Bibliografía introduccióN




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Predicted values

S/N Ratio Slope

24.9579 30.0547
Factor levels for predictions

A B C D E F

5 1 2 2 1 1
Calidad funcional y relación S/N dinámica

La calidad funcional se expresa por la función ideal, relacionada directamente con el proceso de transformación principal ya sea de energía, material o señal. En la etapa de diseño de un producto/proceso, el objetivo más importante es asegurarse que el producto desarrolle su función principal correctamente y de manera consistente.
Cuando se define una buena función ideal y se usa la relación dinámica S/N como la medición de robustez, junto con una adecuada selección de factores de ruido y parámetros de diseño en un diseño de parámetros robusto, se alcanzan diversos objetivos:
1. Una mayor relación S/N significa que el sistema sigue la función ideal con la mínima cantidad de variación, de esta manera se garantiza que el sistema tiene excelente controlabilidad.
2. La meta del diseño robusto de parámetros es hacer que el sistema realice su función principal consistentemente bajo la influencia de factores de ruido. Si se logra la robustez, se eliminarán muchos síntomas potenciales (factores de ruido) en las etapas posteriores de desarrollo.
3. En resumen enfocándose a la calidad funcional y usando S/N dinámica se asegura la calidad funcional y se reduce el tiempo de desarrollo.
El uso de S/N dinámica como medición de la robustez derivada de la función lineal ideal, claramente penaliza:

  • La variación – es indeseable.

  • La no linealidad – que es una forma de complejidad desde el punto de vista del diseño axiomático (se prefiere el concepto más sencillo). La linealidad es una propiedad deseable de la señal. Cuando existen varias no linealidades en la relación señal / respuesta se puede complicar demasiado en un ambiente de producción masiva, las relaciones S/N se pueden tornar incontrolables o impredecibles.

  • Baja sensibilidad – una alta sensibilidad es una propiedad deseable. Si se requiere una sensibilidad objetivo, que no sea ni muy baja ni muy alta, se puede el procedimiento de optimización para ajustarla al objetivo.


Las interacciones entre factores de control no son deseables, en el diseño robusto dinámico se sugieren los arreglos L12, L18 y L36, debido a que en esos arreglos las interacciones están confundidas uniformemente en todas las columnas, lo que equivale a tener ruido.
Desde el punto de vista del diseño axiomático, las interacciones introducen complejidad, por lo que un diseño con interacciones no es una selección adecuada de diseño, ya que elimina la aditividad de los efectos lo que aumenta la complejidad.

6. DATOS POR ATRIBUTOS

Los datos por atributos están en forma discontinua, con valores discretos tales como bueno o malo, o 0 y 1. Estos datos con dos clases producen menos discriminación que los datos por variables. Para mejorar la potencia de discriminación se pueden utilizar datos con más clases por ejemplo:
ClaseDescripción1Sin defecto2Defecto ligero3Defecto moderado4Defecto severo

Entre mayor sea el número de clases mejora su habilidad para detectar corrimientos en la media o en la variabilidad.

Tamaño de muestra

Una regla general es captar un mínimo de 20 muestras de la clase con la menor frecuencia (defectos, defectivos, etc.) entre ocurrencias y no ocurrencias, entre menor sea la tasa de falla mayor será el tamaño de muestra.
Métodos de análisis

Se tienen varios casos como se muestra a continuación:

Ocurrencias y no ocurrencias conocidasSólo las ocurrencias son conocidasDos clasesCaso I

ANOVA

Datos 0, 1

% de ocurrenciasCaso III

ANOVA

Frecuencia de ocurrenciasMás de dos clasesCaso II

Análisis acumulativo

Ejemplo 6.1: Fracturas en carcasas de transmisiones

a) Pasa no pasa
En tiempos recientes se han encontrado entre 10 y 15% de carcasas defectuosas, definitivamente algo ha cambiado en el proceso, el problema se detecta al maquinar las carcasas después de la fundición, en esta etapa del proceso el costo es más alto. Una solución contingente fue seleccionar al 100% estas caracasas con tinta penetrante, a un alto costo.
Se pensó en hacer un experimento para identificar el problema, los factores que identificó el equipo de trabajo fueron los siguientes:

FactorNivel 1Nivel 2A TemperaturaProducciónMás altaB TiempoProducciónMenor tiempoC Tasa de enfriamientoProducción (ventilador)Sin ventiladorD Limpieza con chorro de arena Producción

(un ciclo)Más ciclos

Como se requieren 20 defectivos, a una tasa de defectos del 10%, se necesitan al menos 200 muestras.
Los factores se asignaron a un diseño ortogonal L8 como sigue:
L8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7Carcasas Exp. No.ABAxBCeeDDefBuenas 1111111142021112222123312211221234122221122252121212420621221214207221122102482212112024 Total 16 176 = 192
No funciona con Minitab
Los productos malos se codifican con un 1 y los buenos con 0. Por tanto para el primer experimento se tienen 4 unos y 20 ceros.
SST = T – T^2/N
SST = 1^2+1^2+………+0+0 – 16^2/ 192 = 16 – 16^2/192 = 14.667
SSA = (A1-A2)^2 / N = (8-8)^2/192 = 0

SSB = (B1-B2)^2 / N = (13-3)^2/192 = 0.521

SSAB=(AxB1-AxB2)/N= (5-11)^2/192=0.188

SSC = (C1-C2)^2 / N = (9-2)^2 / 192 = 0.021

SSD = (D1-D2)^2 / N =(10-6)^2 /192 = 0.083
SSea (9-7)^2/192 = 0.021 Columna 5

SSeb (10-6)^2/192=0.083 Columna 6
Se tienen dos fuentes de error: e1 a partir de las columnas restantes

e1 = 0.021 + 0.083=0.104

e2 en base a las repeticiones en cada intento:
e2 = SST – SSA – SSB – SSAB – SSC –SSD – Sse1
e2 = 13.75 con (N-1-7) gl = 184 gl.
La tabla ANOVA se muestra a continuación:
FuenteSSvMSFSSpA0.010.0B0.52110.5216.95C0.02110.021D0.08310.083AxB0.18810.1882.51e10.10420.052e213.751840.075T14.667191

La interacción es significativa para una alfa del 15% y la gráfica de la interacción queda como:
Los promedios de las respuestas para las diferentes combinaciones de los niveles A y B son:
A1B1= 2.5

A1B2 = 1.5

A2B1= 4

A2B2 = 0

Como se puede observar la mejor condición se obtiene en A2B2 (tiempo corto, alta temperatura).
Se hizo un experimento de comprobación resultando de 300 carcasas ninguna con defecto.
b) Defectos en varias categorías
Si ahora se clasifican los defectos en varias categorías se tiene:
SeveridadNo. de ClaseSin fracturas1Fractura ligera2Fractura moderada3Fractura severa4

Paso 1. Crear una tabla de defectos por clase acumulativa:
ExperimentoClase 1Clase 2Clase 3Clase 4Total1202112422300124323010244220202452040024620220247240002482400024Totales176862192

ExperimentoClase acum. 1Clase acum. 2Clase acum. 3Clase acum. 4Total1202223242422323232424323232424244222224242452024242424620222424247242424242482424242424Totales176184190192192
Paso 2. Calcular un valor de ponderación para cada clase, que está en función de la frecuencia acumulada de ocurrencia en esa clase. La fórmula para la ponderación de la clase es:

Donde

N es el número total de pruebas

Ti son las ocurrencias acumuladas en la clase i
Por tanto:




La suma de cuadrados para cada clase se multiplica por la ponderación de la clase para obtener una suma ponderada de cuadrados.
Paso 3. Determinación de la suma total de cuadrados SST


En este ejemplo
SST = SST1*W1+SST2*W2+SST3*W3
Para la primera clase:


SST1*W1 = 14.66*13.09 = 191.98


SST2*W2 = 7.666*25.04 = 191.97

SST3*W3 = 1.979*97.01 = 191.99
SST = SST1*W1+SST2*W2+SST3*W3= 575.94
Paso 4. Calcular las sumas de cuadrados para las columnas para cada clase:


Del arreglo L8:
SSA1 = (88-88)^2/192 = 0

SSA2 = (90-94)^2/192=0.0833

SSA3 = (94-96)^2/192=0.0208
SSA = 0.0(13.09) + 0.0833(25.4) + 0.0208(97.01) = 4.1
De esta misma forma se calculan las otras columnas.
Los grados de libertad para cada columna es gl = gl A (3) = 3
Los grados de libertad totales son (N-1) (clases) = 191(3) = 573
La tabla ANOVA se muestra a continuación:
FuenteSSvMSFSSpA4.131.371.37B93.3633.123.12C0.7930.26D3.1831.060AxB5.031.6671.667e11.8860.31e2551.695521T576573

El resultado es similar al del ejemplo con dos clases, el análisis acumulativo funciona mejor cuando la distribución de ocurrencia de defectos se distribuye en las diversas clases.
Caso de datos por atributos: Solo las ocurrencias conocidas
En esta situación la frecuencia de ocurrencias se puede tratar como con datos variables por medio de una ANOVA estándar. Por ejemplo: número de imperfecciones superficiales en las partes, etc.
Transformación Omega para suma de porcentajes
De los datos originales:
L8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7  Exp. No.ABAxBCeeDClase 1Clase 2Clase 3Clase 411111111202112111222223001312211222301041222211220205212121220400621221212022072211221240008221211224000

Si consideramos la interacción AB como significativa se tiene:
En el Nivel A1B1:

Clase 1= 43/48 = 89.6% Clase 2 = 2/48 = 4.2% Clase 3 = 2.1% Clase 4 = 4.2%
En el nivel A1B2:

Clase 1 = 93.75% Clase 2=0% Clase 3=6.25% Clase 4=0%
En el nivel A2B1:

Clase 1=83.3% Clase 2=12.5% Clase 3=4.2% Clase 4=0%
En el nivel A2B2:

Clase 1 = 100% Clases 2,3,4 = 0%
Esta es la combinación de niveles que se selecciona.

Si se hubiera seleccionado la combinación A1B2, se podrían sumar los porcentajes trasformando los valores con la transformación Omega (rel. S/N):


Donde p es un porcentaje.
Para estimar los porcentajes se estima el porcentaje promedio en cada clase:
Promedio de la clase 1 general = 176/192 = 91.66% = 0.9166


Para la clase 1 se tiene en A1B2 el 23/24=95.8% = 0.958



Para la clase 1 se tiene en A1B2 el 22/24=91.66% = 0.9166


La respuesta estimada es:


= 13.58+10.41 – 10.41= 13.58
Haciendo la operación inversa se tiene:
13.58 =- 10*log(1/p – 1) despejando a p se tiene:

-1.358 = log(1/p -1)

10^(-1.358)=1/p – 1

1.04385 = 1/p

p= 0.9579 = 95.79%
Así sucesivamente para las otras clases en caso de que haya necesidad de sumar porcentajes.

7. DISEÑO DE TOLERANCIAS
Las tolerancias utilizadas inicialmente se trata de que sean lo más amplias posible por consideraciones de costo, después se optimiza el diseño del producto y del proceso a través de una combinación adecuada de parámetros de diseño (DPs).

Después es necesario identificar los requerimientos funcionales (FRs) relacionados con el cliente que no se cubren con los métodos de optimización de diseño de parámetros. Estrechando las tolerancias y mejorando los materiales y otros parámetros, normalmente se requiere para alcanzar los objetivos de requerimientos funcionales FRs.
Atributos y tolerancias del cliente (QFD)

Requerimientos funcionales (FRs) y tolerancias

Requerimientos de parámetros de diseño (DPs) y tolerancias

Variables del proceso de manufactura (PVs) y tolerancias

Proceso de desarrollo de tolerancias
Tolerancia: es la desviación permisible de un valor especificado o estándar.
Ejemplo: Dimensiones de paneles de automóvil
Los paneles de los automóviles tales como puertas y toldos tienen muchos requerimientos funcionales, tales como proteger a los clientes, compartimientos de pasajeros, compartimiento del motor y proporcionar una vista agradable. La mayoría de sus requerimientos son dimensionales.


  • Atributos y tolerancias del cliente: los requerimientos del cliente se expresan en términos vagos como “el coche debe parecer fresco, los paneles de la carrocería deben estar bien colocados”. Es muy fácil que el cliente esté insatisfecho si la puerta tiene variaciones moderadas en algunos mm. en sus dimensiones, puede ser que la puerta sea difícil de abrir o cerrar o muestre aberturas indeseables con la carrocería.

  • Tolerancias en los requerimientos funcionales (FRs): Después de analizar los requerimientos del cliente y ver “como trabajan los paneles” se pueden determinar tolerancias dimensionales para los paneles. Por ejemplo, las puertas deben abrir y cerrar fácilmente y deben ajustar bien en las otras partes. Por lo anterior se podría determinar que las dimensiones de los paneles se encuentren dentro de 2mm. De su valor nominal.

  • Tolerancias en parámetros de diseño (DPs): Los paneles de automóviles se fabrican soldando otras partes más pequeñas de metal; las partes de metal se fabrican en un proceso de estampado. Por tanto se deben establecer tolerancias para los subensambles de metal estampados.

  • Tolerancias de variables del proceso (PVs): Las variables del proceso incluyen requerimientos en los dados, requerimientos en los mixtures y requerimientos del estampado. El proceso de establecimiento de tolerancias incluye establecer tolerancias en esos requerimientos.


El proceso se puede esquematizar como sigue:
Requerimientos y

Tolerancias de bajo nivel (DPs, DVs)

Txi  i

………..

Y = f(x1, x2, x3, ….., xn)

Ty  o

Requerimientos y

Tolerancias de alto nivel

(FRs)
Se enfrentan tres mayores problemas en el diseño de tolerancias:
1. Controlar la variabilidad.
2. Cumplir con los requerimientos funcionales satisfactoriamente.
3. Mantener el costo del ciclo de diseño y desarrollo en bajo nivel.
Los requerimientos funcionales deben satisfacerse con una variación mínima. Las tolerancias del cliente se definen como “los límites de tolerancia para los cuales el 50% de los clientes estarán insatisfechos si se exceden”. Las tolerancias amplias son menos costosas y hacen que la manufactura sea más sencilla. Si el diseño de parámetros es insuficiente para limitar la variación de las FRs, el diseño de tolerancias es esencial.
Una técnica utilizada en las partes mecánicas son las Tolerancias y Dimensionado Geométrico (GDT).
Se tienen dos métodos de diseño de tolerancias: el método tradicional y el método de Taguchi.


  • Método tradicional: incluye el análisis de tolerancias del pero caso, análisis estadístico de tolerancias, y análisis de tolerancias basadas en el costo.

  • Método de Taguchi: incluye la relación entre la tolerancias del cliente y la tolerancia del proveedor, así como diseño de experimentos de tolerancia.


Tolerancia del peor caso: análisis lineal

La tolerancia del peor caso se expresa como:


Obviamente:

Análisis de tolerancias: Si se determina la tolerancia de alto nivel con base en tolerancias de bajo nivel.

Distribución de tolerancias: Si se determinan las tolerancias de bajo nivel a partir de una tolerancia de alto nivel.
Ejemplo 7.1: Placas de metal

Una pila de 10 placas de metal se unen como sigue:

Espesor Xi


y = x1 + x2 + x3 + …..+ x10
Si cada placa de metal i, tiene espesor Ti = 0.1”, con tolerancia i = 0.002”, para i = 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.02”.

En el caso de partir de una tolerancia de la pila de o = 0.01”, con el método de escalado proporcional si se multiplica por 0.5 la tolerancia de cada placa i = 0.001”, para i = 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.01”.
Ejemplo 7.2: Tolerancia de un espacio de alivio

Se trata de determinar la tolerancia de C, se asume que A tiene una dimensión de 2.000  0.001” y B, 1.000  0.0001”. Asumiendo que el espacio y = C – A – B debe estar entre 0.001 y 0.006”, se trata de determinar los límites de tolerancia para C, o sea Tc, ’c, c.


C

Y = C – A - B

B

A


Tolerancia del ensamble

T-’c = 0.001= Min (C – A – B) = T-’c – 2.001 – 1.001

T-’c = 3.003

T+c = 0.006 = Max(C –B –A) = T+’c – 1.999 – 0.999

T+’c = 3.004

Se puede seleccionar T = 3.0035  0.0005
Ejemplo 7.3: Fuente de alimentación
Una fuente de 100V, f hertz alimenta a una resistencia R en serie con una inductancia L con una corriente I en amperes y:

Si F = 50 Hz, Tr nominal = 9.5 ohms, r = 1 ohm, L = 0.01 H, L = 0.006 H. La tolerancia del cliente para el circuito es y = 10  1ª. Verificaremos si las tolerancias de los componentes son adecuadas:










En este caso no se cubre la tolerancia del cliente desde el punto de vista del peor caso.
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