Solución: ejercicio
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MARCOSAPB – MATEMÁTICA – ANÁLISIS -- 2010 PRODUCTORIA =  La productoria es una operación que consiste en multiplicar todos los términos de un conjunto numérico o todos los términos de un intervalo del mismo conjunto.  . . .  EJEMPLO 1. Hallemos el producto del siguiente conjunto, para el rango indicado  EJEMPLO 2. Hallemos el producto de la siguiente expresión:  Solución:  EJERCICIO Para cada expresión, halle el producto para el rango indicado  PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA 1. El producto de una constante por una productoria es igual al producto de la constante por la productoria  2. La productoria de una constante es igual a la constante  3. La productoria de un producto es igual al producto de cada productoria  4. La productoria de un cociente es igual al cociente de cada productoria  Nota: es muy importante recordar que las siguientes consideraciones no se cumplen  EJERCICIO Haga uso de las siguientes expresiones y compruebe las propiedades anteriores:  Ayuda: Para cada expresión, aplique la propiedad apropiada, luego, realice las operaciones en ambos miembros, y compare los resultados TEORIA COORDINATORIA O ANÁLISIS COMBINATORIO Es la rama de la matemática que estudia las diversas formas de ordenar las cosas o elementos de un conjunto dado. Esta teoría nos permite resolver un sin número de problemas prácticos. Como:
PRINCIPIO FUNDAMENTAL 1. DE SUMA Se enuncia a si: Si un suceso A puede ocurrir de  maneras, y otro evento B no ligado al anterior puede ocurrir de  maneras, además, no es posible que ambos se realicen juntos, entonces los dos (ambos) sucesos A o B se realizaran de :  maneras. EJEMPLO 1. Un celular se vende en 8 tiendas de Quibdó o en 5 tiendas de Yuto. ¿De cuántas formas se puede adquirir el celular? Solución: Como se puede observar, si se compra el celular en Quibdó, es imposible comprarlo en Yuto y viceversa. O sea, los dos eventos no se pueden realizar juntos. En Quibdó se puede comparar de 8 formas o en Yuto, de 5 formas. Entonces, en las dos ciudades se puede comparar de:  maneras.EJEMPLO 2. P  ara ir de Quibdó a Yuto se dispone de 4 colectivos, de 3 motocicletas y de 5 canoas. ¿De cuántas maneras se puede viajar de Quibdó a Yuto?Solución: Forma de viaje en colectivo 4. Forma de viaje en motocicleta 3. Forma de viaje en canoas 5. Forma total de viajar de Quibdó a Yuto:  maneras.Responda: Si el viaje es de ida y regreso, ¿de cuántas formas se puede hacer? PRINCIPIO FUNDAMENTAL 2. DE PRODUCTO Se enuncia a si: Si un suceso o fenómeno puede ocurrir de maneras, y otro suceso o fenómeno muy ligado a este puede ocurrir de maneras, entonces los dos (ambos) sucesos o fenómenos pueden presentarse de:  maneras.EJEMPLO 1. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 2 personas en 5 sillas? Solución: La primera persona dispone de 5 sillas para sentarse, pero, la segunda persona, sólo dispone de las 4 sillas restantes. Luego, las dos personas pueden sentarse en las sillas de:  manerasEJEMPLO 2. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en 3 sillas? Solución: En este caso, hay más personas (5) que sillas para sentarse: La primera silla tiene cinco (5) opciones de ser ocupada, después de ocupada la primera, la segunda tiene cuatro (4) opciones de ser ocupada y la última silla, tres opciones. Entonces:   EJEMPLO 3. Si hay 4 candidatos para gobernador y 6 para alcalde, ¿de cuántas formas se pueden ocupar los dos cargos? Solución: Los dos cargos se pueden ocupar de :  formasEJEMPLO 4. P  ara la fabricación de placas para motos se utilizan 27 letras y 10 dígitos. Estas placas constan (contienen) 3 letras y dos dígitos. ¿Cuántas placas se pueden fabricar con las 27 letras y los 10 dígitos?Solución: La primera letra puede ser: A, B, C, …, Z. O sea, hay 27 forma de escoger la primera letra de la placa; La segunda letra puede ser cualesquiera, o sea, hay 27 forma de escogerla y la última, se puede escoger de 27 forma. Igualmente, hay 10 formas de escoger el primer número y 10 formas de escoger el segundo. Entonces, el número de placas que se puede fabricar es:  EJEMPLO 5. Al campeonato mundial de fútbol celebrado en Sudáfrica asistieron 32 selecciones organizadas en 8 grupos de cuatro equipos cada uno y denotados con las letras A, B, C, D, E, F, G y H.
Solución: a). Analicemos el siguiente diagrama:  b). Como son 32 seleccionados y cualquiera de ellos puede ser campeón, hay 32 formas de escogerse, pero, una vez escogido el campeón, quedan 31 equipos para sacar el subcampeón, entonces:  formas.EJERCICIOS
a). ¿De cuántas formas pueden escogerse los tres primeros equipos? b). ¿De cuántas formas se puede escoger el campeón de los grupos A y B y el subcampeón del grupo C? 7. El siguiente gráfico muestra las formas de viajar de Quibdó a Bogotá pasando por Medellín. ¿De cuántas formas se puede viajar?  COORDINACIONES, ARREGLOS O VARIACIONES Las coordinaciones son los grupos que se pueden formar con varios elementos (Letras, objetos, personas) tomándolos uno a uno, dos a dos tres a tres, cuatro a cuatro, etc. La siguiente expresión permite calcular el número de coordinaciones de elementos tomados    EJEMPLO1. ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8? Solución:  EJEMPLO 2. ¿Cuántas señales distintas se pueden hacer con 6 banderas izando 3 cada vez? Solución:  IMPORTANTE: Todos los elementos no hacen parte de todos los subgrupos o subconjuntos EJEMPLO 3. Con 9 jugadores de Básquet, ¿de cuántos modos se puede organizar un equipo de 5 jugadores si dos de ellos han de ser siempre los mismos? Solución:  . Como hay dos (2) jugadores fijos, tanto como  , se disminuyen en dos (2). Esto es:  modosEJEMPLO 4. ¿De cuántos modos pueden sentarse 9 personas en un banco que tiene 4 puestos disponibles? Solución:  Nota:
EJERCICIOS
VARIACIONES O ARREGLOS CON REPETICIÓN Es aquella variación o arreglo en donde cada elemento  se puede repetir  veces.Se calcula con la siguiente expresión:  EJEMPLO ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, si cada número se puede repetir hasta 4 veces? S IMPORTANTE: Cada elemento se puede repetir tantas veces como número de elementos tenga el subgrupo o subconjunto olución:  EJERCICIOS
PERMUTACIONES Las permutaciones son las distintas formas de ordenar los elementos de un conjunto, entrando todos en cada grupo. L a expresión:  permite determinar el número de permutaciones de elementos. . .  EJEMPLO 1 ¿De cuántos modos pueden colocarse en un estante 4 libros? IMPORTANTE: Todos los elementos hacen parte de cada arreglo Solución:  EJEMPLPO 2. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas en una silla de iglesia? Solución:  EJEMPLO 3. Con 10 jugadores, ¿De cuántos modos se pueden disponer los 10 jugadores, sí 4 jugadores permanecen fijos. Solución:  EJEMPLO 4. ¿De cuántas formas pueden sentarse 8 personas en una mesa redonda, contando en un sólo sentido, a partir de un de ellas? Solución:  El enunciado indica que hay una persona que permanece fija, entonces:   EJEMPLO 5. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con las cifras 0,1,2,3,…,9: a) Permitiendo repeticiones. b) Sin repeticiones. c) Si el último número es 0 y no hay repeticiones? Solución: a). El primer dígito puede ser cualquiera de los números de 1 a 9, porque el cero (0) nos llevaría a un número de 4 cifras. Entonces, hay 9 maneras de escoger el primer dígito. Como se permiten repeticiones, cada una de los cuatro dígitos restantes se pueden escoger de 10 formas, luego, hay:  .b). El primer dígito se escoge de 9 formas. Como no hay repeticiones, el segundo se puede seleccionar de 9 formas, el tercero de 8 formas, el cuarto de 7 formas y el quinto de 6 formas. Entonces:  c). Como el último número es 0 y no hay repeticiones, entonces:  EJERCICIOS
a) Permitiendo repeticiones, b) sin repeticiones y c) si el último número es 0 y no hay repeticiones? PERMUTACIONES CON REPETICIÓN En este caso, aunque todos los elementos participan en cada formación, algunos o todos intervienen varias veces (se repiten). Este tipo de permutación se calcula con la expresión:  EJEMPLO 1. Hallemos el número de permutaciones de la palabra “MARCARCATO” Solución:   EJEMPLO 2. ¿De cuántas formas se pueden repartir 8 objetos en dos grupos de 5 y 3 objetos, respectivamente? Solución: Partimos del hecho de que cada grupo está formado por objetos iguales, entonces:  EJERCICIOS
COMBINACIONES Las combinaciones son los distintos grupos que se pueden formar con varios elementos tomados uno a uno, dos a dos, tres a tres, cuatro a cuatro, cinco a cinco, etc., de modo que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento.  permite calcular el número de combinaciones de elementos tomados  UNA COMBINACIÓN SE HALLA ESTABLECIENDO LA RAZÓN (COCIENTE) ENTRE LOS ARREGLOS Y LAS PERMUTACIONES EJEMPLO 1. Entre 7 personas, ¿de cuántos modos pueden formarse un comité de 3 personas? Solución:   modos. modos.EJEMPLO 2. En un examen se ponen 8 temas para que el alumno escoja 5. ¿Cuántas selecciones puede hacer el estudiante? Solución:   EJEMPLO 3. En un concurso se dan 10 temas para que cada concursante escoja 5. ¿Cuántas selecciones puede hacer si hay un tema que es obligatorio? Solución:  EJEMPLO 4. Doce alumnos del grado noveno deben participar en tres comisiones que tienen seis, cuatro y dos integrantes. ¿De cuántas formas pueden escoger las comisiones? Solución: Del grupo de doce alumnos se elige la comisión de seis, esto es:  Por cada una de estas elecciones, podemos seleccionar la comisión de 4 alumnos entre las seis restantes, luego:  La comisión de dos alumnos se forma con los dos no seleccionados en las comisiones anteriores, esto es:  El número de elecciones diferentes de las tres comisiones es:  EJEMPLO 5. Un grupo de amigos y amigas se encuentran y se dan un beso para saludarse. Si se han dado un total de 21 besos, ¿cuántas personas había en el encuentro? Solución: Sea  el número de personas entre amigos y amigas. Como para un beso se necesitan dos personas, la combinación es:  . Pero:  . Entonces:  . De donde:  se escoge  , porque el número de personas nunca es negativo, esto muestra que habían 7 personas.EJEMPLO 6. A una reunión de entrega de informe de calificaciones en la N.S.Q. asistieron en total 30 personas. Si cada uno de los participantes extiende la mano a los demás, ¿cuántas extendidas de manos o saludos se producen en la reunión? Solución: Como un saludo de mano involucra dos personas, las extendidas de manos que se producen son:  saludos.EJEMPLO 7. De entre 4 biólogos y 6 matemáticos hay que formar un grupo de 2 matemáticos y 3 biólogos. ¿De cuántas formas se podrá hacer si: a) Todos son elegibles, b) un matemático debe estar en el grupo y c) un biólogo tiene prohibido pertenecer al grupo? Solución: a) 2 matemáticos entre 6 se pueden escoger de  maneras, y los 3 biólogos entre 4, de  . Las posibles selecciones son:  b) 3 biólogos entre 4 se pueden escoger de maneras. Como debe haber un matemático fijo, de los 6 quedan 5 para escoger 1, esto se puede hacer de  maneras.Las selecciones posibles son:  c) Como un biólogo no puede estar en el grupo, de los 3 quedan 3 para escoger 3, se puede hacer de  maneras y los matemáticos de . Entonces:  EJEMPLO 8. De un grupo de 4 personas, ¿cuántos grupos distintos se pueden formar? Solución: Denotemos las cuatro personas con las letras minúsculas  . Aplicando conjunto potencia, de este conjunto se obtienen  subconjuntos o grupos, así: Como se puede observar: hay grupos de cero personas (conjunto vacío =  ), de una, de dos, de tres y de cuatro. Pero no es posible formar un grupo de cero personas, es decir cada persona puede elegirse o no; por eso, las distintas formas de constituir los grupos son:  OTRO FORMA Podemos elegir 1 de las 4, o 2 de las 4, o 3 de las 4 o 4 de las cuatro. Esto es:  EN GENERA, para todo entero positivo, se tiene que: EJERCICIOS
Responda el mismo interrogante para el encuentro de: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 personas. Elabore una tabla como la siguiente:
COMBINACIONES IGUALES Son combinaciones que producen la misma cantidad de subgrupos o subconjuntos. Si es un conjunto o grupo y son los subconjuntos o subgrupos que se obtienen de , entonces las combinaciones  son iguales. Luego:  Como se puede observar:
EJEMPLO Para cada combinación, hallemos otra igual:  Solución:  La combinación igual es:  Halle usted las demás … COMBINACIONES CON REPETICIÓN La siguientes expresión permite realizar el cálculo:  EJEMPLO 1. ¿Cuántas fichas tiene el juego de dominó? Solución: Una ficha de dominó es un rectángulo en el que hay dos partes, en cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de esa parte. Estas puntuaciones van de blanca (0) a 6. Tenemos pares de puntuaciones de 0 a 6. De igual forma, cada puntuación se repite 7 veces, es decir, hay: 7 blancas, 7 unos, 7 dos, 7 tres, 7 cuatros, 7 cinco y 7 seis. Entonces:  .EJEMPLO 2. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles? Solución: Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces. Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición.  este es el número de elecciones que se puede hacer.PERMUTACIONES Y COMBINACIONES SIMULTÁNEAS EJEMPLO El comité de deporte de un colegio está constituido por 12 alumnos y 4 profesores.
Solución: a). 12 alumnos y 4 profesores, da un total de 16 miembros, para sacar la comisión de 5:   Hay 4368 maneras de formar un comité de 5 integrantes. b). Como en el comité de 5 integrantes debe incluirse un profesor, entonces de los 4 profesor se escoge 1 y de los 12 alumnos 4. Esto es:   El número de elecciones es:  Como debe haber mayoría de estudiantes, de los 12 alumnos se escogen 3 y de los 4 docentes 2. Entonces, el comité se puede escoger de:  c) Como únicamente se selecciona el profesor de deportes, entonces los estudiantes pueden combinarse  maneras, esto es 495.Si se eligen dos profesores y A es uno de ellos, entonces el otro puede elegirse de los tres restantes. Esto es:  d) Debido a que el comité tiene 5 directivos, se necesita para cada uno de los 3300 comités el número de permutaciones de los cinco miembros, luego:  Comités directivos.EJERCICIO En una biblioteca hay 20 libros diferentes de Matemáticas y 6 libros distintos de Química. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en un estante los libros en grupos de 5 de los cuales 3 sean de Matemáticas y 2 de Química? |
i se desea construir placas como muestra la figura, ¿cuántas placas se pueden hacer?
. En 
, el último factor es el que iguala a 
.
), esta diferencia proporciona los nuevos subgrupos que son iguales a los subgrupos iniciales.
