1. 4 Descomposición de un vector en sus componentes 5




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título1. 4 Descomposición de un vector en sus componentes 5
fecha de publicación23.11.2015
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TEMA 0: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA

0. NOTACIÓN 2
1. MAGNITUDES EN FÍSICA 3

1.1 Magnitudes escalares 3

1.2 Magnitudes vectoriales 3

Características de un vector 3

1.3 Operaciones con vectores 4

Resta de vectores 4

Suma o composición de vectores 4

1.4 Descomposición de un vector en sus componentes 5

Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente 5

Teorema de Pitágoras 5

Componentes de un vector 6
2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 7
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA 7
4. ECUACIÓN DE UNA RECTA. PENDIENTE DE UNA RECTA 8
EJERCICIOS 10


0. NOTACIÓN

A lo largo del curso vamos a utilizar algunos símbolos que nos resultaran de especial utilidad.

  • Definición de incremento ()

se lee incremento y se pone al lado del símbolo de la magnitud a la que incrementa. Por ejemplo cuando un cuerpo se mueve desde una posición inicial () a otra final () el incremento de la posición se representa:


Tal y como se muestre en el siguiente ejemplo, este símbolo matemático se puede emplear sobre cualquier magnitud.
Ejemplo 1  Un recipiente de agua se calienta durante 5 minutos. Inicialmente se encuentra a una temperatura de 20 ºC y después de calentarlo su temperatura es de 33 ºC. ¿Cuál es el incremento de la temperatura del agua?
Matemáticamente el incremento en la temperatura del agua se representa:




  • Letras del alfabeto griego

En Física se suelen representar con cierta frecuencia determinadas magnitudes con las letras del alfabeto griego:
alfabeto_griego.gif

1. MAGNITUDES EN FÍSICA

Magnitud física es toda propiedad de los sistemas físicos susceptible de ser medida. Podemos definir dos tipos de magnitudes Físicas:

1.1 Magnitudes escalares

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente descritas mediante un número y una unidad. Ejemplos de estas magnitudes son la masa, temperatura, energía, tiempo, longitud, etc.

Matemáticamente nos referiremos a las unidades de una magnitud física mediante corchetes ([]). Por ejemplo, si decimos que la unidad del tiempo (t) es el segundo (s), matemáticamente esto se expresa de la siguiente forma:

[t] = s

Si decimos que la masa (m) se mide en kilogramos (kg), matemáticamente se expresaría:

[m] = kg

1.2 Magnitudes vectoriales

Son aquellas magnitudes que para ser descritas necesitan además de un número y una unidad, la dirección y el sentido que tienen. Ejemplos de estas magnitudes son la velocidad, aceleración, fuerza, etc.

Las magnitudes vectoriales se representan mediante unas herramientas matemáticas llamadas vectores. Las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo. Por ejemplo, el vector fuerza se representa con , mientras que el vector aceleración se representa con .


  • Características de un vector

Un vector es un segmento orientado con las siguientes características:

-Punto de aplicación: es el punto donde se sitúa el vector.

-Dirección: es la recta en la que está situado el vector.

-Sentido: indica hacia donde señala el vector. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.

-Módulo: es el valor numérico de la magnitud que representa el vector y se indica mediante la longitud del vector.

Gráficamente los vectores se representan con flechas:



representación de las fuerzas
1.3 Operaciones con vectores

  • Suma o composición de vectores

Se llama composición a la suma de vectores.

Supongamos que queremos sumar los siguientes vectores perpendiculares:





+


La suma de los vectores y es otro vector obtenido de la siguiente forma:





1) Ponemos a continuación de haciendo coincidir el origen de con el extremo de .







2) Unimos el origen de con el extremo de obteniendo el vector suma () tal y como se muestra:


  • Resta de vectores

Supongamos que queremos restar los siguientes vectores:
-





Para dibujar la diferencia de dos vectores seguimos los siguientes pasos:





1) Ponemos a continuación de haciendo coincidir el origen de con el extremo de .








2) Unimos el origen de con el extremo de obteniendo el vector resta () tal y como se muestra:

1.4 Descomposición de un vector en sus componentes

  • Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente

Para poder descomponer un vector en sus componentes primero necesitamos conocer algunos conceptos de trigonometría. Las funciones trigonométricas que necesitamos conocer se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo. Se denomina triángulo rectángulo a aquel en el que uno de sus ángulos es de 90º:



Cateto opuesto (C.O)

Cateto contiguo (C.C)



Hipotenusa (H)


En un triangulo rectángulo a sus tres lados se los denomina de la siguiente forma:

-Se llama hipotenusa (H) al lado mayor del triángulo rectángulo.

-Se denominan catetos a los lados del triángulo que forman un ángulo de 90 grados. Un triángulo rectángulo tiene dos catetos que están referidos al ángulo de la siguiente forma:

Cateto opuesto (C.O): es el lado opuesto al ángulo ().

Cateto contiguo (C.C): es el lado adyacente al ángulo ().
Teniendo en cuenta todo lo anterior podemos definir las siguientes funciones trigonométricas de un ángulo :
-Seno: es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la hipotenusa.






-Coseno: es la relación entre la longitud del cateto contiguo y la hipotenusa.




-Tangente: es la relación entre la longitud del cateto opuesto y el contiguo.

  • Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos. Matemáticamente:






  • Componentes de un vector

Descomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya suma nos dé el vector inicial. Existen infinitas formas de descomponer un vector en dos diferentes y todas son válidas. Sin embargo, nosotros nos vamos a centrar en una que resulta especialmente útil llamada composición normal o rectangular. En esta composición los vectores obtenidos (componentes) con perpendiculares entre sí.

Si tenemos un vector que forma un ángulo con la horizontal, sus componentes rectangulares (,) son aquellas que completan un triangulo rectángulo tal y como se muestra en la siguiente figura:









Eje X

Eje Y


Como se puede ver la suma de las componentes ( y ) nos da el vector . Utilizando las definiciones de seno y coseno podemos hallar el valor del módulo de las componentes del vector :




Dando la vuelta a las ecuaciones anteriores obtenemos las expresiones de las componentes del vector :










Ejemplo 2  Calcula las componentes de un vector que forma un ángulo de 60º con el eje horizontal y cuyo módulo es de 50 cm.


60º



X

Y



Gráficamente la situación que tenemos es la siguiente:

Tal y como hemos visto, aplicando las definiciones de coseno y seno sacamos las componentes del vector:




2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Tanto la Física como la Química son ciencias experimentales que emplean el método científico para descubrir las leyes que rigen los fenómenos naturales. La medida constituye una parte esencial del método experimental. En este proceso se trata de determinar el valor de determinadas magnitudes. Para medir una magnitud necesitamos compararla con un patrón de medida. Una unidad es el patrón de medida de una determinada magnitud.

Existe un sistema de unidades que es utilizado internacionalmente. Se trata de un sistema de siete unidades, con estas unidades o combinaciones de las mismas podemos caracterizar la medida de cualquier magnitud.

Magnitud

Nombre

Símbolo

Longitud

Metro

m

Masa

Kilogramo

kg

Tiempo

Segundo

s

Intensidad eléctrica

Amperio

A

Intensidad luminosa

Candela

cd

Temperatura

Kelvin

K

Cantidad de sustancia

mol

mol

3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una gráfica es una representación de datos numéricos mediante puntos y líneas para ver la relación que guardan entre sí. Se representan los valores en dos ejes cartesianos perpendiculares entre sí.

Supongamos que la posición de un coche en función del tiempo viene dada por los datos de la siguiente tabla:

Posición (km)

4

9

14

24

34

Tiempo (h)

0

1

2

4

6

Para dibujar la gráfica del movimiento del coche, representamos cada pareja de valores con un punto y los unimos con una línea:
En este caso vemos que obtenemos una línea recta.

4. ECUACIÓN DE UNA RECTA. PENDIENTE DE UNA RECTA



En este apartado vamos a aprender a calcular la ecuación de una recta a través de su gráfica. En general la ecuación de una recta es:

donde:

- x e y representan las variables que se representan en la gráfica.

- m es la pendiente de la recta.

-n representa el punto de corte de la recta con el eje Y.

Supongamos que tenemos la siguiente gráfica de una recta y queremos hallar su ecuación:
















Para calcular la ecuación de una recta solo tenemos que hallar el valor de dos parámetros: la pendiente (m) y el punto de corte con el eje Y (n). Procedemos de la siguiente forma:

1. viene dado por el punto de corte de la recta con el eje Y. En este caso

2. La pendiente (m) se calcula aplicando su definición:



Para calcular los incrementos nos fijamos en dos puntos de la recta (P1 y P2 en la figura). Sustituyendo los valores obtenemos (ver gráfica):



Por lo tanto la ecuación de la recta viene dada por:


EJERCICIOS

  • Vectores

  1. Con los siguientes vectores:

http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/suma02.gif

Realiza gráficamente las siguientes sumas:

http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_b.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_c.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_d.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_e.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_f.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_b.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_f.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_c.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_d.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif

Realiza gráficamente las siguientes restas:

-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_d.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_d.gif y -http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_a.gif-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_d.gif, -http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_b.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_c.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_b.gif-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_c.gif,-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_b.gif-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_c.gif, -http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_e.gif+http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_f.gif, http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_e.gif-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_f.gif,-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_e.gif-http://eos.cnice.mecd.es/mem2002/vectores/gif/vec_f.gif

  1. Calcula y dibuja las componentes del vector con módulo en los siguientes casos:

a) Cuando forma un ángulo de 45º con el eje X.

b) Cuando forma un ángulo de 90º con el eje X.

c) Cuando forma un ángulo de 180º con el eje X.

d) Cuando forma un ángulo de 225º con el eje X.

e) Cuando forma un ángulo de 270º con el eje X.


  • Unidades

  1. Pasa a unidades del sistema internacional las siguientes magnitudes:

a) 90 km/h.

b) 0’53 mg

c) 40 cm

d) 100 Mm

e) 3 h

  • Representación gráfica



  1. Representa gráficamente los datos de la siguiente tabla. ¿Qué tipo de gráfica obtienes?

Tiempo (s)

0

1

2

3

4

Velocidad (m/s)

0

3

6

9

12



  1. Representa gráficamente los datos de la siguiente tabla. ¿Qué tipo de gráfica obtienes?

Tiempo (s)

0

1

2

3

4

5

Posición (m)

2

6

12

20

30

42




  1. Representar gráficamente la siguiente recta y=3x-2. Para ello calcula las coordenadas de un par de puntos de la recta.



  1. Representar gráficamente la siguiente recta y=-5x+2. Para ello calcula las coordenadas de un par de puntos de la recta.



  1. Calcula la ecuación de la recta que se representa en la siguiente gráfica:



  1. Calcula la ecuación de la recta que se representa en la siguiente gráfica:



  1. Calcula la ecuación de la recta que se representa en la siguiente gráfica:



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