1. Realizar una representación esquemática del problema 2




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Ingeniería de Procesos





Contenido

1. Introducción

2. Fundamentos

3. Ejemplos

4. Problemas

1. Introducción

FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN



La optimización es una de las herramientas mayormente utilizadas para la toma de decisiones, se pueden resolver una amplia variedad de problemas en diseño, construcción, operación y análisis de plantas químicas (también como en otros procesos industriales) a través de ésta.

Intereses a nivel industrial:





Figura 1. Jerarquía de los niveles de optimización

1. Ventas limitadas por la producción

2. Ventas limitadas por el mercado

3. Volumen de producción

4. Consumo de materia prima y/o energía

5. Especificación de la cantidad y calidad de los productos

6. Perdidas de materia a través de las corrientes de desecho

7. Costos de mano de obra y/o producción

Ejemplos de aplicación

1. Determinar la mejor ubicación para una planta de proceso

2. Determinar la mejor ruta de distribución de petróleo crudo y productos de una refinería

3. Dimensionamiento de una tubería y su distribución (Layout)

4. Diseño de una planta de procesos y sus equipos

5. Programa de mantenimiento y reemplazo de los equipos

6. Operación de los equipos (reactores, columnas, absorbedores,… etc.)

7. Evaluación de datos de planta para la construcción de un modelo del proceso

8. Minimización del inventario

9. Planeación y programación de producción



2. Fundamentos

2.1 Procedimiento

Para resolver un problema de optimización se sugiere aplicar los siguientes pasos

1. Realizar una representación esquemática del problema

2. Definir la serie de variables que permitan describir el proceso

3. Formular la función objetivo

4. Formular la serie de restricciones

5. Desarrollar o seleccionar algún algoritmo de cálculo [template GAMS]

6. Evaluar los resultados obtenidos

2.2 Conceptos fundamentales

a. Continuidad de funciones

Una función de una variable x es continua en un punto x0 si se cumple:

i. f

( x0 )
existe


ii.

lim

xx0

f (x)
existe


iii.

lim

xx0

f ( x) =

f ( x0 )


si f ( x)

es continua en cualquier punto de la región R, entonces se dice que
f ( x)

es continua a

través de R.



Caso1, la función no es continua Caso 2, la función es continua, pero las derivadas no lo son
Figura 2. Ejemplos de funciones que presentan discontinuidad en la función y/o su derivada

¿Las funciones siguientes son continuas?

1

(a)

f ( x) =

x

(b)

f ( x) = ln( x) , en cada caso especifique el intervalo de x para el cual la función

y su primera derivada son continuas.

b. Funciones unimodales y multimodales




Función unimodal

Función multimodal


f ( x1 ) <

f ( x2 ) <

f ( x*),

x1 < x2

< x *

f ( x4 ) <

f ( x3 ) <

f ( x*),

x4 > x3

> x *


Figura 3. Funciones unimodales y multimodales

c. Convexidad y concavidad



Función convexa Función cóncava




Primera derivada de la función convexa

Segunda derivada de la función convexa
Primera derivada de la función cóncava

Segunda derivada de la función cóncava

Figura 4. Funciones convexa y cóncava

Para un sistema de varias variables, la matriz de segundas derivadas parciales (Hessiana)

deberá ser

i. definida positiva

( xT Hx > 0), ∀x ≠ 0

para una función convexa

ii. definida negativa

( xT Hx < 0), ∀x ≠ 0 para una función cóncava



Función convexa Función no convexa Función no convexa multimodal




Función discontinua

Condiciones necesarias y suficientes que caracterizan el mínimo sin restricciones:

Función no diferenciable convexa


Ingeniería de Procesos

Ejercicio.

Para cada una de las funciones siguientes defina su concavidad o convexidad



1. (a)

f ( x) = 3x 2 , (b)

2

f ( x) = 2 x , (c)

2

f ( x) = 3x 2 , (d)
2

f ( x) = 5x 2 , (e)

f ( x) = 2 x 2

x3

2. (a)

f ( x) = 2 x1

3x1 x2

+ 2 x2

, (b) f ( x) = x1

+ x1 x2 + 2 x2 + 4



d. Región convexa

Una región convexa (conjunto de puntos) juega un papel importante en la optimización de una función con restricciones, un conjunto de puntos convexo existe si para dos puntos cualquiera en

una región,

xa y

xb , todos los puntos

x = μxa + (1 μ) xb , donde

0 μ 1 , en la línea asociada a

xa y

xb están en el interior del conjunto.

Si una región está completamente acotada por funciones cóncavas para el caso en el cual todas

las

gi( x) 0 , entonces las funciones forman una región convexa cerrada.


Para el caso en el cual todas las restricciones de desigualdad expresadas en la forma todas funciones convexas, las funciones forman una región convexa.

gi( x) 0

son







Ejemplo.

Figura 5. Región convexa y no convexa



El siguiente conjunto de funciones define una región cerrada, la cual es convexa




2

g1 =

x1

+ x2 1 &

g 2 =

x1 x2

2


Figura 6. Región convexa compuesta por dos funciones cóncavas

e. Condiciones necesarias y suficientes para garantizar la existencia de un mínimo local

El problema general de optimización se puede escribir como



min

f ( x1 , x2 ,..., xn )



sujeta a las restricciones de




igualdad

h j ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0

j = 1,2,..., m


desigualdad

gk (x1 , x2 ,..., xn ) 0

k = 1,2,..., p



Así que las condiciones necesarias y suficientes para garantizar un mínimo local son
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