1. Realizar una representación esquemática del problema 2




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Caso a.

Sin restricciones




1. Que

f ( x1, x2 ,..., xn )

T

sea doblemente diferenciable en

x* = ( x1*, x2 *,..., xn *)


2. Que exista el

( *,

*,..., *)

T

0 en
f x1 x2

xn =

x* = ( x1*, x2 *,..., xn *)
3.Que H ( x * , x * ,..., x * )

T


2

sea definida (o semidefinida) positiva en

1 2 n


i

[

f ]

= f


ij

[ H ]

= f

x* = (x1*, x2 *,..., xn *)

donde

i x &

xi x j

Curvatura

Positiva o negativa

Cero

(H definida positiva o negativa)


Positiva o negativa

(H definida positiva o negativa)

(H singular)



Condiciones que caracterizan el mínimo sin restricciones:

a. Condiciones necesarias

Hessiana semidefinida positiva b. Condiciones Suficientes

Hessiana definida positiva



Ingeniería de Procesos

Ejercicio

Calcule los puntos críticos de la función siguiente




2


2


4


2

f ( x1 , x2 ) =

4 + 4.5x1

4 x2

+ x1

+ 2 x2

2 x1 x2

+ x1

2 x1 x2



Solución



Punto

Crítico

( x1*, x2 *)

f ( x1*, x2 *)

Valores propios de

H ( x1*, x2 *)

Clasificación









































Caso b.

Con restricciones (Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker)

si se define la función de Lagrange como

m p


*

L( xi , u j , vk ) =

Las condiciones necesarias

f ( xi ) + hj ( xi )u j

j =1

+ gk ( xi )vk


T

k =1





*

1. f ( x), h j ( x), g k ( x) sean doblemente diferenciables en

x* = ( x1*, x2 *,..., xn *)



*

2.

L( xi

, u j , vk )

=

f

( xi

) +

h( xi )u

+

g ( xi )v = 0



*

3.Los multiplicadores de Kuhn-Tucker deben ser positivos , vi

0 , deben de aplicar en

una sola dirección (Los de Lagrange pueden ser positivos o negativos)





1 2 n

4. Que las restricciones se satisfagan en

x* = ( x *, x *,..., x *)T



*


*


*

g k ( x1

, x2

,..., xn ) 0

k = 1,2,..., p



*


*


*

h j ( x1

, x2

,..., xn

) = 0

j = 1,2,..., m
de factibilidad

5. condiciones complementarias

* * *

vk gk ( x1

, x2

,..., xn

) = 0

k = 1,2,..., p


6. La matriz Hessiana de

L( xi , u j , vk ) es semidefinida positiva para valores de Z tales que

cumplen con las condiciones siguientes



Z T

g

( x * , x

* ,..., x

* ) = 0

Z T

h

( x * , x

* ,..., x

* ) = 0

k 1 2 n &

j 1 2 n



para todas las restricciones activas,



1


2

Z T

2 [L( x * , x

n

* ,..., x

1


2

* , u * , u

j

* ,..., u

1


2

* , v * , v

k

* ,..., v

* )]Z 0



y las condiciones de suficiencia están dadas por

7. Además de las condiciones necesarias (1) a la (5) se tiene una modificación de la sexta




8. La matriz Hessiana de

L( xi , u j , vk ) es definida positiva para valores de Z tales que cumplen

con las condiciones siguientes



Z T

g

( x * , x

* ,..., x

* ) = 0

Z T

h

( x * , x

* ,..., x

* ) = 0

k 1 2 n &

j 1 2 n

para las restricciones activas



k


2

Z T

g

( x1

* , x

* ,..., x

* ) 0

n

para las restricciones inactivas

Z T

2 [L( x * , x * ,..., x * , u * , u * ,..., u

* , v * , v * ,..., v * )]Z > 0

1 2 n 1 2

j 1 2 k





Figura 7. Interpretación de las condiciones de KKT

para el problema d optimización:

Figura 8. Interpretación de las condiciones de KKT

para el problema de optimización:






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