Bibliografía introduccióN




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  • 2.2 Función de pérdida promedio


    Si bien, la forma de la función de pérdida anterior describe la situación para una unidad de producto en particular, el productor, probablemente este más interesado en la pérdida promedio que su producción induce al cliente. Para esto es suficiente obtener el promedio para todos sus productos, esto es:

    Lmedia=

    Si el número de productos es pequeño, el promedio se puede obtener directamente.
    Si el valor no crece, se puede demostrar mediante un poco de manipuleo algebraico, que el valor de Lmedia es

    Lmedia= ; donde d= (-m)

    y representan la media y varianza del proceso respectivamente.

    Si el productor desea disminuir la pérdida que su producto ocasiona a sus consumidores, deberá por lo tanto, reducir su variabilidad (minimizar ) y centrar su proceso de manera que la media del mismo coincida con el ideal m, (disminuir
    2.3 Función de pérdida para otro tipo de características
    Una característica de calidad, por lo general es de uno de los siguientes tipos:

    Cualitativa. No se puede medir directamente sobre una escala continua

    Cuantitativa. Se divide en tres:
    1. Menor es mejor. Son aquellas características que el cliente desea sea mínima, m es igual a cero y la característica “y” no puede ser menor que esta ideal. Ejemplo: desgaste, fricción, etc.
    2. Mayor es mejor. Son aquellas características en que el valor ideal parra el cliente tiende a infinito. Por ejemplo: duración, rendimiento, etc.

    3. Nominal es mejor. Son aquellas características en que existe un valor nominal deseado por el consumidor “m” y la característica real “y” puede ser mayor o menor que este ideal. Ejemplo: diámetro, longitud, etc.
    Para cada una de las características cuantitativas, existe una función de pérdida tanto individual como promedio. Para el caso cualitativo dependiendo del caso, se puede adaptar a una de ellas. Las expresiones son:
    Tipo Individual Promedio

    Nominal es mejor L(y)= k(y-m)2 L(y)=

    Menor es mejor L(y)=K y2 L(y)=

    Mayor es mejor L(y)= K/ y2 L(y)=
    Cada una de estas expresiones, indica la dirección de mejora para un proceso cualquiera.

    Mediante la función de pérdida podemos:

    1. Cuantificar en dinero, los efectos de una calidad no adecuada

    2. Interpretar los resultados de un experimento en base económica

    3. Evaluar el impacto económico que sobre el cliente tiene alguna acción de mejora.


    Realizar ejemplos numéricos indicados por el instructor.


    Comente lo siguiente: “yo no tengo problemas de pérdida, ya que, si algunos

    de los insumos me salen mal, se los regreso a mis proveedores y ellos me lo recuperan sin costo adicional”.
    1. Una fuente de poder debe entregar un voltaje de 115 volts. El consumidor puede tolerar una desviación de  20 volts.S i la fuente se sale de este intervalo, se debe ajustar a un costo de $300,000. Defina explícitamente la función de pérdida. Al productor le cuesta corregir la fuente de poder antes de embarcarla $150,000. ¿Qué tolerancia debe manejar el productor?,¿Qué pérdida se le ocasiona al consumidor si se le entrega una fuente que genera 125 volts?. ¿Debe salir al mercado una fuente que entregue 132 volts?.
    2. El costo de reparar un equipo de video, si está desajustado después del embarque, es de $2 para el cliente. La tolerancia del consumidor es de 5. El proceso está centrado, muestra una distribución uniforme y tiene una variancia de 102/12, el proveedor decide que para mejorar la calidad, las tolerancias se deben reducir a 2/3 del original. ¿Cuál es el impacto económico de esta decisión?.
    3. Un block requiere que la planicidad sea mínima y que la distancia entre dos puntas sea de 1.00000 pulg. Corregir un problema de planicidad cuesta $50, y uno de longitud $20. La tolerancia de longitud es de 0.00010 y para la planicidad un máximo de 0.00020.
    Se muestrean 10 piezas y se obtiene lo siguiente:

    1.000010 1.000020 0.999990 0.999995 1.000010

    1.000005 1.000020 1.000000 0.999998 0.999990
    0.00010 0.00020 0.00015 0.00005 0.00003

    0.00010 0.00006 0.00018 0.00010 0.00020
    ¿Cuál es la pérdida promedio esperada?
    4. Una dimensión crítica para una parte automotríz, tiene como especificaciones 8.50.05 pulg. El proceso está en control estadístico con una media de 8.492 y desviación estándar de 0.016. Esta parte tiene un precio de venta de $20 y se estima que un 10% es un buen estimado de la pérdida por estar justamente en uno de los límites de especificación. Se producen 250,000 unidades al año. ¿Cuál es la pérdida a la sociedad en un año?. ¿Qué pasa con un valor de 0.01?. ¿Cuánto es lo máximo que se debería invertir por hacer ambas mejoras?
    5. La resistencia a la tracciónd e una soldadura, se desea maximizar. Cuando la tensión de la soldadura es de 0.2 psi, algunas soldaduras se quebraría y tendrían un costo promedio de reemplazo de $200 para el consumidor. Encuentre la función de pérdida. Si se lleva a cabo una mejora se obtienen los siguientes resultados antes y después de la mejora.
    Antes 2.3 2.0 1.9 1.7 2.1 2.2 1.4 2.2 2.0 1.6

    Después 2.1 2.9 2.4 2.5 2.4 2.8 2.1 2.6 2.7 2.3
    Evalúe la reducción en la pérdida con la mejora, si es que la hubo.

    3. ARREGLOS ORTOGONALES
    3.1 Introducción
    Como se mencionó en el capítulo 1, la experimentación juega un papel vital cuando se desea mejorar un proceso de producción.
    Recuerde. que el problema es: identificar de los cientos de posibles factores que afectan una característica de calidad, cuáles de ellos afectan el promedio, cuál es la variación y cuáles no la afectas.
    En las fases iniciales de la experimentación, se tienen una gran cantidad de factores potenciales, de los cuales se selecciona un grupo inicial a probar, Ahora bien, si desea saber si un factor afecta una característica de calidad, es necesario que varíe el factor y evalúe si esto tuvo algún impacto sobre la característica de calidad.
    El problema no es sencillo, sin embargo, ya que si tiene digamos 10 factores a probar, se tienen 1024 posibles condiciones diferentes que se pueden presentar. Este número de pruebas es demasiado grande para casi cualquier situación práctica.
    Se necesita por lo tanto alguna alternativa que:

    1. No permita hacer sólo una pequeña cantidad de las pruebas posibles en lugar de 1024, digamos unas 12 pruebas

    2. Sin embargo, nos permita evaluar con cierta confianza el efecto de todos los factores analizados.

    3. Los resultados de estas pruebas se reproduzcan, esto es, que sean válidas al momento de implantar la decisión en condiciones reales de operación y a plena escala.

    4. Sea algo sencillo y relativamente rápido como para concentrarse más en entender el proceso de producción en sí, que en los análisis estadísticos.


    EL OBJETIVO DE LOS ARREGLOR ORTOGONALES ES FACILITAR EL PROCESO DE EXPERIMENTACIÓN. NUESTRO INTERÉS ES ENCONTRAR QUÉ FACTORES AFECTAN FUERTEMENTE LAS CARACTERÍSTICAS DE CALIDAD Y HACER PREDICCIONES SOBRE LAS CONDICIONES PROPUESTAS DE OPERACIÓN.
    De una manera gráfica, el objetivo de los arreglos ortogonales es: (suponga por ejemplo 10 factores a dos niveles) 1, 024 pruebas posibles:

    Efectuar unas cuantas (digamos 12)

    Nos permita analizar el efecto de los 10 factores

    Nos permite identificar la mejor

    condición, (aun cuando ésta

    no se haya probado) y estimar

    el resultado a esperar y estimar
    3.2 Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles
    El método de Taguchi es una estrategia completa de calidad que construye robustez en los productos y procesos durante su fase de diseño. El sistema de diseño de experimentos de Taguchi de deriva de alrededor de 18 arreglos ortogonales estándar.
    Un arreglo ortogonal es un matriz experimental factorial fraccional que es ortogonal y balanceada. El arreglo más sencillo es el arreglo L4 de la tabla siguiente.
    En esta sección, se analiza qué son, cómo se usan y cuáles son los arreglos ortogonales más importantes para experimentos en los que cada factor toma dos niveles.
    Un arreglo ortogonal es una tabla de números. Ejemplo de un arreglo ortogonal es:

    Factor

    Nº 1 2 3 Resultado
    1 1 1 1 Y1

    2 1 2 2 Y2

    3 2 1 2 Y3

    4 2 2 1 Y4
    Columna 1 Columna 3 Columna 2

    Gráfica lineal del arreglo ortogonal L4

    Se tienen en este caso en particular cuatro renglones y 3 columnas. Bajo el encabezado Nº se tiene el número de pruebas.
    Se tienen tres columnas que consisten de números “1” y “2”. A cada columna se asigna un factor o variable cuyo efecto en la variable de respuesta se desea investigar. Con este arreglo se pueden investigar hasta tres factores.
    Cada columna de un factor consiste de números “1” y “2” donde el número “1” indica que el factor se encuentra a su nivel inferior y el “2 “a su nivel superior.
    Se puede observar que cada columna tiene la misma cantidad de números “1” que de números “2”. Si tomamos cualquier pareja de columnas, existen cuatro posibles combinaciones de sus valores,”11”, “12”, “21” y “22”. Como en cada pareja de columnas se presenta el mismo número de veces cada combinación, se dice que el arreglo es ortogonal o balanceado.
    El resultado de cada condición experimental se muestra con el encabezado resultado.
    De acuerdo con la notación empleada por Taguchi al arreglo mostrado como ejemplo. se le llama un arreglo L4, por tener cuatro renglones.
    Si en el arreglo anterior se cambia el 1 por el -1 y el 2 por el 1, el arreglo se transforma claramente en un arreglo factorial fraccional con la relación que lo genera C = - AB en la columna 3.

    Factor

    Nº 1 2 3 Resultado
    1 -1 -1 -1 Y1

    2 -1 +1 +1 Y2

    3 +1 -1 +1 Y3

    4 +1 +1 -1 Y4

    Para cada arreglo ortogonal de Taguchi se tienen gráficas lineales, usadas para ilustrar las relaciones de interacción en el arreglo ortogonal, en este caso la interacción de las columnas 1 y 2 están confundidas con las columna 3.
    Para arreglos ortogonales más grandes no solo se cuenta con gráficas lineales sino además con tabla de interacciones para explicar las interacciones entre columnas, por ejemplo para el arreglo L8 se tiene:
      COLUMNAS     Exp. No.12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112

    Matriz o tabla de interaccionesColumnas12345671(1)3254762 (2)167453  (3)76544   (4)1235    (5)126     ¡(1)67      (7)

    1 3 2

    3 5

    1

    .7 5 4

    6

    2 6 4

    (a)

    (b) 7
    ¿Qué representa cada tabla?. En primer lugar, el arreglo ortogonal L8 es exactamente el mismo que se utilizó en el caso experimental y cada columna un factor o interacción cuyo impacto sobre la variable de respuesta se desea conocer.
    La matriz triangular nos representa las interacciones entre columnas. En el primer renglón, con el titulo de columna, cada número corresponde a la columna con ese mismo número del arreglo, al igual que los números entre paréntesis que se encuentran en la diagonal inferior. Por ejemplo, si nosotros asignamos el factor A a la columna 3 y el factor B a la columna 5, la interacción de AxB aparecerá en otra columna ya definida. En el cruce de la columna número 5 y el renglón número 3 de la matriz, aparece el número 6 (marcado con * en la tabla), de manera que la interacción de AxB se deberá asignar a la columna 6 del arreglo ortogonal.
    Con ayuda de matriz de interacciones es factible, mediante prueba y error, asignar los factores a las columnas. Sin embargo, para simplificar aun más esta asignación nos podemos auxiliar de las gráficas lineales (1) y (2) que se muestran.
    En una gráfica lineal:

    a) un efecto principal se representa mediante un punto.

    b) una interacción se representa mediante una línea.

    c) los números representan las columnas correspondientes del arreglo ortogonal a donde se asignan los efectos principales y las interacciones.
    En particular, el arreglo ortogonal L8 tiene dos alternativas de arreglo mostrados por las gráficas (1) y (2) respectivamente.
    Por ejemplo, la gráfica (1) indica que con este arreglo se pueden analizar, tres factores principales, (puntos 1, 2 y 4) y las interacciones entre ellos, (líneas 3, 5 y 6), además de un cuarto factor, (punto 7), que no interactúa con los otros tres.
    Los números indican que si deseamos lo anterior, los tres factores deberán asignarse a las columnas 1, 4 y 2. Las interacciones aparecen en las columnas 3, 5 y 6.
    La gráfica (2) indica cuatro factores, (puntos 1, 2, 4 y 7) con interacciones de uno de ellos con los otros tres (líneas 3, 5 y 6).
    Por lo tanto, el factor que interactúa con los otros tres se debe asignar a la columna 1 del arreglo, los otros tres factores a las columnas 2, 4 y 7. Las interacciones quedarán en las columnas 3, 5 y 6.
    Si se desea analizar un número menor de interacciones y un número mayor de factores en el mismo arreglo ortogonal, la columna de cualquier línea representando una interacción que no es relevante, se puede utilizar para representar un factor adicional.
    Si se cambian el 1 y 2 por -1 y +1 en el arreglo L8, es claro que representa un arreglo factorial fraccional donde la columna 4 del arreglo L8 corresponde a la columna A del arreglo , la columna 2 del arreglo L8 corresponde a la columna B del arreglo , y la columna 1 del arreglo L8 corresponde a la columna C del arreglo . También se puede ver que la columna 3 es equivalente a –BC, la columna 5 es equivalente a –AC, la columna 6 es equivalente a –BC, etc.
    COLUMNASCB-BCA-AC-BCExp. No.12345671-1-1-1-1-1-1-12-1-1-1+1+1+1+13-1+1+1-1-1+1 +14-1+1+1+1+1-1-15+1-1+1-1+1-1+16+1-1+1+1-1+1-17+1+1-1-1+1+1-18+1+1-1+1-1-1+1
    Las gráficas lineales muestran donde se confunden las interacciones, por ejemplo: la interacción entre columnas 1 y 2 se confunden con la columna 3, la interacción entre columnas 1 y 4 se confunde con la columna 5, la interacción entre las columnas 2 y 4 se confunde con la columna 6.
    Sin embargo se sabe que el diseño tiene 4 generadores, de manera que cada efecto principal será confundido con muchas interacciones de dos factores por tanto las gráficas lineales solo muestran un subconjunto de relaciones de interacciones. La tabla lineal muestra otras alternativas adicionales, por ejemplo: muestra que la columna 3 se confunde con la interacción de las columnas 1 y 2, pero también se confunde con la interacción entre las columnas 5 y 6 y las columnas 4 y 7, tomando la primera como renglón y la segunda como columna identificando la intersección (en este caso 3).
    En la notación de los arreglos ortogonales , el 2 significa dos niveles, el 8 indica 8 corridas experimentales y el 7 significa que se pueden acomodar hasta 7 factores o una combinación con sus interacciones.
    Los arreglos ortogonales de Taguchi también incluyen arreglos de 3 niveles arreglos mezclados. El más simple es el L9. Su gráfica lineal indica que las columnas 3 y 4 están confundidas con los efectos de la interacción de las columnas 1 y 2.

    COLUMNASExp. No.1234111112122231333421235223162312731328321393321

    Columna 1 Columnas 3,4 Columna 2
    Gráfica lineal del arreglo ortogonal L9
    En general, para un arreglo a dos niveles, el número de columnas, los efectos que se pueden analizar, es igual al número de renglones menos 1.
    Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles, los más utilizados y difundidos se anexan en el apéndice y según el número de factores a analizar son:
    Si el número de factores que Arreglo a utilizar Nº de condiciones

    se desean analizar es a probar
    Entre 1 y 3 L4 4

    Entre 4 y 7 L8 8

    Entre 8 y 11 L12 12

    Entre 12 y 15 L16 16

    Entre 16 y 31 L32 32

    Entre 32 y 63 L64 64
    Para aclarar lo anterior y mostrar los análisis considere el siguiente ejemplo:
    Ejemplo 3.1:
    En un proceso de formación de paneles una característica no deseada es la emisión de formaldehido en el producto final. Se desea que esta emisión sea lo mínima posible. Actualmente se estima en 0.45 ppm.
    Después de análisis previo, (lluvia de ideas, cartas multi-vari, etc.) se cree que cinto factores pueden estar afectando la emisión, estos son: tipo de resina, concentración de la solución, tiempo de ciclo de prensado, humedad y presión.
    Si se desea analizar el efecto de estos factores, es necesario variarlos, esto es probarlos bajo diferentes valores cada uno. A cada uno de estos valores se les llama nivel. Se requieren de al menos dos niveles o valores distintos para cada factor. A uno de ellos arbitrariamente le llamamos nivel bajo o nivel “1”, al otro nivel alto o nivel “2”. Se acostumbra llamar nivel “1” a la situación actual si esta existe.
    Para nuestro ejemplo en particular estos niveles son:

    Factor Descripción Nivel 1 Nivel 2

    A Tipo de resina Tipo I Tipo II

    B Concentración 5% 10%

    C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 seg

    D Humedad 3% 5%

    E Presión 800 Psi 900 Psi


    En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 efectos o factores a dos niveles cada uno, por lo tanto, se usará un arreglo ortogonal L8.
    Esto implica que se ejecutarán 8 pruebas o condiciones experimentales. Por otra parte se disponen de 7 columnas, a cada columna se le puede asignar o asociar un factor. ¿A qué columna específicamente se asignará cada factor?, en estos casos se pueden asignar a cualquier columna.
    De hecho, diferentes personas pueden asignar de diferente manera los factores, esto trae como consecuencia un conjunto de pruebas diferentes. Sin embargo, las conclusiones a que se llegue deben ser iguales o similares.
    Si en particular, asignamos los factores en orden a las primeras cinco Columnas, dejando libres las últimas dos columnas, el arreglo queda:
    COLUMNAS

           Exp. No.ABCDEeeResina Conc.TiempoHumedadPresiónYi11111111Tipo I5%10 seg3%800 psi 0.4921112222Tipo I5%10 seg5%900 psi 0.4231221122Tipo I10%15 seg3%800 psi 0.3841222211Tipo I10%15 seg5%900 psi 0.352121212Tipo II5%15 seg3%900 psi 0.2162122121Tipo II5%15 seg5%800 psi 0.2472211221Tipo II10%10 seg3%900 psi 0.3282212112Tipo II10%10 seg5%800 psi 0.28 T = total 2.64
    Observe que en las columnas vacías, 6 y 7, se ha escrito la letra e, esto para indicar que en ellas se evaluará la variación natural o error aleatorio. Si no se asigna ningún factor, es de esperar que ahí se manifieste la variación natural.

    Los resultados de Yi se muestran en ppm.
    El análisis de resultados, se puede efectuar de dos maneras diferentes. Una de ellas mediante una serie de gráficas, la otra mediante una herramienta sofisticada (para algunos). llamada análisis de varianza, se muestra en este ejemplo primero el uso del análisis de varianza, posteriormente se muestra el uso de gráficas.
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