Bibliografía introduccióN




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  • 3.4 Análisis utilizando gráficas



    Existe una alternativa al análisis ANOVA, esta es una serie de gráficas que se muestran enseguida.

    1) Primero se obtienen los promedios en cada nivel, para cada uno de los factores, incluyendo las columnas vacias.

    Para hacer esto, encontramos los totales para cada nivel y dividimos entre el número de lecturas con el que se obtuvo cada total. Para nuestro ejemplo, los totales a cada nivel los tenemos ya en la sección anterior. Los promedios son:

    Factor A B C D E e e

    Nivel 1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 0.3200 0.3325

    Nivel 2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.3400 0.3225

    Promedio global Y= T/n= 2.64/8= 0.33

    Observe que para cada factor, uno de los promedios es mayor y el otro menor que el promedio global. Esto siempre debe de ocurrir.

    2) Calcule la diferencia entre los promedios de niveles para cada factor, y ordénelos de mayor a menor valor absoluto.
    Esto es por ejemplo para el factor A

    A1 – A2 = 0.3975 – 0.2625= 0.1350; para el resto tenemos:

    Factor A B C D E e e

    Diferencia 0.1350 0.0200 0.0950 0.0400 0.0350 -0.0200 0.0100
    Nº A B C D E e e Yi

    1 1 1 1 1 1 1 1 0.49

    2 1 1 1 2 2 2 2 0.42

    3 1 2 2 1 1 2 2 0.38

    4 1 2 2 2 2 1 1 0.30

    5 2 1 2 1 2 1 2 0.21

    6 2 1 2 2 1 2 1 0.24

    7 2 2 1 1 2 2 1 0.32

    8 2 2 1 2 1 1 2 0.28

    T1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35 Tot

    T2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29 2.64

    SS 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.00080 0.00045 Ve

    gl 1 1 1 1 1 2

    V 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 .00062 F 58.32 1.28 28.88 5.12 3.92

    Sg si no si si si

    P1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 Y

    P2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.33

    Ni 2 - 2 2 2

    Ef -0.0675 -0.0475 -0.0200 -0.0175
    Yest.= Y + Ef A2 + Ef C2 + Ef D2 + Ef E2

    T1 = Total de lecturas al nivel 1

    T2 = Total de lecturas al nivel 2

    n = Número total de lecturas

    SS = (T2 - T1 )2 /n

    gl = Grados de libertad (columnas)

    V = SS/gl

    F = V/Ve

    Sg = ¿Efecto significante?

    P1 = Promedio nivel 1

    P2 = Promedio nivel 2

    Ni = Nivel seleccionado

    Ef = Efecto de la variable

    Y = Promedio de todos los datos

    Yest = Valor estimado de la variable a las condiciones propuestas


    Ordenando de mayor a menor valor absoluto (ignorando el signo),tenemos:

    Factor A C D E B e e

    Diferencia 0.1350 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 -0.0200 0.0100

    Por cierto, podrá observar que el orden en que quedaron, es también el orden de mayor a menor Fexp que se obtiene con la ANOVA.
    Siguiendo el orden anterior, se obtiene una gráfica como se muestra en seguida:
    .40

    .35

    .33

    .30

    A1 A2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 B1 B2 e1 e2 e1 e2

    .25
    Mediante esta gráfica, se puede evaluar el efecto de cada factor. Entre mayor sea la línea de cada factor, o bien, entre más vertical se encuentre, mayor será el efecto de este factor.

    La práctica indica que observará un grupo de líneas inclinadas, seguida de un grupo de líneas que súbitamente se “acuestan” o se hacen horizontales. Es de esperar que las líneas que presentan columnas vacías o error aleatorio, quedan prácticamente horizontales. El decidir hasta que factor es significante, sin embargo, requiere un poco de práctica.

    Observe que las conclusiones a que se llega en este ejemplo son similares a las de la ANOVA, esto es, factores significantes A, C, D y e, igualmente los niveles recomendados se pueden identificar rápidamente, si deseamos reducir la variable de respuesta, se toma el nivel más bajo, en este caso A2, C2, D2 y E2, es decir, los puntos por debajo de la línea promedio global.

    En conclusión, puede utilizar el método gráfico para fines de exposición o presentación y el ANOVA para fines de tomar una decisión más objetiva.

    Sin embargo, tome en cuenta que: ANTES HABRA QUE HACER UNA CORRIDA DE COMPROBACION, BAJO LAS CONDICIONES PROPUESTAS, PARA VERIFICAR QUE SE OBTIENEN LOS RESULTADOS ESPERADOS.

    Ejemplo 3.2 ¿Qué arreglo ortogonal seleccionaría para investigar el efecto de los factores A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, a dos niveles?
    Ejemplo 3.3 Se considera que el acabado de una pieza metálica medida en picos/pulgadas, se ve afectada con siete factores:
    Factor Descripción Nivel 1 Nivel 2

    A tipo de herramienta tipo I tipo II
    B velocidad de corte 150 rpm 200 rpm
    C avance de la herramienta 0.01m/min 0.03

    D ángulo de corte 10 grados 15 grados

    E porta herramientas tipo I tipo II

    F materia prima marca 1 marca 2

    G tipo de refrigerante tipo I tipo II

    Se desea medir el efecto de los siete factores sobre la variable de respuesta en picos por pulg. y se desea determinar las condiciones que maximizan la variable de respuesta.

    Por lo tanto se requiere de un L8 y se correrán 8 pruebas experimentales.

    El arreglo que se tiene es:
    tipo vel. porta

    Nº A B C D E F G hmta corte avance ángulo hta m.p. lubri res
    1 1 1 1 1 1 1 1 I 150 0.01 10 I 1 I 7

    2 1 1 1 2 2 2 2 I 150 0.01 15 II 2 II 10

    3 1 2 2 1 1 2 2 I 200 0.03 10 I 2 II 30

    4 1 2 2 2 2 1 1 I 200 0.03 15 II 1 I 34

    5 2 1 2 1 2 1 2 II 150 0.03 10 II 1 II 10

    6 2 1 2 2 1 2 1 II 150 0.03 15 I 2 I 11

    7 2 2 1 1 2 2 1 II 200 0.01 10 II 2 I 55

    8 2 2 1 2 1 1 2 II 200 0.01 15 I 1 II 61


    Observe que en este caso, no quedan columnas vacías para evaluar el error aleatorio. Se procede al análisis utilizando gráficas en primer lugar cada uno de los factores.
    El número de datos es n= 8. El total de los datos T= Yi= 218

    El promedio global de los datos es Y= T7n= 218/8= 27.25
    El total para cada uno de los niveles de cada factor es:
    A B C D E F G

    Nivel 1 81 38 133 102 109 112 107

    Nivel 2 137 180 85 116 109 106 111

    218 218 218 218 218 218 218


    El promedio para cada nivel se obtiene dividiendo los totales entre cuatro (cada total es la suma de cuatro lecturas)

    A B C D E F G

    Nivel 1 20.25 9.50 33.25 25.50 27.25 28.00 26.75

    Nivel 2 34.25 45.00 21.25 29.00 27.25 26.50 27.75

    Diferencia 14.00 35.50 12.00 3.50 00.00 1.50 1.00

    3) Construcción de las gráficas de respuesta.
    Graficando en orden de mayor a menor diferencia se obtiene

    B1 B2 A1 A2 C1 C2 D1 D2 F1 F2 G1 G2 E1 E2

    Se puede observar en la gráfica, que aparentemente los factores B, A, C y D son significantes, esto es, afectan a la variable de respuesta.
    4) Se determinan las mejores condiciones de operación

    Las condiciones de operación que maximizan la variable de respuesta (rigurosidad en picos/pulg) son A2, B1, C1 y D2, ya que a esos niveles la respuesta promedio es mayor.

    Una estimación de la rugosidad, bajo las condiciones propuestas, se obtiene evaluando el efecto de cada factor significante:
    EF A2 = A2 - Y= 34.25-27.25= 7.00
    EF B2 = B2 - Y= 45.00 – 27.25= 17.75
    EF C1 = C1 - Y= 33.25 – 27.25= 6.00
    EF D2 = D2 - Y= 29.00 – 27.25= 1.75
    Yest = Y + EF A2 + EF B2 + EF C1 + EF D2 =27.25+7.00+17.75+6.00+1.75=59.75
    Observe que si se tuviera duda de considerar o no significante al factor D, la diferencia en la respuesta es de solo 1.75, esto es, que si considera no significante al factor D, entonces Yest= 58.00, lo cual no es muy diferente de 59.75.

    Análisis utilizando ANOVA.
    Si se utiliza ANOVA depués de calcular los totales, que ya se tienen para este caso, se evalúa la suma de cuadrados. Por ejemplo, para el factor A se tiene

    SSA= (A2 – A1 )2/8= (137 – 81) 2 /8= 392.0 con 1 g.l.


    La tabla ANOVA completa es:
    Factor SS g.l. V Fexp.

    A 392.00 1 392.00

    B 2520.50 1 2520.50

    C 288.00 1 288.00

    D 24.50 1 24.50

    E 00.00 1 00.00

    F 4.50 1 4.50

    G 2.00 1 2.00
    Total 7
    El hecho de no tener columnas libres para evaluar el error, no tuvo mucho impacto cuando se utilizan gráficas. En este caso de la ANOVA, sin embargo, es indispensable tener una estimación de la suma de cuadrados del error para evaluar la Fexp.
    Cuando no se tienen columnas libres, se utiliza la siguiente aproximación:

    Considere el número total de grados de libertad, (número de columnas del arreglo para casos a dos niveles) divídalo entre dos y redondeando hacia el número menor:
    7/2= 3.5  3
    Según el número resultante, tome las sumas de cuadrados más pequeñas como una estimación del error.

    En este ejemplo, se toman las 3 sumas de cuadrados más pequeñas, SSE, SSF y SSG, de manera que:

    (SSe)= SSe + SSF + SSG= 0.0+4.5+2= 6.5; con g.l. 1 + 1 + 1= 3 

    Ve= SSe/3= 6.5/3= 2.166


    Este tipo de estimaciones se escriben entre paréntesis en la tabla ANOVA

    Factor SS g.l. V Fexp

    A 392.0 1 392.0 180.9

    B 2520.5 1 2520.5 1163.3

    C 288.0 1 288.0 132.9

    D 24.5 1 24.5 11.3

    E 0.0 1 0.0 -

    F 4.5 1 4.5 -

    G 2.0 1 2.0 -

    (e) 6.5 1 2.166
    Observe que ya no se evalúa el valor de la Fexp, para los factores considerados como error.
    En este ejemplo, los factores significantes coinciden con los que se encontraron al utilizar gráficas. Así que los resultados son los mismos.
    Ejemplo 3.4 En seguida, considere u ejemplo para el caso de nominal es mejor.


    Se desea que el diámetro de una pieza que se ensambla en otra, sea exactamente de 100 décimas de milímetro. Se considera que los siguientes factores afectan el diámetro final:


    Factor Descripción Nivel 1 Nivel 2

    A Materia prima marca 1 marca 2

    B Velocidad de corte 600 rpm 700 rpm

    D Prelavado si no

    C Contenido de carbono 1.40% 1.45%

    E Temperatura de recocido 800 ºC 900 ºC

    F Contenido de azufre 0.05% 0.06%

    G Tipo de refrigerante I II

    H Marca de herramienta I II

    I Porta herramienta 1 2

    J Tipo de horno I II

    K Angulo de corte 20º 25º
    Dado que requiere analizar 11 factores, se necesita utilizar un arreglo ortogonal L12 sin dejar columnas vacías, los resultados son:

    Nº A B C D E F G H I J K Resultado
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 109.9900

    2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 116.0000

    3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 111.7297

    4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 114.9826

    5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 110.9567

    6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 102.7219

    7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 117.9736

    8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 123.6494

    9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 109.3784

    10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 96.1259

    11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 103.9904

    12 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 108.6862
    Total = T = 1326.1848
    Los totales para cada uno de los niveles de los factores son:

    A B C D E F

    Nivel 1 666.3810 688.7211 665.4084 659.4882

    Nivel 2 659.8038 637.4637 663.1572 660.7764 666.6966
    G H I J K

    Nivel 1 642.1710 681.5430 659.7066

    Nivel 2 684.0138 644.6424 669.3360 666.4782
    Así por ejemplo. la suma de cuadrados para el factor I es:

    SSI= (I2 – I1) 2/2= (644.6424 – 681.5430) 2//12= 113.4712
    La tabla ANOVA completa es:
    Efecto SS g.l. V Fexp.
    A 3.6047 1 3.6047 -

    B 99.4

    C 0.0014 1 0.0014 -

    D 1.7876 1 1.7876 -

    E

    F

    G 145.9003 1 145.9003 66.2

    H 1.8016 1 1.8016 -

    I 113.4712 1

    J 12.9967 1 12.9967 5.9

    K 3.8207 1 3.8207 -

    (e)

    Dado que no se tiene una evaluación del error, se procede a la estimación. Se tienen 11 grados de libertad entre dos y redondeando hacia abajo se obtiene 5.

    Considerando las 5 sumas de cuadrados más pequeñas como se error se obtiene que:
    (SSe)= SSA + SSC +SSH + SSK=

    Con 5 g.l.


    Resultan significantes los factores B, E, G, I y J.
    Con el objetivo de entender a que nivel fijar cada uno de los factores, esto se realiza en etapas.
    a) caso 1. Suponga, aunque no haya sido cierto en este ejemplo, que únicamente el factor B, velocidad de corte es significante.

    Dado que se trata de un factor cuantitativo, es factible realizar una interpolación como sigue:

    B1 (600 rpm)= B1/6= 688.7211/6= 114.7868

    B2 (700 rpm)= B2/6= 637.4637/6= 106.2439
    Si B se fija a su nivel 1, entonces:

    Yest= 110.5154 + (114.7868 – 110.5154)=114.7868
    Si B se fija a su nivel 2, entonces:

    Yest= 110.5154 + (106.2439 – 110.5154) = 106.2439
    Dado que lo que se desea es una Y est de 110.0000 se puede hacer una interopolación, (se recomienda que sea en forma gráfica).
    120

    Yest

    110
    105

    100
    B1 B2

    600 rpm 700 rpm
    Por lo que se obtiene una Yest. de 110.0000 para una velocidad de corte aproximadamente 656 rpm.
    b) Solamente el factor G resulta significante.
    Si se procede igual que en el caso anterior se tiene que:


    Yest= 107.0285 si G se fija a su nivel 1, refrigerante tipo I

    Yest= 117.0023 si G se fija a su nivel 2, refrigerante tipo II

    Sin embargo, el factor G tipo refrigerante, es cualitativo la cual implica que no se puede interpolar. En este caso, lo único que se puede decidir es fijar el factor al nivel al cual se acerca más al valor deseado, en nuestro caso, fijar G al nivel 1, para obtener una Yest de 107.0285.

    Si o el instructor en turno lo consideran pertinente, el siguiente caso se puede brincar, ya que como dicen en los libros, se puede continuar sin pérdida de generalidad).

    c) Varios factores cualitativos y cuantitativos significantes.

    En este caso, la decisión es un tanto más elaborada. Se tiene que decidir en secuencia para cada uno de los factores procurando acercarse al valor nominal.

    Siempre se recomienda decidir primero para los factores cualitativos en orden de mayor a menor importancia. En seguida los cuantitativos también de mayor a menor importancia.

    En nuestro ejemplo original, resultaron significantes dos factores cuantitativos (B y E) y tres cualitativos (G, I y J). Los promedios para cada nivel son:

    Cuantitativos Cualitativos

    G I J B E

    Nivel 1 107.0285 113.5905 109.4747 114.7868 107.8005

    Nivel 2 114.0025 107.4404 111.5561 106.2439 113.2305
    Y= 110.5154

    Se inicia con el factor cualitativo G, de acuerdo con el cado b) anterior se fija G a su nivel 1 y se estima una Yest= 107.0285.
    Para decidir sobre el factor I, la Yest hasta el momento es inferior al valor deseado, por lo tanto, se desea aumentar la variable de respuesta. Esto se logra fijando el factor I a su nivel 1. Con esto se obtiene:
    Yest = 107.0285 + EF I1= 107.0285 + (113.5905 – 110.5154)

    = 110.1036
    El factor J se fija a su nivel 1, ya que se desea bajar el valor actual del Yest.

    Yest = 110.1036 + EF J1= 110.1036 + (109.4747 – 110.5154)

    = 109.0629
    Partiendo del valor actual de Yest, si el factor B se fija a su nivel 1 (600 rpm), se obtiene

    Yest = 109.0629 + (B1 – Y)= 109.0629 + (114.7868 – 110.5154)

    = 113.3343
    Si B se fija a su nivel 2 (700 rpm) se obtiene:

    Yest = 109.0629 + (B2 – Y)= 109.0629 + (106.2439 – 110.5154)

    = 104.7914
    Interpolando se obtiene que para B a 639 rpm se obtiene el valor deseado de Yest = 110.0000

    Falta aún por decidir acerca del factor E. A fin de que su efecto sea nulo, (ya se tiene el valor deseado de Yest), se debe fijar justo a la mitad del intervalo que se probó, esto es, a 850 C ya que a ese nivel se obtendrá una respuesta igual a Y. El resto de los factores por supuesto, se fijan a su nivel más económico.

    Como se podrá dar cuenta, existen muchas otras combinaciones que dan el resultado deseado, al considerar el aspecto económico se puede decidir por alguna.
    3.5 Resultados esperados en una corrida de comprobación o confirmación

    El objetivo de la corrida de confirmación es checar la reproducibilidad de los resultados bajo las condiciones propuestas, ¿Qué puede suceder al efectuar la corrida?

    Considere el ejemplo 3 de la sección anterior. Si se realiza la corrida bajo las condiciones propuestas A2, B2, C1 y D2, se esperaría un resultado de 59.75.

    En la práctica será difícil que se presente exactamente el resultado de 59.75. Más bien habrá de esperar que el resultado quede en un intervalo que se puede definir como sigue:

    Yest 

    Donde Fgl= valor que depende de los grados de libertad del error aleatorio, según la siguiente tabla:

    gl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

    Fgl 161.40 18.51 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96 4.84
    Ve= valor de v para el error

    en= número total de lecturas/suma de los grados de libertad de los efectos que resultaron significantes, más uno.
    Se recomienda que este cálculo se efectúe después de que los efectos no

    significantes se sumen al error. Así, para el ejemplo se tiene lo siguiente; Yest= 59.75; Ve= 2.166 de la tabla ANOVA; en= 8/(4 + 1)=1.6 (se tomaron 8 lecturas en total y son cuatro efectos significantes A, B, C y D).

    Dado que el error tiene 3 grados de libertad entonces Fgl= 10.13


    El intervalo por lo tanto es:
    59.75  : 59.75  3.703; osea entre 56.047 y 63.453

    ¿Qué hacer cuando se obtiene un valor fuera de este intervalo? Si el resultado es mejor de lo esperado, se recomienda no hacer nada, pero si es peor, checar lo siguiente:
    1. Checar si los niveles de los factores fueron demasiado estrechos.

    2. Analizar los factores potenciales de nuevo, ya que pudo haberse olvidado considerar un factor controlable que influye fuertemente.

    3. Checar por posibles interacciones.
    Como ejemplo propuesto, analizar los resultados del siguiente arreglo L8
    Nº D E F C B G A Yi

    11

    13

    • 3

    • 1 13 9

    • 8

    • 8


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