1. Realizar una representación esquemática del problema 2
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| Ingeniería de Procesos Contenido 1. Introducción 2. Fundamentos 3. Ejemplos 4. Problemas 1. Introducción FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN La optimización es una de las herramientas mayormente utilizadas para la toma de decisiones, se pueden resolver una amplia variedad de problemas en diseño, construcción, operación y análisis de plantas químicas (también como en otros procesos industriales) a través de ésta. Intereses a nivel industrial: Figura 1. Jerarquía de los niveles de optimización  1. Ventas limitadas por la producción 2. Ventas limitadas por el mercado 3. Volumen de producción 4. Consumo de materia prima y/o energía 5. Especificación de la cantidad y calidad de los productos 6. Perdidas de materia a través de las corrientes de desecho 7. Costos de mano de obra y/o producción Ejemplos de aplicación 1. Determinar la mejor ubicación para una planta de proceso 2. Determinar la mejor ruta de distribución de petróleo crudo y productos de una refinería 3. Dimensionamiento de una tubería y su distribución (Layout) 4. Diseño de una planta de procesos y sus equipos 5. Programa de mantenimiento y reemplazo de los equipos 6. Operación de los equipos (reactores, columnas, absorbedores,… etc.) 7. Evaluación de datos de planta para la construcción de un modelo del proceso 8. Minimización del inventario 9. Planeación y programación de producción   2. Fundamentos 2.1 Procedimiento Para resolver un problema de optimización se sugiere aplicar los siguientes pasos 1. Realizar una representación esquemática del problema 2. Definir la serie de variables que permitan describir el proceso 3. Formular la función objetivo 4. Formular la serie de restricciones 5. Desarrollar o seleccionar algún algoritmo de cálculo [template GAMS] 6. Evaluar los resultados obtenidos 2.2 Conceptos fundamentales a. Continuidad de funciones Una función de una variable x es continua en un punto x0 si se cumple: i. f ( x0 ) existe ii. lim x→x0 f (x) existe iii. lim x→x0 f ( x) = f ( x0 ) si f ( x) es continua en cualquier punto de la región R, entonces se dice que f ( x) es continua a través de R.   Caso1, la función no es continua Caso 2, la función es continua, pero las derivadas no lo son Figura 2. Ejemplos de funciones que presentan discontinuidad en la función y/o su derivada ¿Las funciones siguientes son continuas? 1 (a) f ( x) = x (b) f ( x) = ln( x) , en cada caso especifique el intervalo de x para el cual la función y su primera derivada son continuas. b. Funciones unimodales y multimodales   Función unimodal Función multimodal f ( x1 ) <  f ( x2 ) < f ( x*), x1 < x2 < x * f ( x4 ) < f ( x3 ) < f ( x*), x4 > x3 > x * Figura 3. Funciones unimodales y multimodales c. Convexidad y concavidad   Función convexa Función cóncava  Primera derivada de la función convexa  Segunda derivada de la función convexa Primera derivada de la función cóncava   Segunda derivada de la función cóncava Figura 4. Funciones convexa y cóncava Para un sistema de varias variables, la matriz de segundas derivadas parciales (Hessiana)  deberá ser i. definida positiva ( xT Hx > 0), ∀x ≠ 0 para una función convexa ii. definida negativa ( xT Hx < 0), ∀x ≠ 0 para una función cóncava Función convexa Función no convexa Función no convexa multimodal  Función discontinua Condiciones necesarias y suficientes que caracterizan el mínimo sin restricciones:  Función no diferenciable convexa   Ingeniería de Procesos Ejercicio. Para cada una de las funciones siguientes defina su concavidad o convexidad 1. (a) f ( x) = 3x 2 , (b) 2 f ( x) = 2 x , (c) 2 f ( x) = 3x 2 , (d) 2 f ( x) = −5x 2 , (e) f ( x) = 2 x 2 − x3 2. (a) f ( x) = 2 x1 − 3x1 x2 + 2 x2 , (b) f ( x) = x1 + x1 x2 + 2 x2 + 4 d. Región convexa Una región convexa (conjunto de puntos) juega un papel importante en la optimización de una función con restricciones, un conjunto de puntos convexo existe si para dos puntos cualquiera en una región, xa y xb , todos los puntos x = μxa + (1 − μ) xb , donde 0 ≤ μ ≤ 1 , en la línea asociada a xa y xb están en el interior del conjunto. Si una región está completamente acotada por funciones cóncavas para el caso en el cual todas las gi( x) ≥ 0 , entonces las funciones forman una región convexa cerrada. Para el caso en el cual todas las restricciones de desigualdad expresadas en la forma todas funciones convexas, las funciones forman una región convexa. gi( x) ≤ 0 son   Ejemplo. Figura 5. Región convexa y no convexa El siguiente conjunto de funciones define una región cerrada, la cual es convexa  2 g1 = − x1 + x2 ≥ 1 & g 2 = x1 − x2 ≤ −2 Figura 6. Región convexa compuesta por dos funciones cóncavas e. Condiciones necesarias y suficientes para garantizar la existencia de un mínimo local El problema general de optimización se puede escribir como min f ( x1 , x2 ,..., xn ) sujeta a las restricciones de igualdad h j ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 j = 1,2,..., m desigualdad gk (x1 , x2 ,..., xn ) ≤ 0 k = 1,2,..., p Así que las condiciones necesarias y suficientes para garantizar un mínimo local son |
