Bibliografía introduccióN




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Tolerancia del peor caso: análisis no lineal
En este caso de acuerdo a la expansión en serie de Taylor y a los autores Chase y Greenwood (1988) el límite de tolerancia es:


Del ejemplo anterior para la corriente y se tiene:

Con R = 9.5 df/dR = 0.948

Con L = 0.01, df/dL = 98.53

Y

Muy cercano al cálculo anterior. Si se quiere reducir o a 1.0, se puede multiplicar en proporción p = 1/1.54 = 0.65 a la tolerancia de R y de L, quedando como:


Tolerancia estadística

La tolerancia del peor caso protege contra todo tipo de variaciones en los componentes asegurando que se cumpla la tolerancia de alto nivel, sin embargo puede dar tolerancias muy cerradas con costos altos.
Con base en que al mismo tiempo se presente una tolerancia muy baja o muy alta en todos los componentes tiene una probabilidad muy baja, se utiliza la tolerancia estadística, basada en la distribución normal del comportamiento de los componentes y del producto de alto nivel (xi = N(i, 2i) para i = 1,,n) que se asumen independientes.
Si la ecuación de la función de transferencia entre los requerimientos de alto nivel y los parámetros de bajo nivel o variables x1, x2,…, xn, es una función lineal:

Se tiene la siguiente relación entre las varianzas del producto de alto nivel y las de los componentes o parámetros de bajo nivel:

Los pasos para determinar la tolerancia estadística son los siguientes:

1. Identificar la función de transferencia y = f(x) entre los requerimientos de alto nivel y y los parámetros de bajo nivel.
2. Para cada característica de bajo nivel Xi, i = 1 , ., n identificar i, Cp y i. Ya sea de datos históricos o experiencia.

Si el proceso está centrado (la media del proceso es igual a la media especificada), se tiene:

3. Determinar la varianza de alto nivel y con la ecuación anterior.
4, Utilizar la ecuación de [Cp = Delta cero/3 sigma ] para calcular el requerimiento de Cp de alto nivel (debe ser al menos 1.33). Si se cumple terminar, si no continuar.
5. Seleccionar el Cp deseable, por ejemplo Cp = 2, la varianza requerida es:

Bajando esta varianza de alto nivel a los p componentes:


La varianza y tolerancia de bajo nivel se determinan como sigue:

Ejemplo 7.4 – Ejemplo de placas revisado
Una pila de 10 placas de metal se unen como sigue:
Espesor Xi


y = x1 + x2 + x3 + …..+ x10
Si cada placa de metal i, tiene espesor Ti = 0.1”, con tolerancia i = 0.002”, para i = 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.02” con dimensión T = 1.0.

Si se asume que el Cp requerido de alto nivel es de 2 y para componente de 1.33 se tiene:

Y la varianza es:

Y Sigma = 0.00158

Y para y se tiene:

Este es un Cp muy alto aun si se reduce o a 0.01 todavía el Cp es 2.15. Este ejemplo muestra que las tolerancias con el método del pero caso sobrediseña las tolerancias.
Tolerancia basada en el costo
El objetivo de un diseño óptimo basado en tolerancias es encontrar una estrategia óptima que repercuta en un costo total mínimo (costo de reducción de la variabilidad + pérdidas de calidad).
Los pasos para determinar la tolerancia estadística son los siguientes:
1. Identificar la función de transferencia y = f(x) entre los requerimientos de alto nivel y y los parámetros de bajo nivel. Si no se cuenta con la ecuación, se puede utilizar la simulación en computadora o un modelo empírico derivado de un DOE.
2. Para cada característica de bajo nivel Xi, i = 1 , ., n identificar i, Cp y i. Ya sea de datos históricos o experiencia.

Si el proceso está centrado (la media del proceso es igual a la media especificada), se tiene:


3. Determinar la varianza de alto nivel 2y, se pueden utilizar las sensibilidades para sustituir las derivadas parciales.
4, Utilizar la ecuación de [Cp = Delta cero/3 sigma ] para calcular el requerimiento de Cp de alto nivel (debe ser al menos 1.33). Si se cumple terminar, si no continuar.
5. Seleccionar el Cp deseable, por ejemplo Cp = 2, la varianza requerida es:

Para cada Xi calcular:

Ci es la reducción en costo unitario (por unidad de cambioo en la tolerancia de Xi)

f es el cambio incremental en el requerimiento de y para cada cambio unitario en Xi.
Pi es un factor de escala para la reducción óptima de la tolerancia.

Bajando la varianza de alto nivel a los p componentes:


La varianza y tolerancia de bajo nivel se determinan como sigue:

Ejemplo 7.5: Circuito L-R revisado
Una fuente de 100V, f hertz alimenta a una resistencia R en serie con una inductancia L con una corriente I en amperes y:


Si F = 50 Hz, Tr nominal = 9.5 ohms, r = 1 ohm, L = 0.01 H, L = 0.006 H.

Se asume que los Cps de R y L son 1.33.
Se asume que la tolerancia del resistor R se puede reducir a 0.5 ohms a un costo adicional de $0.15 y que la tolerancia del inductor L se puede reducir a 0.003H a un costo de $0.20.
La tolerancia del cliente para el circuito es y = 10  1ª y un Cp de 2 es deseable.
La desviación estándar requerida es:

La varianza de la corriente del circuito es:






Con R = 9.5 y L = 0.01

De esta forma:


Dado que no se puede satisfacer al cliente con el Cp de 2. Ahora se calcula pR:

Obtenido de:

Por tanto reducir R es más efectivo en costo que reducir L, se tiene:


Los nuevos límites de tolerancia para R y L son:



Función de pérdida de Taguchi y diseño de tolerancias para seguridad
Taguchi desarrolló un método de diseño y asignación de tolerancias considerando costos. El componente más importante del costo es la pérdida de calidad debida a una desviación de los requerimientos del nivel ideal requerido.
Caso Nominal es mejor
Para el caso de Nominal es mejor la función de pérdida se muestra a continuación:

Pérdida de calidad

T-o T- T T+ T+o
Función de pérdida, tolerancia del cliente y del productor
La función de pérdida se puede expresar como:


o es la tolerancia del cliente, cuando se excede se incurre en un costo Ao

Lo recomendable es que si el costo del productor de corregir un defecto o reparar el producto antes de su envío es A < Ao cuando la característica se desvía  de la meta se repare el producto y no se envíe al cliente. Así cuando y = T +  o y = T - , la función de pérdida es:

Si L(y) se pone igual al costo de reparación A, y se despeja el límite de tolerancia del productor  se tiene:


Donde  es la raíz cuadrada de la pérdida de exceder el límite funcional entre la pérdida en la fábrica por exceder el estándar de fabricación.
Siempre se prefiere corregir los defectos en la fábrica ya que si se envían al cliente, además de su insatisfacción y altos costos incurridos, se afecta la imagen, y se hace una mala publicidad de la empresa en lo relacionado a calidad.
Ejemplo 7.6: TV color
En un TV de color la tolerancia del cliente es de 7, si la densidad de color excede T+7 o es menor que T-7, 50% de los clientes estarán insatisfechos y pedirán el reemplazo de su TV a un costo de Ao = $98, si el TV se repara en la fábrica el costo es de $10, y la tolerancia del productor debe ser:

Es decir que la tolerancia del productor debe ser de T2.24 y el factor de seguridad  es de 3.13.
Caso Menor es mejor
En este caso la función de pérdida es la siguiente:


Si el costo interno de reparación es A en una tolerancia del productor , igualando a la función de pérdida se tiene:




Ejemplo 7.7: Conteo de bacterias
Se cuentan las bacterias en la carne, su límite inferior es de 8,000 para evitar enfemedades. Si el costo del tratamiento médico es de $500. Si se detecta que la carne tiene más bacterias de las normales, se descarta a un costo de $3.00. Se sugiere un límite de inspección en:

Por tanto la empacadora inspeccionará los paquetes de carne, si contiene más de 620 bacterias se descartará, el factor de seguridad es de 12.9.
Caso Mayor es mejor
En este caso la función de pérdida es la siguiente:


Si el costo interno de reparación es A en una tolerancia del productor , igualando a la función de pérdida se tiene:



Ejemplo 7.8: Resistencia de un cable
Suponga un cable para colgar un equipo que le ejerce 5000 kgf. Si se rompe se incurre en un costo de $300,000. La resistencia del cable es proporcional a su área seccional en 150 kgf/mm2. Asumiendo que el costo del cable es proporcional a su área seccional en $60/mm2.
Sea el área X, entonces A = 60x, y =150x.

El factor de seguridad es :



Determinación de tolerancias de bajo nivel a partir de las de alto nivel
Dada la característica de alto nivel y y las características de bajo nivel x1, x2,…, xn, se tiene:
Y = f(x1, x2, ….., xn)
Linearizando la función de transferencia se tiene:

La función de pérdida de Taguchi es aproximadamente:

Asumiendo que cuando una característica de bajo nivel Xi excede su límite de tolerancia i la pérdida en calidad es:


Ejemplo 7.9: Fuente de poder
Las especificaciones de una fuente de poder son 9.5V1.5V. Si está fuera de especificaciones el costo de su reemplazo es de $2.00. Una resistencia es crítica, cada vez que cambia 1% su valor varia el voltaje de salida en 0.2V. Si el costo de reemplazo del resistor es de $0.15, ¿cuál debe ser el límite de tolerancia del resistor en porcentaje?

De esta forma el límite de tolerancia del resistor debe ser aproximadamente igual a 2%.
Asignación de tolerancias para parámetros múltiples
Dada la función de transferencia y = f(x1, x2, …., xn) si se desea diseñar límites de tolerancia para todas las características de bajo nivel x1, x2, …, xn en el método de Taguchi, simplemente se aplica la ecuación del problema anterior a todos los parámetros.
; ……..

Por lo tanto el cuadrado del rango de la salida y causada por la variación en x1, x2, …, xn es:




Diseño de experimentos de tolerancia de Taguchi
Dado un sistema con un requerimiento de alto nivel y relacionado con un grupo de características de bajo nivel Xi con una función de transferencia desconocida:
Y = f(x1, x2, ….., xn)
Una vez determinados los niveles de los factores en un diseño de experimentos de parámetros, Taguchi recomienda que los niveles de los factores se establezcan con las reglas siguientes:


  • Factores de dos niveles

  • Primer nivel = valor objetivo Ti - i

  • Segundo nivel = = valor objetivo Ti + i

  • Factores de tres niveles

  • Primer nivel = valor objetivo

  • Segundo nivel = valor objetivo Ti

  • Tercer nivel = valor objetivo


Fijando estas tolerancias en los experimentos de dos niveles, corresponden a los percentiles 15º Y 85º del rango de variación. Para el caso de tres niveles, corresponden a los percentiles 10º, 50º y 90º. Claramente se encuentran en “extremos razonables” del rango de variación.
El diseño de tolerancias es un arreglo experimental ortogonal normal en el cual el requerimiento funcional y es observado en cada corrida experimental. Si en:

Si hacemos se tiene:


Esta ecuación indica que el cuadrado medio total MST en el DOE es un buen estimador de la varianza de (Y). El porcentaje de contribución de cada factor a la suma de cuadrados total SST puede ser usada para priorizar el esfuerzo de reducción de tolerancia. Si un factor tiene un gran porcentaje de contribución al SST y no es caro reducir su tolerancia, es un buen candidato para reducción de la variación.
Ejemplo 7.10: Diseño de experimentos de tolerancias para variables de proceso
Un material compuesto se proceso en un proceso de curado, y la resistencia a la tensión del material es la característica de interés.
Hay cuatro variables del proceso:
A – Temperatura de horneado

B – Tiempo de horneado

C – Cantidad de aditivo de fibra

D – Tasa de agitación
Después del diseño de parámetros, los valores nominales de estas variables de proceso se determinaron en:
A = 300ºF

B = 30 min.

C = 15%

D = 300 rpm.
Estas variables de proceso no pueden ser controladas de manera precisa, en base a datos históricos se ha identificado la desviación estándar a largo plazo para cada factor como:
A = 10ºF

B = 1.8 min.

C = 1.6%

D = 12rpm
Como son tres niveles se utilize:

Primer nivel = valor objetivo

Segundo nivel = valor objetivo Ti

Tercer nivel = valor objetivo
Se obtiene:

FactoresNivel 1Nivel 2Nivel 3A ºF288300312B min.27.83032.2C %131517D rpm285.4300314.6

Se usa un arreglo L9 quedando el arreglo y datos como sigue:

Con Minitab:

Stat > DOE > Taguchi > Create Taguchi Design

Seleccionar 3 level design Number of factors 4

OK
El arreglo y los resultados experimentales se muestran a continuación:

FactoresExperimentoABCDResistencia tensión111112432122229531333285421231615223130162312260731323098321327493321198

Analizando el diseño se obtiene:

Con Minitab:

Stat > DOE > Factorial > Define Custom factorial design

Factors A B C D o A-D

Seleccionar General Full Factorial

OK
Se define el arreglo como sigue:

ExperimentoABCDResistencia tensiónStdOrderRunOrderBlocksPtType111112431111212222952211313332853311421231614411522313015511623122606611731323097711832132748811933211989911

Se analiza el diseño con Minitab:

Stat > DOE > Taguchi > Analize Taguchi Design

Response data in Resistencia Tensión

Analysis Display response tables y Fit linear model for Signal to noise ratios / Means

Terms A B C D (pasar con >)

Options seleccionar Smaller is better

OK
Los resultados parciales de ANOVA para medias son:

Analysis of Variance for Means

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Porcentaje de contribución

A 2 1716.2 1716.22 858.11 * * 8.56% (0.0856)

B 2 4630.9 4630.89 2315.44 * * 23.11% (0.2311)

C 2 9681.6 9681.56 4840.78 * * 48.31% (0.4831)

D 2 4011.6 4011.56 2005.78 * * 20.02% (0.2002)

Residual Error 0 * * * 100% 1.0

Total 8 20040.2 Grados de libertad totales = 9-1 = 8


Claramente los factores C y B son los principales contribuyentes a la varianza. SI podemos reducir la desviación estándar de C y B al 50%, manteniendo la misma contribución de A y de D, la nueva varianza para y será:


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