Bibliografía introduccióN




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fecha de publicación15.08.2016
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Gráficas lineales


En el apéndice se muestra un arreglo L8 junto con una matriz triangular y dos gráficas lineales. Estas se reproducen aquí para explicación.
L8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7Exp. No.       1111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112

Matriz o tabla de interaccionesColumnas12345671(1)3254762 (2)167453  (3)76544   (4)1235    (5)126     ¡(1)67      (7)

1 3 2

3 5

1

.7 5 4

6

2 6 4

(a)

(b) 7
La aplicación de gráficas lineales se muestra mediante una serie de ejemplos.

Ejemplo 3.6:

Supongamos que queremos analizar el efecto de cuatro factores A, B, C y D, además de las interacciones AxB, AxC y AxD.

1) Como primer paso, seleccionamos un arreglo ortogonal tentativo. Esto depende del número de efectos totales a analizar.
4 factores + 3 interacciones= 7 efectos o columnas

2) Después de seleccionar un arreglo ortogonal tentativo, un L8 en este caso, el siguiente paso es desarrollar la gráfica lineal que deseamos, de acuerdo con las reglas mencionadas anteriormente:

a) un efecto individual se representa con un punto.

b) una interacción se representa mediante una línea que une los dos efectos individuales.
En nuestro caso esto procede como sigue:

Primero dibujamos cuatro puntos, uno para cada efecto.

A. B.
C. D.

En seguida mostramos las interacciones que nos interesan, mediante líneas. Para nuestro caso tenemos (gráfica de la izquierda):

AxB 3

A B 1 2
AxC AxD 5

6

C D 7 4
3) Identificamos la gráfica mostrada en el apéndice que más se parece a la gráfica deseada, y vemos que esta es la gráfica (2), (dibujada a la derecha de la anterior). Por lo tanto, podremos asignar el factor A a la columna 1, el factor B a la columna 2, la interacción AxB a la columna 3, el factor D a la columna 4, la interacción AxD a la columna 5, el factor C a la columna 7 y la interacción AxC a la columna 6.
Esto es:

Columna 1Columna 2Columna 3Columna 4Columna 5Columna 6Columna 7Exp. No.ABAxBDAxDAxCC1111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112
Supongamos que ahora queremos analizar un factor más, el factor E y creemos que la interacción AxC realmente no es relevante. La gráfica lineal que requerimos es:

B

AxB

A C .E

AxD

D

Esta gráfica es parecida a la gráfica lineal (2) excepto por la interacción de AxC, por lo tanto, una asignación lógica es:

Factor A a la columna 1, factor B a la columna 2, interacción AxB a la columna 3, el factor C a la columna 4, el factor D a la columna 7, la interacción AxD a la columna 6. Por último, a la columna 5 que de otra manera sería la interacción AxC, se le asigna el factor E.

Observe que en este último caso, también se pudo utilizar la gráfica lineal (1).

Si por alguna razón, la gráfica que deseamos, no puede quedar incluida en las gráficas lineales (1) ó (2) es necesario usar otro arreglo ortogonal de mayor tamaño.

Ejemplo 3.5:

Si deseamos analizar los factores A, B, C, D, E y F, además de la interacción AxB, una posible asignación es:

 Columna 1Columna 2Columna 3Columna 4Columna 5Columna 6Columna 7EfectoADCBAxBEF
Ejemplos adicionales 3.6:

a) En un experimento hay 7 factores, se consideran sólo los efectos principales. Los grados de libertad son Df = 1 + 7(“-1) = 8. El arreglo ortogonal seleccionado debe tener al menos 8 corridas experimentales, en este caso puede ser un L8.

b) En un experimento hay un factor A de dos niveles y 6 factores de 3 niveles, B, C, D, E, F, G. Los grados de libertad son: Df = 1 + (2-1) +6(3-1) = 14. Por tanto se debe usar un arreglo ortogonal que la menos tenga 14 corridas experimentales. El L16 tiene experimentos pero no puede acomodar 6 columnas de tres niveles. El arreglo ortogonal L18 tiene una columna para un factor de dos niveles y 7 columnas de 3 niveles, por tanto es el arreglo a usar. La columna 8 se deja vacía.
L18Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7Col. 8Exp. No.ABCDEFGe111111111211222222311333333412112233512223311612331122713121323813232131913313212102113322111212113321221322113132212313214222312131522312321162313231217232131231823321231
c) En un experimento hay 9 factores de dos niveles, A, B, C, D, E, F, G, H, I y las interacciones AB, AC, AD y AF se piensa que pueden presentarse.
Los experimentos necesarios son al menos Df = 1 + 9(2-1) + 4(2-1)(2-1) = 14

El diseño L16 tiene 16 corridas experimentales y puede acomodar hasta 15 factores o sus interacciones en dos niveles. Usando la gráfica lineal para identificar las columnas de las cuatro interacciones se tiene:

A(1)

C(6) 7 13 D(12) G(11)
3 9 15 I(14)
B(2) 10 F(8) E(4) H(5)
Las columnas 3, 7, 9 y 13 se dejan vacías para evitar confundir los efectos principales con las interacciones de dos factores.

El arreglo queda como sigue:


L16123456789101112131415Exp. No.ABABEHCACFAFeGDADIE11111111111111112111111112222222................
d) En un experimento hay 6 factores con 3 niveles A, B, C, D, E, F y las interacciones probables AB, AC, y BC.
Los experimentos necesarios son: Df = 1 + 6(3-1) + 3(3-1)(3-1) = 25. El arreglo L27 tiene 27 corridas experimentales y puede acomodar 13 factores de 3 niveles. En base a su gráfica lineal se tiene:
A(1)

D(9) E(10) F(12) e(13)

3,4 6,7
B(2) C(5)

Las columnas 3, 4, 6, 7, 8, y 11 se dejan vacías para evitar confusión de efectos principales con las interacciones AB, AC, y BC.

Técnicas especiales

Algunas veces se requiere tener algunos factores con diferentes niveles en el mismo experimento, por ejemplo cuatro o más niveles, para esto se utilizan algunas técnicas especiales.

Combinación de columnas

Se pueden combinar varias columnas de bajo nivel en una columna de mayor nivel.

a) Creación de una columna de cuatro niveles usando columnas de dos niveles:
Se requieren tres columnas de dos niveles para crear una columna de 8 niveles, como cada columna tiene un grado de libertad, y una de cuatro niveles tiene tres grados de libertad, se requieren tres columnas, que se forman con dos columnas y la columna de su interacción.

Por ejemplo si se hay dos factores en un experimento A y B, con A un factor de cuatro niveles y B un factor de dos niveles. La interacción AB puede ser significativa. Calculando los grados de libertad se tiene:

Df = 1 + (4-1) + (2-1) + (4-1)(2-1) = 8

Por lo que se puede utilizar el arreglo L8 como sigue:

L8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7Exp. No.       1111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112

Combinando las columnas 1, 2 y 3 se tiene:

A 1

3 AB(5)

2 B(4)

AB(6) 7
L8Col.1 Col. 2Col. Nueva BExp. No.   11112111312241225213621372248224
L8Col. nueva Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7Exp. No.     111111212222321122422211531212632121741221842112

Calculando los grados de libertad de AB se tiene Df = (4-1)(2-1) = 3, por tanto se deben utilizar tres columnas; las columnas 5 y 6 están relacionadas con la interacción de AB; también su columna 3 al interaccionar con la columna 4 (AB) la interacción se presenta en la columna 7 de la gráfica lineal L8 siguiente:


Matriz o tabla de interaccionesColumnas12345671(1)3254762 (2)167453  (3)76544   (4)1235    (5)126     ¡(1)67      (7)
Y la gráfica lineal queda como sigue:

A 1

3 AB(5)
2 B(4)

AB(6) AB(7)

El arreglo ortogonal resultante es el siguiente:

L8ABABABABExp. No.     111111212222321122422211531212632121741221842112
Técnica de nivel artificial

Se utiliza para asignar un factor con m niveles a una columna con n niveles, donde n > m. Se puede aplicar la técnica de nivel artificial para asignar un factor de 3 niveles a un arreglo ortogonal de 2 niveles.

Por ejemplo, si en un experimento hay 1 factor de 2 niveles A, y 3 factores de 3 niveles B, C, D. Los grados de libertad son los siguientes:

Df = 1 + (2-1) + 3(3-1) = 8

El arreglo L8 no puede acomodar este diseño porque solo tiene columnas de 2 niveles, se requiere un arreglo mayor como el L9 que puede acomodar hasta 4 factores de tres niveles, de esta forma se puede utilizar una columna para el factor A en 2 niveles y los factores B, C, y D a otras 3 columnas como sigue:

El arreglo L9 original es:

L9Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Exp. No.ABCD111112122231333421235223162312731328321393321

En este caso los 1’ indican que se asignó el nivel 1 en lugar del nivel 3 en la columna 1, también se pudo haber asignado el nivel 2. El nivel seleccionado a duplicarse debe ser el nivel del cual nos gustaría obtener más información.

Y el arreglo modificado queda como:

L9Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Exp. No.ABCD11111212223133342123522316231271’13281’21391’321

Por ejemplo en otro experimento se tiene un factor A en 3 niveles, 7 factores en 2 niveles B, C, D, E, F, G, H así como sus interacciones BC, DE y FG.

Determinado los grados de libertad se tiene:

Df = 1 + (3-1) + 7(2-1) + 3(2-1)(2-1) = 13

El arreglo L16 tiene 16 corridas experimentales y puede acomodar hasta 15 factores de 2 niveles. La columna A se formará tomando 3 columnas que se pueden ser seleccionar de sus correspondientes gráficas lineales.

El arreglo original es:

L16123456789101112131415Exp. No.               11111111111111112111111122222222311122221111222241112222222211115122112212221122612211222111221171222211122222118122221121111122921212121212121210212121221212121112122121121221211221221212121121213221122112211221142211221211221121522121121221211216221211221121221

Sus gráficas lineales son las siguientes:

1 B(4) D(5) F(7) H(6)

3 BC(12) DE(15) FG(14) 13


2 C(8) E(10) G(9) 11
A

Las columnas 1, 2 y 3 se pueden combinar para formar la columna A y todos los demás factores e interacciones.

Después se pude utilizar la técnica de la variable artificial para acomodar al factor A.

L161, 2, 3456789101112131415Exp. No. AB DH FCGEeBCeFGDE111111111111112111112222222231222211112222412222222211115211221222112262112221112211722211122222118222112111112293121212121212103121221212121113212112122121123212121211212131’122112211221141’122121122112151’211212212112161’211221121221
Método del factor compuesto

Este método se usa cuando el número de factores excede al número de columnas en el arreglo ortogonal.

Por ejemplo si se quieren 2 factores de 2 niveles A y B y 3 factores C, D y E en 3 niveles, y la dirección sólo permite 9 experimentos. Suponiendo que se ha seleccionado el arreglo L9, sólo 4 factores pueden asignados en el arreglo l9, de modo que estamos tratando de asignar estos factores de 2 niveles A y B en 1 columna de 3 niveles.

Hay cuatro combinaciones para A y B: A1B1, A1B2, A2B1 y A2B2, dado que la columna tiene sólo 3 niveles, sólo se pueden seleccionar 3 combianciones tales como (AB)1 = A1B1, (AB)2 = A1B2 y (AB)3 = A2B1. El factor compuesto AB puede ser asignado a la columna de 3 niveles.

El arreglo original es:

L9Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Exp. No.ABCD111112122231333421235223162312731328321393321

El arreglo modificado queda como:

L9Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Exp. No.ABCDE1(AB)11112(AB)12223(AB)13334(AB)21235(AB)22316(AB)23127(AB)31328(AB)32139(AB)3321

Se pierde cierta ortogonalidad, los factores compuestos no son ortogonales entre sí, pero si lo son con los otros factores.

Un ejemplo completo con una réplica se muestra a continuación:

Ejemplo 3.7: Diseño experimental L8 completo:

Se desea analizar un nuevo tipo de carburador. La variable de respuesta de interés es el porcentaje de hidrocarburos no quemados que arroja el motor. Cuatro diferentes factores y tres interacciones parecen afectar esta variable:
EfectoDescripciónNivel bajo 1Nivel alto 2ATensión del diafragmaBajaAltaBEntrada para aireEstrechaAbiertaCApertura para combustiblePequeñaGrandeDFlujo de gasolinaLentoRápidoAxCInteracciónAxBInteracciónBxCInteracción

Gráfica lineal que se desea es:

A

AxC AxB

C B .D

CxB

Esta gráfica se ajusta a la gráfica lineal (1) del arreglo ortogonal L8, por lo que una asignación apropiada de efectos es:
L8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7Exp. No.AC AxCBAxBBxCDTensiónAperturaEntradaFlujoYi11111111Tipo I5%10 seg3%0.4921112222Tipo I5%10 seg5%0.4231221122Tipo I10%15 seg3%0.3841222211Tipo I10%15 seg5%0.352121212Tipo II5%15 seg3%0.2162122121Tipo II5%15 seg5%0.2472211221Tipo II10%10 seg3%0.3282212112Tipo II10%10 seg5%0.28

Total = 71.6

El resultado se expresa en porcentaje de hidrocarburos sin quemar.

Observe que al tomar las lecturas, (efectuar las pruebas), se ignoran las columnas donde se asignaron interacciones.

El análisis utilizado ANOVA es:

A C AxC B AxB BxC D

Nivel 1 36.2 36.9 42.5 36.8 35.4 36.3 35.5

Nivel 2 35.4 34.7 29.1 34.8 36.2 35.3 36.1
La tabla ANOVA que resulta es:

Efecto SS G.l. V Fexp

A 0.0800* 1 0.0800 -

C 0.6050 1 0.6050 8.85

AxC 22.4450 1 22.4450 328.46

B 0.5000 1 0.5000 7.32

AxB 0.0800* 1 0.0800 -

BxC 0.1250 1 0.1250 1.83

D 0.0450* 1 0.0450 -

(e) 0.2050 3 0.0638

Total 23.8800 7
El error aleatorio (e) se estima usando los efectos más pequeños marcados con *.

Resulta significante la interacción AxC, el factor C y el factor B.

Dado que el factor B resulta significante, pero no son significantes alguna de sus interacciones, su mejor nivel se puede decidir de manera independiente al igual que se realizó en secciones anteriores. Esto es, se obtienen los promedios:

B1= B1 /4= 36.8/4= 9.20; B2 = B2/4=8.70


Como es un caso de menor es mejor, se selecciona el nivel 2.
El factor C también resulta significante. Sin embargo, también lo es su interacción con el factor A. Cuando resulta significante la interacción de algún factor, no se puede analizar por separado, sino en conjunto con el factor con el que se interactua. En este caso, el factor C se debe analizar en conjunto con el factor A, aun cuando el factor C resultó además significante individualmente y el factor A no.

Para analizar estos factores, se reproducen aquí las columnas de A y C:

Nº A C Yi

1 1 1 11.20 Siempre existirán entre dos columnas

2 1 1 10.80 cuatro posibles combinaciones de

3 1 2 7.2 números: 1 1; 1 2; 2 1; 2 2

4 1 2 7.0

5 2 1 8.0

6 2 1 6.9

7 2 2 10.4

8 2 2 10.1

Así la combinación 1 1 se presenta en los renglones Nº 1 y 2, lo que da un total de lecturas de 11.2 + 10.8= 22.00 con un promedio de 22.0/2= 11.00

La combinación 1 2, se presenta en los renglones Nº 3 y 4, con un total de 7.2 + 7.0= 14.2, con un promedio de 14.2/2= 7.10

La combinación 2 1 se presenta en los renglones Nº 5 y 6, con un total de 8.0 + 6.9= 14.9, con un promedio de 7.45

Por último la combinación 2 2, se presenta en los renglones Nº 7 y 8 con un total de 10.4 + 10.1= 20.5 y un promedio de 10.25

En resumen

Combinación Total Promedio

A1 C1 22.0 11.00 Como es un caso mejor,

A1 C2 14.2 7.10 se selecciona el promedio

A2 C1 14.9 7.45 menor, A1 C2 en este

A2 C2 20.5 10.25 caso.
Graficando estos promedios se tiene que:

11.0

10.0

9.00

8.00

7.00

A1 A2

En resumen, las condiciones propuestas son: factor A a su nivel 1, factor C a su nivel 2, factor B a su nivel 2. El resto a su nivel más económico.

El efecto respecto al promedio de cada factor o interacción es:

EF A1C2 = (A1C2 - Y) – (A1 – Y) - (C2 - Y)

= (7.10 – 8.95) – (9.05 – 8.95) – (8.675 – 8.95)= -1.675
Observe que al efecto de la interacción, se le resta el efecto de los factores individuales que intervienen (hayan resultado significantes de manera individual o no).

EF B2= B2 – Y= 8.70 – 8.95= -0.25

Una estimación del porcentaje de hidrocarburos sin quemar es igual a la suma de los efectos significantes, incluyendo los factores que intervienen en una interacción significante, hayan resultado significantes de manera individual o no.

Yest = Y + EF A1 C2 + EF A1 + EF C2 + EF B2

= 8.95 + (-1.675) + (9.05 – 8.95) + (8.675 – 8.95) + (-0.25)= 6.85

Análisis de datos experimentales de Taguchi

Hay muchas similaridades entre el análisis de experimentos de Taguchi y el método “clásico”-

En el método Taguchi lo siguiente es muy importante:

1. Análisis de varianza

2. Gráfica de efectos principales y gráfica de interacciones.

3. Optimización y predicción de la respuesta esperada.

Análisis de varianza - ANOVA

No hay diferencia real entre el ANOVA clásico y el de Taguchi. Primero se determinan las sumas de cuadrados (SS), después los cuadrados medios (MS) dividiendo los SS entre los grados de libertad correspondientes.. En Taguchi la prueba F no es tan importante como en el método clásico, algunas veces la importancia relativa de cada factor se determina por su porcentaje de contribución a la suma de cuadrados total.

Para cada columna, la suma de cuadrados es:


Donde:

K = número de niveles

Tt = Suma de respuestas en el nivel t

N = Número total de corridas experimentales

n = Número de réplicas

Ejemplo 3.8: Uso de Minitab

Se estudia el efecto de varios factores en la porosidad:

FactoresBajoAltoA Temperatura del MoldeA1A2B Temperatura del químicoB1B2C RendimientoC1C2E ÍndiceD1D2G Tiempo de curadoG1G2
Se deben considerar las interacciones AB y BD.

L8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7Porosidad Exp. No.ABAxBDEBDGY1Y211111111263821112222166312211223174122221118165212121205621221210172211221458221211253

Entonces se determina SSA:


TA1 = 26 + 38 + 16 + 6 + 3 + 17 = 140 TA2 = 0 + 5 + 0 + 1 + 4 + 5 + 5 + 3 = 23

T = suma total = 163

SSA = 2/16 ( 140^2 + 23^2 ) – 163^2 / 16 = 27.56

De manera similar:

SSB = 27.56

SSAB = 115.56

SSE = 33.06

SSBD = 217.56

SSG = 175.56

SST = (26^2+38^2+….+5^2+3^2)-163^2/16 = 1730.44

De Minitab se tiene:

General Linear Model: Y1 versus A, B, D, E, G

Factor Type Levels Values

A fixed 2 1, 2

B fixed 2 1, 2

D fixed 2 1, 2

E fixed 2 1, 2

G fixed 2 1, 2

Analysis of Variance for Y1, using Adjusted SS for Tests

Model

Source DF Reduced DF Seq SS % de contribución

A 1 1 855.56 49.44%

B 1 1 27.56 1.59%

D 1 1 68.06 3.93%

E 1 1 33.06 1.91%

G 1 1 175.56 10.15%

A*B 1 1 115.56 6.68%

B*D 1 0+ 0.00 10.15%

Error 8 9 455.06 13.72%

Total 15 15 1730.44


  • Rank deficiency due to empty cells, unbalanced nesting, collinearity, or an undeclared covariate. No storage of results or further analysis will be done.



S = 7.11073 R-Sq = 73.70% R-Sq(adj) = 56.17%
En Taguchi normalmente se utilizan los porcentajes de las contribuciones de las sumas de cuadrados para evaluar la importancia relativa de cada efecto, como sigue:


Los efectos que tienen el porcentaje de contribución más alto se consideran que tienen más influencia en la respuesta, en este caso:

A con 49%

BD con 12.57%

G con 10.15%

AB con 6.68%.

Gráficas factoriales de efectos principales y de interacciones.

Se calculan los promedios de las respuestas correspondientes a cada nivel o combinación de factores, se ilustra con el ejemplo:

Para las gráficas de efectos principales e interacciones se calculan los promedios en cada nivel de cada factor:

Y así se calculan los promedios para los otros factores.

Least Squares Means for Y1

Mean SE Mean

A

1 17.500 1.926

2 2.875 1.926

B

1 11.500 1.926

2 8.875 1.926

AxB

1 12.875 1.926

2 7.500 1.926

D

1 12.250 1.926

2 8.125 1.926

E

1 11.625 1.926

2 8.750 1.926

BD

1 13.875 1.926

2 6.500 1.926

G

1 13.500 1.926

2 6.875 1.926


Para el caso de la interacción significativa BD se analiza la respuesta promedio en cada una de sus diferentes combinaciones:

Obteniendo la siguiente gráfica de interacción:




Optimización y predicción de la respuesta esperada

La Optimización implica encontrar la combinación de los niveles de los factores significativos que proporcione la respuesta óptima, la cual depende del objetivo buscado:

  • Menor es mejor (como en el ejemplo)

  • Mayor es mejor

  • Nominal es mejor


De la gráfica anterior, se observa que A y G deben estar en nivel 2, B debe estar en 1 y D en nivel 2.

La predicción de la respuesta de este problema es:

Yest = 2.875 + 6.875 + 5.75 – 3x10.188 + 10.188 = -4.873
Ejemplo 3.9: Experimentos con 3 niveles

Tres fertilizantes se aplican a la soya (N, P2O5) y K2O), la respuesta de interés es el rendimiento promedio en Kg. Por área, los factores son asignados como sigue:

  Niveles Factores123A Nitrógeno0.511.5B Ácido fosfórico0.030.60.9C Potasa0.040.71
Se usa el arreglo L9 con un arreglo como el siguiente:

L9Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4RespuestaExp. No.ABeCRendim.1111182122212313339421231152231126231215731322183213189332120

Otra vez utilizando las fórmulas:



Se obtienen los resultados siguientes:

SSA = 158

SSB = 2.667

SSC = 18.667

SST = 180

Los porcentajes de contribución de cada factor son:

A con 87.78%
C con 10.37%
B con 1.48%
Para la obtención de las gráficas factoriales se estiman los promedios en los diferentes niveles de los factores como sigue:

Se sigue el mismo procedimiento para el caso de B y C.

Response Table for Means

Level A B C

1 9.667 13.333 13.333

2 12.667 14.000 16.000

3 19.667 14.667 12.667

Delta 10.000 1.333 3.333

Rank 1 3 2



Problemas propuestos

  1. ¿Puede acomodar en un arreglo L8 los efectos A, B, C, D, AxB y CxD?



  1. Acomodar los siguientes efectos en un arreglo ortogonal: A, B, C, D, E, F, G, H, I, AxB, AxC, AxG, AxE, ExF

.

  1. Analizar el problema siguiente:


Variable de respuesta, viscosidad, el mayor valor es deseado.

Factores Nivel I Nivel II

A Mezcla de hule crudo si no

B Curado no 24 hrs.

C Velocidad de prensado 50m/min 55 m/min
D Enfriamiento del tambor con agua sin agua

E Secado con vapor envolvente si no

Interacción ExD

Interacción DxC

Arreglo ortogonal y resultados

L8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7Exp. No.ED ExDCBDxCAYi111111110.49211122220.42312211220.38412222110.3521212120.21621221210.24722112210.32822121120.28
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