Problema 6 Resolver el sistema de ecuaciones Problema 7




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títuloProblema 6 Resolver el sistema de ecuaciones Problema 7
fecha de publicación29.08.2016
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EJERCICIOS PAU REPASO SISTEMAS DE ECUACIONES

Problema 1


En una excavación arqueológica se han encontrado punzones, monedas y pendientes. Un punzón, una moneda, y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Se pesan luego 4 punzones, 3 monedas y 2 pendientes, arrojando un resultado de 90 gramos. El peso de una pieza deforme irreconocible es de 18 gramos. ¿Qué es, un punzón, una moneda o un pendiente?

Problema 2


Sea , la matriz de los coeficientes de un S.E.L. y la matriz de los términos independientes.

  1. Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema.

  2. Obtener todas las soluciones del sistema.

Problema 4


En la tienda "El As de Oros" se pueden comprar los artículos A, B y C por un total de 1000 euros. También por 1000 pts se pueden comprar los artículos A, B y C en la tienda "El As de Copas", si bien en esta tienda los artículos A y B son un 10% más caros que en la tienda "El As de Oros", en tanto que el artículo C es un 10% más barato en el "As de Copas" que en el "As de Oros".

  1. ¿Cuál es el precio del artículo C en el "As de Oros"?

  2. ¿Cuánto cuesta comprar los artículos A y B en el "As de Copas"?

Problema 5


Sea la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y la matriz de los términos independientes.

  1. Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema.

  2. Obtener todas las soluciones del sistema.

Problema 6


Resolver el sistema de ecuaciones

Problema 7


Juan, Andrés y Felipe han comprado x kilos de producto A, y kilos del producto B y z kilos del producto C. Juan hizo sus compras en la tienda 1, Andrés en la tienda 2 y Felipe en la tienda 3. Los precios por kilo de producto en cada tienda vienen dados por:




A

B

C


Razonar si es o no posible que Juan haya gastado 5000 euros, Andrés haya gastado 4000 euros, en tanto que Felipe haya gastado 4500 euros.


Tienda 1

200

100

50

Tienda 2

100

200

100

Tienda 3

150

150

150

Problema 8


Una tienda posee tres tipos de conservas A, B y C. El precio medio de las tres conservas es 150 euros. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 8400 euros. Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 6900 euros. Calcular el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.

Problema 9


Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triplo de las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resolver el sistema de ecuaciones planteado.

Problema 10


En una reunión hay 28 personas. El número de hombres y mujeres juntos triplica al de niños. El número de mujeres supera en uno al de hombres. Averiguar cuántos hombres, mujeres y niños hay, planteando el correspondiente sistema de ecuaciones.

Problema 11


Un estudiante hizo un examen que constaba de 3 preguntas y obtuvo 8 puntos de calificación. En la segunda pregunta sacó 2 puntos más que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la segunda.

  1. Plantea un sistema de ecuaciones con el que averiguarás la calificación en cada pregunta.

  2. Plantea una sola ecuación de cuya solución puedas deducir fácilmente la calificación de cada pregunta.



Problema 12


Con 2000 euros se pueden comprar los artículos A, B, C y D en la tienda "Compre Barato", y con 2100 euros se pueden comprar los mismos cuatro artículos en la tienda "Vendemos Calidad". En esta 2ª tienda los precios de A, B y C, son un 20% superiores a los de la 1ª tienda, en tanto que el precio de D en la 2ª es un 15% más barato que en la 1ª. Averiguar razonadamente el precio de D en la tienda 1ª, y justificar que no podemos hallar el precio de A, con los datos que nos han dado.

Problema 13


Dadas las matrices , y , escribir las tres ecuaciones del sistema A X = B y resolverlo.

Problema 15


Encontrar un número de tres cifras que verifica:

  • La suma de sus cifras es 24.

  • La diferencia de las cifras de las centenas y las decenas es 1.

  • Si se intercambian las cifras de las unidades y las centenas el número disminuye en 198.

Problema 16


Calcula los determinantes , y . Aplica los resultados en la resolución del sistema

Problema 17


Un comerciante tiene x garrafas de 10 litros de aceite cada una e y botellas de 1 litro de aceite cada botella. Otro comerciante tiene y garrafas de 10 litros cada una y x botellas de 1 litro cada botella. El segundo comerciante tiene 9 litros más que el primer comerciante. Se sabe que los dos tienen más de 30 litros de aceite y menos de 50 litros de aceite. Averiguar razonadamente cuántos litros de aceite tienen cada uno.

Problema 18


Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre?

Problema 19


Ordeno mi habitación y observo que el número de libros, revistas y discos es 60. El triple del número de discos es igual a la suma del número de libros y del doble del número de revistas. El cuádruple del número de discos es igual a la suma del número de libros y el triple del número de revistas. Halla el número de libros, revistas y discos.
Problema 20

Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos nos cobraron en una heladería 1700 pts un día. Otro día por cuatro helados y cuatro horchatas nos cobraron 2200 pts. Un tercer día tuvimos que pagar 1300 pts por una horchata y cuatro batidos. Razonar si hay o no motivos para pensar que alguno de los días nos presentaron una factura incorrecta.
Problema 21

El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones:

  • El mayor recibirá la medida aritmética de lo que reciban los otros dos más 30.000 euros.

  • Al mediano le deja la media aritmética de lo que reciban los otros dos.

  • El pequeño recibirá la media aritmética de lo que perciban los otros dos menos 30.000 euros.

Explicar razonadamente, si con esta información es posible averiguar cuánto ha heredado cada uno de los tres

Problema 22

Entre los partidos políticos A y B obtuvieron el 90% de los votos en unas elecciones. Averiguar el porcentaje de votos que obtuvo cada partido, sabiendo que en las elecciones siguientes: el partido político A sufrió un descenso de un 10% en el número de votantes respecto a las anteriores elecciones, y que entre los dos partidos volvieron a obtener el 90% del total de votos.
Problema 23

Encuentra todas las soluciones del sistema

Problema 24


Calcular los determinantes , , . Aplicar los resultados para resolver por la regla de Cramer el sistema

Problema 25


Hemos invertido 4.000.000 de euros en acciones de las empresas A,B y C. Después de un año la empresa A repartió un beneficio del 6%, la B del 8% y la C del 10%. En total recibimos 324.826 euros.

  1. Deducir razonadamente si se puede averiguar o no lo que invertimos en cada empresa.

  2. Deducir razonadamente lo que invertimos en cada empresa sabiendo que en la empresa C invertimos el doble que en la empresa A.



Problema 26


Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 2115 €. Calcular de forma razonada cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 €, cuántos han pagado el 20% del billete y cuantos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que ha pagado el billete entero.

Problema 27


Los tres vértices de un triángulo son A = (0 ,1), B = (1 , 2) y C = (3 , 0).

  1. Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C y

  2. Hallar el punto de intersección de esta recta con la recta de ecuación x + 3y = 2

Problema 28


Dada la siguiente ecuación matricial:

Obtener de forma razonada los valores de x, y, z.

Problema 29


Cinco amigos suelen tomar café. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron pagar 3 €. Al día siguiente tomaron un café, un cortado, y 3 cafés con leche, por lo que pagaron 3,25 €. El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, 2 cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2,45 €. Calcular de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche.

Problema 30


El precio del billete de una línea de autobuses se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se ha pagado 20 € y por un billete entre las poblaciones A y C se ha pagado 32 €. Si la distancia de A a C es el doble de la distancia de A a B, calcular de forma razonada cuánto se tendrá que pagar por un billete a una población que dista de A la mitad que B.

Problema 31


Dados los puntos del plano (1,1) y (3,-2), se pide:

  1. Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta por ambos puntos.

  2. Deducir si dicha recta es paralela o si corta a la recta de ecuación 3x + y = 5.

  3. En este último caso, calcular el punto de corte.

Problema 32

Juan decide invertir una cantidad de 12.000 € en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Con resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,50 €. Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.
Problema 33

Dos hijos deciden hacer un regalo de 100€ a su madre. Como no tienen suficiente dinero, cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2€ que paga el hermano menor, el mayor paga 3€. ¿Cuánto dinero ha de poner cada uno?
Problema 34

Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados en la calle. Pedro reparte siempre el 20% del total de la propaganda, Juan reparte 100 hojas más que Elena y entre Pedro y Elena colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántas hojas reparten, respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores.




Problema 35

Sea la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y la matriz de sus términos independientes. Se pide:

  1. Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema.

  2. Obtener todas las soluciones del sistema


Problema 36

Dos hermanos deciden invertir 10000 € cada uno en distintos productos financieros. El mayor invirtió una cantidad A en un producto que ha proporcionado un beneficio del 6%, una cantidad B en otro que ha dado una rentabilidad del 5% y el resto en un plazo fijo al 2% de interés. El hermano menor invirtió esas mismas cantidades en otros productos que le han proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3 y 7%. Determinar las cantidades A, B y C invertidas si las ganancias del hermano mayor han sido 415 € y las del pequeño 460 €.

Problema 37

Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125.000, 250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000 euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado.



Problema 38

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer:





Problema 39

En el primer curso de bachillerato de un instituto hay matriculados un total de 65 alumnos divididos en tres grupos: A, B y C. Comen en el centro 42 de ellos, que corresponden a la mitad de los del grupo A, las cuatro quintas partes de los del B y las dos terceras partes de los del C. A una salida fuera del centro acudieron las tres cuartas partes de los alumnos del grupo A, todos los del B y las dos terceras partes de los del C, sumando en total 52 estudiantes. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?



Problema 40

Los tres modelos existentes de una marca de automóviles cuestan 12.000, 15.000 y 22.000 euros, respectivamente. Un concesionario ha ingresado 1.625.000 euros por la venta de automóviles de esta marca. ¿Cuántos coches ha vendido de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como de los otros dos juntos y del más caro la tercera parte de los coches que cuestan 15.000 euros?
Problema 41

Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B contiene 2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos gramos de cada complemento son necesarios para producir exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos?
Problema 42

Obtén todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales:



Problema 43

Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje entre urbanizaciones diferentes. Las ganancias por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y 6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B.
Problema 44

Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo íntegramente comprando un ordenador portátil, una cámara y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros a la suma de los precios de la cámara y el viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es la mitad que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en caso de que no se comprara la cámara digital y todavía de quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje.




Problema 45

Resuelve el sistema:

Si ( x , y , 0 ) es una solución del sistema anterior, ¿cuáles son los valores de x e y?
Problema 46

En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma de los que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están en contra de la citada normativa. Determina cuántos de los entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no opinaron.
Problema 47

Un ganadero dispone de alimento concentrado y forraje para alimentar sus vacas. Cada kg. de alimento concentrado contiene 300 gr. de Proteína Cruda (PC), 100 gr. de Fibra Cruda (FC) y 2 Mcal. de Energía Neta de Lactancia (ENL) y sus coste es 11 euros. Por su parte, cada kg. de forraje contiene 40gr. de PC, 300 gr. de FC y 1 Mcal. de ENL, siendo su coste de 6,50 euros. Determina la ración alimenticia de mínimo coste si sabemos que cada vaca debe ingerir al menos 3500 gr. de PC, 1500 gr. de FC y 15 Mcal. de ENL. ¿Cuál es su coste?
Problema 48

En un cine se han vendido en una semana un total de 1405 entradas y la recaudación ha sido de 7920 euros. El precio de la entrada normal es de 6 euros y la del día del espectador 4 euros. El precio de la entrada para los jubilados es siempre de 3 euros. Se sabe, además, que la recaudación de las entradas de precio reducido es igual al 10% de la recaudación de las entradas normales. ¿Cuántas entradas de cada tipo se han vendido?
Problema 49

Un comerciante vende tres tipos de relojes, A, B y C. Los del tipo A los vende a 200 euros, los del tipo B a 500 euros y los del tipo C a 250 euros. En un mes determinado vendió 200 relojes en total. Si la cantidad de los que vendió ese mes del tipo B fue igual a los que vendió de tipo A y de tipo C conjuntamente, calcula cuántos vendió de cada tipo si la recaudación de ese mes fue de 73500 euros.

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