Bibliografía introduccióN




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  • 4. 2 Índices señal ruido



    Una vez que podemos medir la característica de calidad que nos interesa, podemos evaluar su media y su variabilidad. La media la podemos evaluar directamente, usando una lectura o el promedio si son varias lecturas.

    Para medir la variabilidad de una característica de calidad, se requiere de varias lecturas, y se tienen diferentes opciones, el rango y la varianza son las medidas más populares.
    Sin embargo, es deseable tener una cantidad o expresión que de alguna manera, involucre media y variación, o que por lo menos, ayude a que nuestras conclusiones sean más confiables.
    Esta cantidad ya existe y se llama índice señal ruido, denotado como SN o SR de aquí en adelante.
    La forma de calcular el índice SN depende del tiempo de característica de que se trate. SIN EMBARGO, EL ÍNDICE SE DISEÑÓ DE TAL MANERA, QUE PRODUCTOS MÁS ROBUSTOS SIEMPRE TENGA UN MAYOR VALOR DEL ÍNDICE SN.
    En seguida se muestran los tres casos:
    4.2.1 Caso nominal es mejor
    Suponga que se tienen “r” lecturas, y1,y2,y3,…yr, el índice SN a utilizar es:

    SN= 10 log donde Sm= (y1 + y2 + y3 +,…yr,)2/r

    Vm=

    reconocerá a Vm como la varianza de los “r” datos. Sn estima el logaritmo de base 10 de la relación (media/desviación estándar)2.
    La función de pérdida para nominal es mejor es:



    Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, la relación señal a ruido S/N es:

    4.2.2 Caso menor es mejor
    La función de pérdida está dada por:


    Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, el estimador estadístico de E(Y2) es:

    MSD = Mean squared deviation = Desviación cuadrática promedio con relación a la media.
    La relación señal a ruido correspondiente es:

    Esta cantidad estima el logaritmo de base 10 de (media2 + varianza).

    Maximizar la relación S/N equivale a minimizar la función de pérdida.

    4.2.3 Caso mayor es mejor
    La función de pérdida está dada por:


    Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, el estimador estadístico de E(1/Y2) es:

    La relación señal a ruido S/N correspondiente es:

    Esta cantidad funciona de una manera similar al caso anterior, pero con el inverso. Maximizar una cantidad es equivalente a minimizar la función de pérdida.

    El uso de logaritmos pretende hacer la respuesta más “lineal” y el signo negativo es para que siempre se maximize el índice SN. Se multiplica por 10 para obtener decibeles.

    Taguchi propone un procedimiento de optimización en dos pasos:

    1. Ajustar los parámetros de diseño para maximizar la relación S/N.

    2. Identificar otros parámetros de diseño que no afecten la relación S/N pero que si tengan efecto en la media de Y, E(Y), el cual es el parámetro de ajuste al a media, y utilizarlo para ajustar la media del proceso a su media meta de acuerdo a especificaciones.

    4. 3 Diseño de parámetros con análisis señal a ruido
    En un experimento señal ruido, generalmente se incluye un grupo de factores de ruido, contra los que específicamente se desea hacer robusto el producto, y que se pueden controlar durante un experimento.
    Un diseño de experimentos para un análisis señal a ruido consiste de dos partes, un arreglo ortogonal o matriz de diseño o interno y un arreglo ortogonal o matriz de ruido o externo. Las columnas de una matriz de diseño representan parámetros de diseño. Las columnas de la matriz de ruido representan factores de ruido.
    4.3.1 Caso nominal es mejor:
    Los pasos del diseño de parámetros es como sigue:

    1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada.

    2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles interacciones.

    3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos en dos o tres factores combinados.

    4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de control al arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo.

    5. Realizar los experimentos.

    6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los factores de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la interacción entre factores de control y de ruido.

    7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar la relación S/N.

    8. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima de niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio.


    La metodología en detalle se muestra mediante el ejemplo siguiente:
    Ejemplo 4.1: Caso nominal es mejor
    Una característica de calidad importante para un cierto producto metálico es el terminado, que se mide según su planicidad en milésimas de pulgada (mmplg).
    Esta característica se piensa es afectada por los siguientes factores:
    Factor DescripciónNivel 1Nivel 2ATemperatura del horno1500 ºF1600 ºFBPresión de prensado200 psi220 psiCVelocidad de recocido8 seg12 segDVelocidad de alimentación ref.80 gal/min100gal/minGTipo de modelochicograndeHTemplabilidad del material25 Rc30 RcAxCInteracción  AxDInteracción  
    Los factores G y H son factores que no se pueden controlar durante el proceso, ya que el tipo de modelo depende del requerimiento específico del cliente y la templabilidad es una característica de la materia prima. Estos dos factores se consideran al menos inicialmente como factores de ruido.
    Por lo tanto, se consideran como factores de diseño a los factores A, B, C y D.

    De acuerdo con esto, lo que se desea saber es cuáles deben ser las condiciones de operación o niveles de los factores de diseño A, B, C y D, que lleven el producto a la característica objetivo y además con la mínima variabilidad, a pesar de las variaciones en los factores G y H.
    Arreglo interno

    Considere únicamente los factores de diseño, se desea detectar 6 efectos en total, y para ello, se requiere de un arreglo ortogonal L8. La gráfica lineal requerida es:
    3

    1 A .2 B
    5 A xC
    4 C

    AxD 6

    7 D


    La columna correspondiente a la línea punteada se utilizará para cuantificar el error. Una posible asignación es:
    A B e C AxC AxD D Este será el arreglo

    Nº 1 2 3 4 5 6 7 interno y consiste de 8

    condiciones experimentales/renglones

    Arreglo externo

    Considere ahora únicamente los factores de ruido G y H. Se requieren de dos columnas, de manera que un arreglo ortogonal L4 es suficiente. El arreglo, al que llamaremos arreglo externo es:

    G H

    Nº 1 2 3

    1 1 1 1

    2 1 2 2

    3 2 1 1

    4 2 2 1
    Observe que no se asigna efecto alguno a la columna 3, la cual queda libre.
    Arreglo total

    Los dos arreglos anteriores se “mezclan” o “combinan” en un solo arreglo total, tal y como se muestra:

    1 2 2 1

    H 1 2 1 2

    G 1 1 2 2

    A B e C AxC AxD D

    Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4

    1 1 1 1 1 1 1 1 Y11 Y12 Y13 Y14

    2 1 1 1 2 2 2 2 Y21 Y22 Y23 Y24

    3 1 2 2 1 1 2 2 Y31 Y32 Y33 Y34

    4 1 2 2 2 2 1 1 Y41 Y42 Y43 Y44

    5 2 1 2 1 2 1 2 Y51 Y52 Y53 Y54

    6 2 1 2 2 1 2 1 Y61 Y62 Y63 Y64

    7 2 2 1 1 2 2 1 Y71 Y72 Y73 Y74

    8 2 2 1 2 1 1 2 Y81 Y82 Y83 Y84

    Observe que la matriz de ruido o arreglo externo se ha traspuesto o acostado, esto es, escrito sus renglones como columnas. Observe también que existen 8x4= 32 posibles lecturas, tomadas bajo diferentes condiciones todas ellas (valores de Yij ). En general, si el arreglo interno tiene M renglones y el externo tiene N renglones, entonces existen un total de MxN lecturas, que pueden ser tomadas bajo condiciones diferentes.
    Por eso se recomienda que el número de factores de ruido (valor de N) no sea mayor que 3.
    Pero, ¿cómo se toman exactamente cada una de las 32 lecturas? suponga que inicialmente, deseamos tomar las lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 . Para esto, se fijan todos los factores de diseño de acuerdo con los niveles indicados por el renglón Nº 1 del arreglo interno, esto es, todos los factores de diseño a su nivel 1.
    Sin embargo, si bien las cuatro lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 se toman a los mismos niveles de los factores de diseño, cada una se toma a diferentes niveles de los factores de ruido.
    En resumen se tiene:


    Todos los factores de

    diseño a su nivel 1 Lectura Factores de ruido

    Temperatura 1500 ºF Y11 Modelo chico y 25 Rc

    Presión de 200 Psi, 8 seg Y12 Modelo chico y 30 Rc

    de tiempo de recorrido y Y13 Modelo grande y 25 Rc

    velocidad de alimentación Y14 Modelo grande y 30 Rc

    refrigerante 80 gal/min

    De acuerdo con esto, se toman las primeras cuatro lecturas.
    En seguida deseamos obtener las lecturas Y21 , Y22 , Y23 , Y24. Todas estas lectura se tomarán al mismo nivel de los factores de diseño y estos niveles serán indicados por el renglón Nº 2 del arreglo interno. Manteniendo estas condiciones, los factores de ruido se varían a sus cuatro combinaciones indicadas por el arreglo externo.
    De esta manera se van obteniendo todas las 32 lecturas. Se fijan los factores de diseño según un renglón del arreglo interno y se mantienen fijos mientras se varían los factores de ruido de acuerdo con el arreglo interno.
    Como ejemplo, la lectura Y73 , se obtendrá bajo las condiciones siguientes: factor A, 1600 ºF, 220 psi, factor C. 8 seg, factor D, 80 gal/min; factor G, tipo grande; y factor H, 25 Rc.
    Las 32 lecturas son las siguientes:

    1221 1212HL8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 71122GExp. ABeCAxCAxDDy1y2y3y4Total111111111.11.21.31.14.7211122221.21.31.21.35.0312211222.02.12.22.18.4412222112.12.22.12.08.4521212121.01.41.21.34.9621221211.21.31.51.05.0722112211.62.12.42.08.1822121121.52.02.32.58.311.713.614.213.352.8

    Suponga que por alguna razón para este ejemplo en particular, se tiene un valor deseado de m= 2 mmplg.
    Para obtener conclusiones a partir de un experimento señal a ruido se puede usar la tabla ANOVA, o bien, a través de gráficas.
    Inicialmente se muestra el análisis usando ANOVA.

    Análisis con el Índice S/N
    Para responder a la pregunta de a qué niveles fijar los factores de diseño, a fin de minimizar la variabilidad en la característica de respuesta, ignoramos el arreglo externo conservando las 32 lecturas, específicamente, el arreglo para análisis es:
    L8Col.1 Col. 2Col. 3Col. 4Col. 5Col. 6Col. 7 Exp. ABeCAxCAxDDy1y2y3y4Total111111111.11.21.31.14.7211122221.21.31.21.35.0312211222.02.12.22.18.4412222112.12.22.12.08.4521212121.01.41.21.34.9621221211.21.31.51.05.0722112211.62.12.42.08.1822121121.52.02.32.58.3Total11.713.614.213.352.8

    En Minitab se genera el arreglo:

    Stat > DOE > Taguchi

    Create Taguchi Design > 2 leveles > 4 factors

    Factors A col. 1; B col. 2; C col. 4; D col. 7

    To allow estimation of interactions AxC AxD

    OK

    --- modificar las columnas para C y D a que correspondan a las anteriores:
    L8Exp. ABCDy1y2y3y4111111.11.21.31.1212221.21.31.21.33121222.12.22.1411212.12.22.125211211.41.21.3622211.21.31.51722111.62.12.42821221.522.32.5

    Lo que observamos en esta última tabla es un arreglo L8 con 4 lecturas para cada condición o renglón.
    Estamos interesados en analizar la variabilidad de las 4 lecturas tomadas bajo cada condición. Para esto, nos ayudamos del índice S/N, o sea, la variabilidad de las cuatro lecturas que se tomaron bajo cada condición, la resumiremos en un índice señal a ruido. Al hacerlo, en lugar de 32 lecturas individuales tendremos 8 valores del índice SN, uno para cada renglón o condición experimental.
    Como estamos en un caso de nominal es mejor, el índice apropiado es:
    SN= 10 log;

    donde Sm= y Vm=
    En este caso en particular, r= 4, cada índice se calcula a partir de 4 lecturas individuales.
    Para la primera condición experimental o renglón Nº 1, se tienen las lecturas siguientes: 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, con un total de 4.7
    El cálculo del índice es:
    Sm= (1.1+1.2+1.3+1.1)2/4= 5.5225

    Vm= [ (1.12+1.22+1.32+1.12) – 5.5225 ]/ (4-1) =[ 5.55 – 5.5225] / 3 = 0.00916

    SN= 10 log = 21.7714
    Para el renglón o condición experimental Nº 2 se tienen las lectural: 1.2, 1.3, 1.2, 1.3, con un total de 5.0
    El cálculo del índice SN es:

    Sm= (1.2 +1.3+1.2+1.3) 2/4= 6.2500

    Vm= (1.22 + 1.32 + 1.22 + 1.32 – 6.2500)/3= 0.0033

    SN= 10 log = 26.7071
    Los ocho índices son:

    Nº Sm Vm Sn (dB)

    1 5.5225 0.00916 21.771

    2 6.2500 0.00333 26.707

    3 17.6400 0.00666 28.203

    4 17.6400 0.00666 28.203

    5 6.0025 0.02916 17.092

    6 6.2500 0.04333 15.539

    7 16.4025 0.10916 15.718

    8 17.2225 0.18916 13.524

    Nuestro arreglo es ahora:

    A B e C AxC AxD D SN

    Nº 1 2 3 4 5 6 7 dB

    1 1 1 1 1 1 1 1 21.771

    2 1 1 1 2 2 2 2 26.707

    3 1 2 2 1 1 2 2 28.203

    4 1 2 2 2 2 1 1 28.203

    5 2 1 2 1 2 1 2 17.092

    6 2 1 2 2 1 2 1 15.539

    7 2 2 1 1 2 2 1 15.718

    8 2 2 1 2 1 1 2 13.524

    Para el factor A se tiene:

    A1 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A

    = 21.7714+26.7071+28.2036+28.2036= 104.8857
    A2 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A

    =17.0927+15.5397+15.7186+13.5420= 61.8750
    SSA = (A2 – A1)^2 /Número total de lecturas SN

    =(61.8750 – 107.8857)2/8= 231.2413, con 1 g.l.

    La tabla ANOVA total es:

    Factor SS Gl V Fexp

    A 231.2413 1 231.2413 14.44
    B 2.5751 1 2.5751 00.16
    C 0.1764 1 0.1764 00.01

    AxC 9.4284 1 9.4284 00.59

    AxD 3.8880 1 3.8880 00.24

    D 2.3047 1 2.3047 00.14

    e 16.0135 1 16.0135


    El factor A, temperatura del horno, es el factor que estadísticamente afecta el índice señal a ruido, y que por consiguiente “afecta la variabilidad. De acuerdo con los niveles del factor A, se tiene:
    A1 = SN promedio= 104.8857/4= 26.22

    A2 = SN promedio= 61.8750/4= 15.47
    Dado que siempre deseamos maximizar el índice señal a ruido, el factor A se fija en su nivel 1, esto es, la temperatura del horno se fija en 1500 ºF.

    ¿Qué hacer con el resto de los factores? antes de contestar esta pregunta, se deben identificar de entre los factores que NO AFECTARON el índice SN, cuáles afectan la media. Esto se muestra en lo que sigue.
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