Estudio de la relación entre la velocidad de caída de los cuerpos y su peso




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T.1. EL MÉTODO CIENTÍFICO Y LA MEDIDA

ÍNDICE

1. El método científico 2
2. El proceso de medida 3
3. El sistema de unidades 3
4. Notación científica 4
5. Múltiplos y submúltiplos 6
6. Cifras significativas y redondeo 7
EJERCICIOS DE TEORÍA 14

PROBLEMAS 15


1. El método científico

Desde la antigüedad el ser humano siempre ha querido comprender el universo. A lo largo de la historia el hombre observaba la naturaleza y razonaba sobre ella llegando a conclusiones rígidas e inamovibles. Hoy en día, la naturaleza se investiga utilizando un método de trabajo que cumple ciertos requisitos: el método científico. A grandes rasgos el método científico consta de los siguientes pasos:
1. Planteamiento del problema

El primer paso podría ser identificar el problema que se va a estudiar. Para ello es necesario centrar la atención sobre algún hecho de la naturaleza que por alguna razón ha intrigado al científico.
Ejemplo  Hasta principios del siglo XVII, la comunidad científica mantenía las ideas de Aristóteles sobre la caída libre de los cuerpos. Aristóteles mantenía que los cuerpos pesados caen más deprisa que los cuerpos ligeros. Muchas observaciones de la vida cotidiana parecen confirmar la veracidad de la afirmación anterior (i.e. una piedra cae más deprisa que una pluma). Por lo tanto, podríamos plantearnos el estudio del siguiente problema: estudio de la relación entre la velocidad de caída de los cuerpos y su peso.
2. Formulación de la hipótesis

Una vez delimitado el problema, el científico formula alguna hipótesis. Una hipótesis es una suposición sobre un hecho contrastado.
Ejemplo  En la caída libre de los cuerpos podríamos plantear tres hipótesis:

1. Los cuerpos más pesados caen más rápido que los ligeros.

2. Los cuerpos caen con la misma velocidad independientemente de su masa.

3. Los cuerpos ligeros caen más rápido que los pesados.
3. Comprobación de la hipótesis

Las hipótesis se confirman o rechazan por medio de experiencias.
Ejemplo  Podríamos realizar un experimento sencillo en el que dejamos caer objetos de distinto peso desde una altura para ver cual llega antes al suelo. Al hacerlo comprobaríamos que los dos objetos llegan al mismo tiempo al suelo.

Cuerpo ligero



Cuerpo pesado

4. Establecimiento de leyes y teorías

Las leyes son hipótesis confirmadas que se expresan en lenguaje matemático. Un conjunto de leyes que se incluyen en un sistema coherente de conocimientos dan lugar a una teoría.
Ejemplo  En nuestro caso estableceríamos la siguiente ley: “todos los cuerpos independientemente de su peso, caen con la misma velocidad”. Si midiéramos los tiempos de caída (t) de los objetos que soltamos desde una altura determinada (h) llegaríamos a la siguiente relación matemática:



donde k es una constante de proporcionalidad. La fórmula anterior es la expresión matemática de la ley que hemos propuesto.
2. El proceso de medida

Para llevar a cabo el método científico necesitamos medir. En el proceso de medida intervienen los conceptos de magnitud y unidad:

-Llamamos magnitud a todo aquello que se puede medir.

-Unidad es el patrón de medida con el que se realiza la medición.

En el proceso de medida comparamos una magnitud con su unidad, vemos cuantas veces está contenida esa unidad en la magnitud a medir.
Por ejemplo, si queremos medir la longitud de una mesa y utilizamos como unidad de medida el bolígrafo:



En el ejemplo anterior medimos cuantas veces esta contenido el bolígrafo en la mesa y obtenemos 7. En este caso diríamos que la longitud de la mesa es de 7 bolígrafos. Para expresar correctamente una medida debemos indicar, además del número, la unidad que se ha empleado en la medición.
3. El sistema de unidades
Podemos diferenciar las unidades en dos tipos:
Magnitudes fundamentales

Son unidades que se calculan de forma independiente. Por ejemplo, un kilogramo es la masa que tiene un cilindro patrón que se guarda en la oficina internacional de pesos y medidas de Sevres, cerca de París.

Existe un sistema de unidades que es utilizado internacionalmente. Se trata de un sistema de siete unidades, con estas unidades o combinaciones de las mismas podemos caracterizar la medida de cualquier magnitud. Estás unidades son de vital importancia y se muestran en la siguiente tabla:



Magnitud

Nombre

Símbolo

Longitud

Metro

m

Masa

Kilogramo

kg

Tiempo

Segundo

s

Intensidad eléctrica

Amperio

A

Intensidad luminosa

Candela

cd

Temperatura

Kelvin

K

Cantidad de sustancia

mol

mol


Magnitudes derivadas

Son magnitudes que se calculan a través de la combinación de las magnitudes fundamentales. Un ejemplo de este tipo de magnitudes sería la velocidad. La velocidad se define como el cociente entre la longitud recorrida por un objeto y el tiempo que tarda en recorrerlo (v=l/t). Por lo tanto, la velocidad es una magnitud derivada que depende de dos magnitudes fundamentales (longitud y tiempo).
4. Notación científica

En física y química se manejan con frecuencia números muy grandes o muy pequeños. Por este motivo, resulta conveniente expresarlos mediante una notación cómoda. En notación científica se escribe la parte entera con una sola cifra, seguida de la parte decimal y una potencia de 10 de exponente positivo o negativo. Para expresar un número en notación científica seguimos el siguiente proceso:


  • Si el número es mayor que 1:

Movemos la coma a la izquierda el número de veces necesario para que quede después del primer dígito. Siempre nos queda una potencia positiva.

Ejemplo 1  Expresa 40.500.000 en notación científica.

En la práctica cualquier número entero tiene la coma detrás del último dígito aunque no se especifique:

40.500.000  40.500.000’0

Para expresarlo en notación científica tenemos que mover la coma el número de veces necesario para dejarlo después del último dígito:
40.500.000’0

En este caso necesitamos desplazar la coma 7 lugares hacia la izquierda. Esto significa que para expresar el número hay que multiplicar por 107. Por lo tanto la cantidad queda:

4’05 x 107

  • Si el número es menor que 1:

Movemos la coma a la derecha el número de veces necesario para que quede después del primer dígito. Siempre nos queda una potencia negativa.
Ejemplo 2  Expresa 0’00136 en notación científica.

En este caso movemos la coma a la derecha hasta después del primer dígito distinto de cero:

0’00136

En este caso necesitamos desplazar la coma 3 lugares hacia la derecha. Esto significa que para expresar el número hay que multiplicar por 10-3. Por lo tanto la cantidad queda:

1’36 x 10-3
Utilización de la calculadora

Las calculadoras científicas son capaces de trabajar con notación científica.
Ejemplo 3  Introduce 2’5x108 en la calculadora y multiplícalo por 1’2x10-2

Primero tenemos que introducir el primer número. Para ello presionamos las siguientes teclas de la calculadora:

2

.

exp

5

8

En algunas calculadoras científicas en vez de la tecla exp tenemos la tecla 10x:

2

.

10x

5

8
Seguidamente multiplicaríamos:


X


Por último introducimos el otro número:

1

.

exp

2

-2

Si la calculadora no tiene la tecla exp:

1

.

10x

2

-2
el resultado es 3’0x106
5. Múltiplos y submúltiplos

Como hemos dicho en determinadas ocasiones tenemos que trabajar con números muy grandes o muy pequeños. Para trabajar cómodamente con este tipo de cantidades es conveniente introducir múltiplos y submúltiplos de las unidades mediante el uso de prefijos. En la siguiente tabla se muestran algunos de los prefijos de uso más común.


MÚLTIPLOS

Prefijo

Símbolo

Valor numérico

tera

T

1012=1.000.000.000.000

giga

G

109=1.000.000.000

mega

M

106=1.000.000

kilo

k

103=1.000

hecto

h

102=100

deca

da

101=10

UNIDAD












SUBMÚLTIPLOS

deci

d

10-1=0’1

centi

c

10-2=0’01

mili

m

10-3=0’001

micro

µ

10-6=0’000001

nano

n

10-9=0’000000001

pico

p

10-12=0’000000000001


Podemos aplicar la tabla de prefijos anterior a cualquier unidad. Por ejemplo:

10 milímetros = 10 mm; 8 kilogramos = 8 kg; 2 centisegundos = 2 cs
La escalera de unidades

Para saber las equivalencias que hay entre los prefijos anteriores es conveniente utilizar la siguiente escalera de unidades:

h

k

da
d

c

m

x10

x10

x10

x10

x10

x10

/10

/10

/10

/10

/10

/10

hm

km

dam

m

dm

cm

mm

x10

x10

x10

x10

x10

x10

/10

/10

/10

/10

/10

/10

m


Podemos aplicar esta escalera con cualquier unidad. Si lo hacemos con el metro obtendríamos la escalera de arriba a la derecha. De esta manera podemos calcular la relación numérica entre los distintos prefijos. Cuando bajamos un escalón tenemos que multiplicar por diez mientras que cuando subimos un escalón tenemos que dividir por diez. Por ejemplo:

-Si queremos pasar de km a m tenemos que bajar tres escalones. De esta manera, 1 km = 10x10x10 m= 1000 m.

-Si queremos pasar 1 mm a m tenemos que subir tres escalones. Por lo tanto, 1 mm = 1/(10x10x10) m = 1/1000 m = 0’001 m.
6. Cifras significativas y redondeo

Normalmente resulta conveniente expresar los resultados numéricos con un número de cifras significativas adecuado. Consideramos cifras significativas a aquellas que indican el resultado de una magnitud.
Son cifras significativas:

-Todas aquellas distintas de cero.

-Todas aquellas que están después de la coma

Ejemplos:

3’85 tiene 3 cifras significativas.

1050 tiene 4 cifras significativas.
No son cifras significativas:

-Todos los ceros que estén a la izquierda del primer número distinto de cero.

Ejemplos:

0’0005 tiene una cifra significativa, los ceros a la izquierda no se cuentan.
En el caso de los números expresados en notación científica las potencias de 10 no cuentan como cifras significativas.

Ejemplos:

7’23x103 tiene tres cifras significativas

8’0134 x10-6 tiene cinco cifras significativas.


Redondeo

En la mayor parte de los casos cuando operamos con números y obtenemos un resultado resulta conveniente expresarlo con un número de cifras significativas adecuado. Por lo tanto, es importante redondear el resultado siguiendo unas normas sencillas:

  • Si el primer dígito despreciado es 5 o mayor que 5, la cifra anterior se aumenta en una unidad. Por ejemplo, el número 12’45 redondeado a tres cifras significativas es 12’5.

  • Si la primera cifra despreciada es menor que 5, la cifra anterior permanece inalterada. Por ejemplo, el número 12’44 redondeado a tres cifras significativas es 12’4.


Ejemplo 4  Escribe las siguientes cantidades utilizando notación científica. Expresa las cantidades con dos cifras significativas:

a) 0,0000456

b) 3534200

c) 234’5x10-4

d) 0,0047x105
a) Primero pasamos a notación científica:

0,0000456  4’56x10-5

Ahora redondeamos y expresamos el número con dos cifras significativas:

4’6x10-5

b) Primero pasamos a notación científica:

3’5342x106

Ahora redondeamos a dos cifras significativas:

3’5 x106

c) En este caso tenemos que ir por partes:

(234’5)x10-4 =(2’345x102)x10-4

(2’5x102)x10-4=2’5x10-2

por último multiplicamos las potencias de 10:

2’5x(102x10-4)=2’5x10+24=2’5x10-2

d) Repetimos el proceso anterior para este caso:

0’0047x105=4’7x10-3x105=4’7x(10-3x105)=4’7x10-3+5=4’7x102
7. Cambio de unidades
Factores de conversión

En determinadas ocasiones podemos estar interesados en cambiar de unas unidades a otras. Para ello, utilizamos factores de conversión. Un factor de conversión expresa la equivalencia entre dos unidades, la que tenemos inicialmente y aquella a la que queremos pasar. Para escribir el factor de conversión apropiado seguiremos el siguiente procedimiento:
Por ejemplo si queremos pasar 1 kilometro a metros procederemos de la siguiente forma:
1. Escribimos las unidades del factor de conversión:
-Si la unidad que queremos cambiar se encuentra en el numerador procederemos de la siguiente forma:


-Si la unidad se encuentra en el denominador:


2. Preguntamos a la unidad más grande del factor de conversión para hallar la equivalencia:

- En los dos ejemplos anteriores le preguntamos al kilómetro, ¿1 kilómetro cuantos metros tiene?:



Factores de conversión con potencias

Si tenemos unidades con potencias se actúa de la misma manera pero elevando el factor de conversión a la potencia correspondiente.

Si queremos pasar un 1 km2 a m2:





Si quisiéramos pasar de 1/km3 a 1/m3:






Ejemplo 6  Realiza los siguientes cambios de unidades. Expresa los resultados en notación científica con dos cifras significativas.

a) 0’534 mg a g

b) 2’85 mL a kL

c) 20 m/s a km/h

d) 89 m2 a mm2

e) 3,5 dg/cm3 a g/m3
a) Calculamos el factor de conversión preguntándole a la mayor de las unidades:



expresamos el resultado en notación científica:


b) Calculamos el factor de conversión preguntándole a la mayor de las unidades:



expresamos el resultado en notación científica:


c) En este caso tenemos que cambiar dos unidades, por lo tanto necesitamos dos factores de conversión:





d) Se resuelve igual que los anteriores teniendo en cuenta que las unidades están elevadas al cuadrado:



e) En este último caso tenemos que realizar dos cambios de unidades y una de las unidades esta elevada al cubo:







8. Representación gráfica

La ciencia utiliza el lenguaje matemático para expresar ideas y relacionar conceptos. Las leyes en ciencia se expresan con ecuaciones matemáticas. Estas ecuaciones se pueden representar mediante gráficas.
Representación gráfica de una ecuación

Podríamos representar como varía la posición de un corredor con el tiempo con la siguiente ecuación:



donde x representa la posición del objeto en metros y t el tiempo transcurrido en segundos. En una ecuación la variable dependiente es la que aparece a la izquierda de la igualdad (en este caso x) mientras que la variable independiente es la que aparece a la derecha (en este caso t). Si quisiéramos representar dicha ecuación en una gráfica seguimos los siguientes pasos:
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