significa que el enfoque antropológico elimine los análisis cognitivos preliminares relativos a las concepciones de los estudiantes y los análisis de los obstáculos que condicionan su evolución; significa únicamente que dichos análisis no se consideran independientes del análisis epistemológico de la obra enseñada, del análisis de la reconstrucción escolar de dicha obra y del análisis del proceso de estudio de la misma, tal como se lleva a cabo en la institución didáctica considerada. El enfoque antropológico pretende entonces integrar todos esos análisis parciales sin dejar de considerar a las prácticas matemáticas escolares (esto es, a la relación institucional a las obras matemáticas) como el objeto primario de investigación didáctica de cuyo análisis dependen, en cierta forma, todos los demás.

El resto de los análisis didácticos pasan a ser secundarios (en el sentido de “no primarios”), aunque no por ello sean menos importantes.

En adelante la didáctica de las matemáticas puede seguir siendo considerada como la ciencia de los fenómenos y los procesos didácticos, con la condición de que “didáctico” se entienda como “relativo al estudio de las matemáticas”.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AUSUBEL D.P. (1968): Educational Psychology: A Cognitive View, Holt, Rinehart

and Winston: New York.

ARTIGUE M. (1990): Épistémologie et didactique, Recherches en didactique desmathématiques, vol. 10, 2.3, 241-286.

ARTIGUE M. (1995): La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos, en Artigue, M., Douady, R., Moreno, L., Gómez, P. (eds.) Ingeniería didáctica en educación matemática, Grupo Editorial Iberoamérica: México, pp. 97-140.

BAUERSFELD H., y SKOWRONEK H. (1976): Research Related to the Mathematical

Learning Process, en Athen y Kunle, (eds.), 231-245.

BROUSSEAU G. (1972): Processus de mathématisation. La Mathématique à l'Ecole Élémentaire, 428-442, APMEP: Paris.

BROUSSEAU G. (1986): Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7.2, 33-115.

BROUSSEAU G. (1989): La tour de Babel, IREM, Université de Bordeaux I.

BROUSSEAU G. (1994): Problèmes et résultats de Didactique des Mathématiques, ICMI Study 94.

CHEVALLARD Y. (1985): La transposition didactique. Du savoir savant au savoir eneigné, La pensée Sauvage: Grenoble.

CHEVALLARD Y. (1990): Didactique, anthropologie, mathématiques, Postfacio a la

segunda edición de La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné, La pensée sauvage: Grenoble.

CHEVALLARD Y. (1992): Concepts fondamentaux de la didactique: Perspectivas apportées pau une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12(1), 73-112.

CHEVALLARD Y. (1996): La fonction professorale: esquisse d’un modèle didactique,

en R. Noirfalise et M-J. Perrin-Glorian (coord.), Actes de l’École d’Été deDidactique des Mathématiques (Saint-Sauves d’Auvergne, 1995), 83-122.

CHEVALLARD Y., BOSCH M. y GASCON J. (1997): Estudiar matemáticas. E leslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, ICE/Horsori: Barcelona.

GASCON J. (1989): El aprendizaje de métodos de resolución de problemas de matemáticas, Tesis doctoral, Universitat Autònoma de Barcelona.

GASCON J. (1993): Desarrollo del conocimiento matemático y análisis didáctico:

del patrón de análisis-síntesis a la génesis del lenguaje algebraico, Recherches en

Didactique des Mathématiques, Vol 13/3, 295-332.

GASCON J. (1994-95): Un nouveau modèle de l'algèbre élémentaire comme alternative à l’“arithmétique généralisée”, Petit x, 37, 43-63.

GIL D., CARRASCOSA J., FURIO C. y MTNEZ-TORREGROSA J. (1991): La enseñanza de las ciencias en la educación secundaria, ICE/Horsori: Barcelona.

KILPATRICK J. (1981): The Reasonable Ineffectiveness of Research in Mathematics

Education, For the Learning of Mathematics, 2.2, 22-29.

LAKATOS I. (1971): Historia de la ciencia y sus reconstrucciones racionales, Tecnos: Madrid, 1974.

LAKATOS I. (1978): The Methodology of Scientific Research Programmes, Philosophical Papers Volume I, Cambridge University Press: Cambridge.

LESH R. y LANDAU M., eds., (1983): Acquisition of Mathematics Concepts andProcesses, Academic Press: New York.

POLYA G. (1954): Mathematics and plausible reasoning, Princeton University Press:

Princeton (2 vols.)

SCHOENFELD A. H. (1985): Mathematical Problem Solving, Academic Press: Orlando, Florida.

SCHOENFELD A. H. (1991): On paradigms and methods: What do you do when the

ones you know don't do what you want them to?, Paper presented at a Symposium on

methods at the annual meeting of the American Educational Research Association, Chicago, April 1991.
A N E X O

LA TÉCNICA DE LA LÍNEA DE NIVEL

TANGENTE A LA TRAYECTORIA

La puesta en acción de esta técnica requiere las siguientes tareas elementales, ninguna de las cuales es algorítmica porque todas poseen cierto grado de indeterminación:

1. Reducir el problema a la obtención de un punto, es decir, reducir la construcción del objeto incógnita (que puede representarse mediante un objeto geométrico) a la construcción de un punto. A partir de este momento podremos suponer que la incógnita "es" un punto.

2. Expresar la función a optimizar como una función del plano en el conjunto de números reales. Se trata de una función f(x,y) = z que a cada punto P = (x,y) del plano le hace corresponder un número real z. Los puntos buscados son los extremos de esta función de dos variables.

3. Dibujar las líneas de nivel correspondientes a la función a optimizar. Se trata de las curvas Ck del plano sobre las que la función a optimizar es constante.
Ck = {(x,y)/ f(x,y)=k}
4. Dibujar la trayectoria del problema, es decir la curva del plano g(x,y)=0 sobre la cual (según la condición del problema) deben estar situados los puntos solución.

5. Buscar los puntos en los que alguna curva de nivel sea tangente a latrayectoria. Estos puntos son las únicas posibles soluciones del problema.

6. Comprobar para cada uno de los puntos obtenidos si proporciona una solución del problema y, en ese caso, construir el correspondiente objeto solución que verifica la propiedad extremal indicada.

A fin de mostrar el funcionamiento de esta técnica matemática, la aplicaremos a los dos primeros problemas enunciados anteriormente en la sección 2.2.:

Dada una recta r en el plano y dos puntos A y B situados en el mismo semiplano respecto a r, buscar el punto X de r tal que el ángulo AXB sea máximo

1. En este caso la reducción a un punto es clara, puesto que la incógnita es precisamente un punto.

2. La función a optimizar hace corresponder a cada punto P(x,y) del plano la amplitud

del ángulo APB (ver fig. 1).
3. Las curvas de nivel son las circunferencias que pasan simultáneamente por A y Fig. 1

4. por B, dado que, si P varía en una de dichas circunferencias, todos los ángulos APB tienen la misma amplitud porque son ángulos inscritos a una misma circunferencia y abarcan el mismo arco.

5. La trayectoria es, en este caso, la recta r dada.

6. Las posibles soluciones vendrán determinadas por los puntos de tangencia de la recta r con las circunferencias que pasan por A y B. En general hay dos circunferencias que pasando por A y B son tangentes a la recta r. Dado que los centros de estas circunferencias deben equidistar simultáneamente de los puntos A y B y de la recta r, se obtendrán como intersección de la mediatriz del segmento AB con las parábolas de directriz r y focos respectivos A y B.

7. Para construir el punto X de r tal que AXB sea máximo, basta tomar de entre los dos puntos de tangencia el correspondiente a la circunferencia de menor radio, puesto que en ésta el ángulo central correspondiente a esta cuerda será mayor (y, por tanto, el ángulo inscrito también será mayor).

De entre todos los triángulos que tienen un lado de longitud dada a y un perímetro p dado, ¿cuál es el triángulo que tiene área máxima?

1. Para reducir el problema a la obtención de un punto, basta dibujar el lado de longitud

dada a=BC. La incógnita es ahora el punto A, tercer vértice del triángulo.

2. La función a optimizar es la que hace corresponder a cada punto P del plano, el área del triángulo BCP. Dado que BC=a es constante, puede tomarse como función a optimizar la que hace corresponder a cada punto P del plano su distancia a la recta que

contiene el lado BC (que es la altura del triángulo BCP relativa al lado BC).

3. Las lineas de nivel correspondientes a la función a optimizar son las rectas paralelas a

la recta que contiene BC (ver figura 2).

Fig. 2

4. La trayectoria del problema es una elipse de focos B y C, ya que se trata del lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a B y a C es igual a p-a .

5. Por simetría, resulta que los únicos puntos en los que alguna curva de nivel es tangente a la trayectoria son los puntos de la elipse que equidistan de los focos B y C. Estos puntos proporcionan las únicas posibles soluciones del problema.

6. El triángulo buscado es el isósceles cuyo lado BC=a es dado y los dos lados restantes, AB y AC son iguales y miden (p-a)/2.

Poble Nou, julio de 1997

Josep Gascón

Departamento de Matemáticas

Universidad Autónoma de Barcelona

Edificio C, 08193 Bellaterra (Barcelona) Spain

Fax: (3)5812790

E-Mail: gascon@mat.uab.es


1 El calificativo de “clásico” que asignamos a este enfoque no tiene, por supuesto, ninguna connotación peyorativa. Se trata del primer enfoque sistemático de los hechos didácticos y a él le corresponde el honor de haber roto por primera vez con la mentalidad precientífica en lo que se refiere al análisis de lo didáctico. Sin su valiosa aportación no tendría sentido la evolución de la didáctica como disciplina científica que presentamos aquí. El primer autor que habló del “enfoque clásico” en didáctica fue precisamente Guy Brousseau, caracterizándolo como aquel enfoque que, en la explicación de los hechos didácticos, toma como central la actividad cognitiva del sujeto presuponiendo, además que dicha actividad puede ser descrita y explicada de manera relativamente independiente de los restantes aspectos de la relación didáctica (Brousseau, 1986)

2 La noción de objeto paramatemático se debe a Chevallard (1985) y es relativa a la institución en la que nos situemos. Así, por ejemplo, podemos decir que “demostración”, “parámetro” y “ecuación” son objetos paramatemáticos en la enseñanza secundaria porque en esta institución las citadas nociones se utilizan como herramientas transparentes, no cuestionables. No es posible, por ejemplo, que en un examen de secundaria aparezca una pregunta del tipo “¿Qué es una demostración?” o “¿Qué diferencia hay entre un parámetro y una variable?” porque en dichas instituciones las nociones citadas no se toman como objeto de estudio. Pero la noción de “demostración”, por ejemplo, puede funcionar como un objeto matemático en un curso de lógica matemática a nivel universitario.


3 Para una descripción más detallada de la estructura de una obra matemática se puede consultar

Chevallard, Bosch y Gascón, 1997. Al considerar simultáneamente los dos aspectos de una obra

(“praxis” y “logos”) tenemos la noción de “praxeología matemática”.


4 Se toma como ejemplo el proceso de estudio de los problemas de máximos y mínimos, tal como se lleva

a cabo en la Enseñanza Secundaria española.


5 La primera exposición, aunque muy esquemática, de los momentos del proceso de estudio de una obra

matemática, se encuentra en Chevallard, 1996. Para un análisis más detallado de la teoría de los momentos didácticos y para empezar a relacionar las nociones de “praxeología matemática” y “praxedología didáctica”, se puede consultar Chevallard, Bosch y Gascón, 1997.


6 Para entender el alcance de la noción de “estudio” tal como aquí se utiliza, no hay que olvidar que en

los últimos desarrollos del enfoque antropológico toda actividad matemática institucional se modeliza

mediante la noción de proceso de estudio de una obra matemática (en el seno de dicha institución).




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