Es el estudio de presiones en un fluido en reposo y las fuerzas de presión actuando sobre áreas finitas. Como el fluido está en reposo, no hay esfuerzos




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2.6.1 EL PIEZÓMETRO

 

Consiste en un tubo vertical simple que se fija al  sistema, al cual se le va a determinar la presión, figura 2.9. El líquido sube hasta un nivel tal que el peso de la columna del líquido equilibra la presión interior del sistema al cual se le está determinando la presión.

 

                               

                                                Figura 2.9

 

 

2.6.2 EL MANÓMETRO (O MANÓMETRO EN U) 

 

Es un tubo curvo en forma de U, conocido como un tubo-U y el cual es mucho más conveniente que un simple piezómetro. Líquidos manométricos inmiscibles y pesados, (generalmente el mercurio, Hg) son usados para medir grandes presiones.  Pequeñas presiones son medidas usando líquidos más livianos, figura 2.10.

 



                                                            Figura 2.10

 

 

2.6.3 TUBO INCLINADO

 

El tubo inclinado, figura 2.11; es usado para medir presiones muy pequeñas. La exactitud de la medida es mejorada con una inclinación adecuada

 



Figura 2.11

 

 

2.6.4 EL MANÓMETRO DIFERENCIAL

 

Es esencialmente un manómetro en U, figura 2.12, que contiene un solo líquido manométrico y se usa para medir grandes diferencias de  presiones entre dos sistemas. Si la diferencia es muy pequeña el manómetro puede ser modificado con terminales más anchas en los extremos y con el uso de dos líquidos manométricos diferentes en el sistema; se denomina micromanómetro diferencial, figura 2.13.

 



                                            Figura 2.12

 



                                                Figura  2.13

 

 

Si la densidad del agua es w, una columna de agua de altura hw, produce una presión , que puede ser expresada en términos de cualquier otra columna líquida hL, como  L g hL; siendo L su densidad.



donde hw  como columna de agua es igual a y  es la densidad relativa del líquido.

 

Para cada una de las formas de medida de presiones anteriores, tal como se hizo, se puede escribir una ecuación usando el principio de la distribución de presiones hidrostáticas; expresando las presiones en metros de columna de agua por conveniencia. (Ver ecuación anterior).

 

 

2.7 FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS

 

La presión dentro de un líquido en reposo se ejerce siempre en forma normal (perpendicular) a la superficie; de tal modo que si se tuviera un vaso de forma caprichosa, que contenga un líquido y se hacen orificios en varios puntos del vaso, el líquido saldría en chorro cuyas direcciones serían perpendiculares a las paredes (durante un corto trayecto por supuesto) en los puntos de salida, figura 2.14.

 



Figura  2.14

 

 2.7.1 EMPUJE

 

La presión o presiones unitarias  ejercidas sobre un área plana, pueden ser reemplazadas por una fuerza única equivalente, normal a la superficie; la cual pasaría por el centro de presiones del área y se llama empuje,  y tendría un efecto equivalente al conjunto de presiones unitarias que actúan sobre el área.

 

Para caracterizar completamente un empuje debemos conocer:

 

       La intensidad del empuje (Magnitud)

       La ubicación del empuje

 

 

2.7.2 PRIMER CASO: SUPERFICIE PLANA PARALELA A LA SUPERFICIE DEL AGUA.

 

Si se supone una superficie rectangular paralela a la superficie libre, sumergida dentro de un líquido en reposo a una profundidad h, figura 2.15, tenemos:

 

La presión en todos los puntos de esa superficie es la misma, es decir, es uniforme.

 

Para calcular el valor de la presión es necesario conocer la profundidad h y la densidad    o peso específico  del líquido.  Llamando D a un punto cualquiera de la superficie en cuestión, tenemos:

 



 



Figura  2.15

 

La fuerza equivalente a la acción de la presión sobre la superficie A ( empuje del líquido sobre la superficie), que se llamará F es:

 



 

En la anterior expresión debe tenerse cuidado de no confundir el empuje con la presión.  Si la presión es uniforme sobre una superficie determinada, el efecto conjunto de las presiones unitarias que se ejercen en cada uno de los puntos del área se puede reemplazar por un "empuje o fuerza total" que pasa por el centro de gravedad de la superficie.  La expresión se interpreta diciendo que: "Cuando la presión es uniforme sobre una superficie plana, el empuje tiene un valor igual a la intensidad de la presión en cualquier punto, multiplicado por el área de la superficie".  El empuje queda representado por un vector normal a la superficie, el cual pasa por el centro de gravedad de ésta.

 

 

2.7.3 SEGUNDO CASO: SUPERFICIE PLANA INCLINADA CON RESPECTO A LA SUPERFICIE DEL AGUA.

 

Si se considera ahora una superficie plana pero inclinada con respecto a la superficie libre del líquido, en éste caso, la presión no es uniforme en todos los puntos de la superficie, sino que varía, siendo menor en E y aumentando gradualmente hasta D. Figura 2.16

 



Figura 2.16

 

Aquí el empuje sigue siendo normal a la superficie (como debe ser), pero ya no pasa por el centro de gravedad de ésta, sino mas abajo, porque la resultante del sistema de fuerzas paralelas, formado por las distintas presiones, estará cerca de las fuerzas de mayor intensidad, figura 2.16.   El punto por donde pasa el empuje que el líquido ejerce sobre la superficie se llama "Centro de Presiones".

 

 

Para que quede determinado el empuje, es necesario calcular primero su intensidad y en seguida su localización en el centro de presiones.

 

 

2.8 INTENSIDAD DEL EMPUJE

 

Si se considera una superficie plana, inclinada un ángulo  con respecto a la superficie libre del agua, como se muestra en la figura 2.17

 



Figura  2.17

 

Si el área plana A, se asume que consiste de áreas elementales dA; las fuerzas elementales dF, siempre normales al área del plano, son paralelas.  Por lo tanto, el sistema es equivalente a una fuerza resultante F, conocida como el empuje hidrostático, la cual es equivalente al área de la superficie ( dA) por el promedio de las presiones unitarias. El punto de aplicación de la Fuerza F, que produce el mismo efecto (momento) que la distribución de los pequeños empujes de las áreas elementales, se llama el Centro de Presión.

 

Si se toma una franja elemental de la superficie paralela al eje 0-0, la presión sobre esta franja es uniforme y a su empuje se denomina dF; entonces:

 



 

La fuerza F que reemplazaría la acción de todas las fuerzas elementales, sería el promedio de las presiones de las áreas elementales por el área de la superficie. El promedio de las presiones de las áreas elementales, es la presión en el centro de gravedad del área considerada

 



 



Como   Sen q     Þ     h = X Sen q

 



Momento estático del área  A con respecto al eje 0-0

 

F = rg Sen q A Xcg   pero,

 



 



 

Donde hcg es la profundidad a la cual está el centro de Gravedad G (centroide).

 

Esto quiere decir que: "La intensidad del empuje sobre una superficie plana, tiene por valor el producto que resulta de multiplicar la presión en el centro de gravedad de la superficie por el área de la superficie considerada"

 

 

2.9 UBICACIÓN DEL EMPUJE

 

El efecto (momento) de todos los pequeños empujes dFi sobre el área A, se puede reemplazar por el momento de un solo empuje F, actuando en un punto (llamado centro de presiones), situado a una distancia Xcp del eje 0-0.

 

Para determinar la ubicación del "Centro de Presión" tomemos momentos de éstas fuerzas alrededor de 0-0.

 

FXcp =  (dFi  Xi)

 

F Xcp    pero     

 

F Xcp 

 

  La distancia al Centro de presión C, será:

 





 

             Primer momento de el área alrededor del eje 0-0

 

          Segundo momento del área alrededor del eje 0-0

 

        Io = Momento de inercia del área con respecto al eje 0-0.

 

Como se conoce más  el momento de inercia de una figura con respecto a su centro de gravedad; por el teorema de los ejes paralelos (o de Steiner), se expresa el momento de inercia respecto al eje 0-0, en función del momento de inercia respecto al centro de gravedad de la superficie (Ig); el cual establece que :

 

 

Donde  Ig es el segundo momento del área de la superficie, alrededor de un eje que pasa por su centroide (Centro de gravedad) y es paralelo al eje 0-0.

 



 

 



 

La expresión anterior demuestra que el centro de presión está siempre por debajo del centro de gravedad del área.

 

La profundidad del centro de presión por debajo de la superficie libre del líquido, está dada por:

 

 

        Al multiplicar arriba y abajo por Sen

       

 

Para una superficie plana vertical  = 90 y como Sen2 90 = 1

 

 

 

Valores del momento de inercia de algunas figuras geométricas

 

           

                                                                                      Figura 2.18

 

             

                                                                                        Figura 2.19

 

           

                                                                    Figura 2.20

 



Figura 2.21

 

La distancia entre el centroide (Centro de Gravedad) y el Centro de Presión C será:



Esta expresión indica que "La distancia del centro de gravedad al centro de presiones, es igual al cociente del momento de inercia con respecto a un eje central que pasa por el centroide y el momento estático con respecto al eje 0-0.

 

Si la superficie se hunde, lo que sucede con el centro de presión sería:  el numerador de la expresión anterior no sufre alteración y el denominador se hace mayor; entonces el centro de presión se acerca al centro de gravedad.  Si la superficie está muy profunda casi coincide el centro de presión y el centro de gravedad.

 

   El  momento de F alrededor del centroide es:



 

=    el cual es independiente de la profundidad de sumergencia.

 

Cuando el área de la superficie es simétrica respecto a su eje centroidal vertical, el centro de presión siempre cae sobre este eje simétrico pero debajo del centroide  del área.

 

Si el área no es simétrica, una coordenada adicional Yo, debe ser determinada para localizar el centro de presión completamente.

 

 



Figura 2.22

 

Por momentos en la figura 2.22 tenemos:

 



 

pero    dA = dx dy

 



 

 

2.10  DIAGRAMAS DE PRESIÓN

 

Otra forma de determinar el empuje hidrostático y su localización es mediante el concepto de la distribución  de la presión sobre la superficie, figura 2.23

 



Figura 2.23

 

Si consideramos una superficie rectangular vertical sujeta a la presión del agua por un lado, el empuje total (Intensidad) sobre dicha superficie sería:

 

 

que corresponde al volumen del prisma de presión ejercido sobre el área

 

Volumen del Prisma = Area Triángulo x Ancho



 

Ubicación

 

    que es el centro de gravedad de la figura (centro de gravedad del volumen del prisma)                          

 

    Intensidad del Empuje = Volumen del Prisma Presiones

 

Ubicación = Centro de gravedad del Prisma de Presiones

 

 



Figura  2.24    PRISMA DE PRESIONES

 



 

Presión promedia sobre la superficie

 

    Empuje Total   F = Presión promedia en el centro de gravedad de  la figura x Área de la superficie

 



 

Intensidad del empuje  =  Volumen del prisma de presiones

 

       Empuje Total/Unidad de ancho 

 = Area del diagrama de presiones

 

Y el centro de presión (ubicación del empuje) es el centroide (centro de gravedad) del prisma de presión.

 

 

2.11        NIVEL IMAGINARIO DEL AGUA – NIA

 

Cuando sobre una superficie, pared, compuerta, etc, está actuando la presión debida a varios fluidos; para facilitar los cálculos se deben reducir las presiones de todos los fluidos que actúan sobre la superficie, a la presión equivalente de un solo fluido, preferiblemente agua. La presión de cada fluido, se reduce a la altura equivalente del fluido con que se va a trabajar y la cual ejercería una presión idéntica a la del fluido que se quiere reemplazar.

 

Si por ejemplo, se reducen estas presiones a alturas equivalentes de columnas de agua que ejercerían idénticas presiones, a la de los fluidos que se quieren reemplazar, al sumar dichas alturas equivalentes, se obtiene el NIA (Nivel equivalente de columna de agua).

 

De esta manera se trabaja con la presión equivalente que produce una columna de un solo fluido, y todos los cálculos se realizan como si sobre la superficie considerada estuviera actuando un solo fluido, cuyo nivel superior sería la suma de las alturas equivalentes calculadas.

 

Ejemplo: Calcular el NIA (Nivel imaginario de la columna de agua), equivalente a las presiones ejercidas sobre el fondo de un tanque que contiene dos (2) tipos de aceites de densidades relativas de 0,8 y 1,6 respectivamente, ver figura 2.25.

 



Figura 2.25

 

Altura de agua equivalente a la presión ejercida por el aceite 1



 

 

Esto quiere decir que una columna de 1,6 m de agua, ejerce la misma presión que una columna de 2 m de un aceite de densidad relativa ac1 = 0,8.

 

Altura de agua equivalente a la presión ejercida por el aceite 2



 

 

Esto quiere decir que una columna de 4,8 m de agua, ejerce la misma presión que una columna de 3 m de un aceite de densidad relativa ac2 = 1,6.

 

El NIA (Nivel Imaginario de columna de Agua) sería la suma de las dos (2) columnas de agua equivalentes o sea 1,6 m + 4,8 m = 6,4 m. Esto quiere decir que una columna de 6,4 m de agua nos ejerce sobre el fondo del tanque una presión igual a la ejercida por la suma de las columnas de los aceites considerados en la figura 2.25, con sus respectivas densidades.

 



 

 

La presión total ejercida sobre el fondo del tanque sería:



 

 

La presión ejercida por la columna de agua equivalente sería:



 

 

De esta manera se puede aprovechar el NIA (Nivel equivalente de columna de agua u otro fluido) para calcular efectos (presiones) de varios fluidos sobre un área determinada.

 

 

2.12    FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

 



Figura 2.26

 

Consideremos una compuerta de superficie curva sujeta a la presión del agua  como se ilustra en la figura 2.26

 

La presión en cualquier punto h, debajo de la superficie libre del agua es gh y es normal a la superficie de la compuerta  y la naturaleza de su distribución sobre toda la superficie, hace difícil la integración analítica.

 

Sin embargo, el empuje total actuando normalmente sobre la superficie, puede ser descompuesto en dos componentes, y el problema de determinar el empuje se realiza indirectamente combinando estas dos componentes

 



Figura 2.27  COMPONENTES DEL EMPUJE SOBRE SUPERFICIES CURVAS

 

Considerando un área elemental de la superficie dA, fig.2.27, formando un ángulo  con la horizontal, la intensidad de la presión sobre esta área elemental es igual a  gh

 

    Empuje total sobre esta área 



Figura 2.28

 



 

Componente horizontal de dP 

 



 

Componente vertical de dP   

 

    La componente horizontal del empuje total sobre el área  curva A

 

donde Av es el área plana proyectada verticalmente de la superficie curva

 

Px es la  intensidad de la presión en el centroide del área plana proyectada verticalmente (BD) por el área proyectada verticalmente.

 

y la componente vertical



 

Siendo dV, el volumen del prisma de agua (real o virtual) por encima del área dA.

 

    frame1 

 

Py es igual al peso del agua (real o virtual) sobre la superficie curva BC limitada por la vertical BD y la superficie  libre del agua CD

 

    El empuje resultante sería    

 

Actuando normalmente sobre la superficie, formando un ángulo

 

 

 

 

 

 
                  

 

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS

 

 

PROBLEMA 1

Determinar la presión en sobre un punto sumergido a 6 m de profundidad en una masa de agua.

 

En el sistema MKS tenemos:

 



 

 

PROBLEMA 2

Determinar la presión en ,ejercida sobre un punto sumergido a 9 mtrs en un aceite de densidad relativa:

 

En el Sistema Técnico tenemos:

 



 

 

PROBLEMA 3

A qué profundidad de un aceite de densidad relativa , se producirá una presión de 2.80  .  A cual sí el líquido es agua?

 

En el Sistema Técnico tenemos:



 

Si fuera agua   w  =   1000



 

 

PROBLEMA 4

 

Convertir una altura de presión de 5 m de agua en altura de aceite de densidad relativa

 

Trabajando con unidades del Sistema Técnico tenemos:





 

 

PROBLEMA 5

 

Con referencia a la figura 1, las áreas del pistón A y del cilindro B son respectivamente de 40 cm² y 4000 cm²; B pesa 4000 Kgr.  Los depósitos y las conducciones están llenos de aceite de densidad relativa . Cual es la fuerza F necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A?

 

frame2

Figura 1

 

como 

 

En el  Sistema Técnico de unidades tenemos:



 

 

PROBLEMA 6

Determinar la presión manométrica en la tubería de agua A en Kgr/cm2 debida a la columna de mercurio (densidad relativa Hg = 13,6) en el manómetro en U mostrado en la figura 2.



Figura 2

  por ser puntos que están a un mismo nivel dentro de un mismo líquido en reposo.

 



 

En el Sistema Técnico tenemos:

 



 

 

Otra forma de resolverlo es empleando las alturas de presión en metros de agua.

Como

 

y



 

En este problema se sumaron  alturas de un mismo líquido, como debe ser, en éste caso metros de agua.

 

 

PROBLEMA 7

 

Un manómetro (Tubo en U) que contiene mercurio (densidad relativa Hg = 13.6), tiene su brazo derecho abierto a la presión atmosférica y su brazo izquierdo conectado a una tubería que transporta agua a presión.  La diferencia de niveles de mercurio en los dos brazos es de 200 mm. Si el nivel del mercurio en el brazo izquierdo está a 400 mm por debajo de la línea central de la tubería, encontrar la presión absoluta en la tubería.  También encontrar la nueva diferencia de niveles del mercurio en el manómetro, si la presión en la tubería cae en 2 x 103 N/m2.



Figura 3

 

Comenzando por el brazo izquierdo y haciéndolo por alturas de presión tenemos:

a)



 

La presión absoluta correspondiente será:

 



b)



Figura 4

Si la presión baja en 2  103 , los niveles del mercurio se modificarán tal como aparecen en la figura 4



Reemplazando los valores de 



 

Por lo tanto

 

   2,116 m = 2,32 m – 26,2 X

 

                                                          .

 

La nueva diferencia de niveles será:

 

   200 mm - 2X = 200 mm – 15,57 mm = 184,43 mm

 

       Otra manera de resolver la segunda parte de este problema sería:

 

De la figura 5 se observa que cuando el manómetro no está conectado al sistema, los niveles de mercurio en ambos brazos se igualarían a 300 mm debajo de la línea central de la tubería.



Figura 5

 

Escribiendo la ecuación manométrica para las nuevas condiciones tenemos



 

 

PROBLEMA 8

Determinar la fuerza resultante F debida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular AB de medidas 1 m  2 m que se muestra en la figura 6



Figura 6



 

Ubicación



 

Por prisma de presiones:



Figura 7

 



 

Ubicación

 



Figura 8

 

Volumen Rectángulo =   1,2m  2m  1m = 2400 Kgr con aplicación de este empuje en el centro  de gravedad del  Rectángulo.



 

Empuje que estaría aplicado  a 2/3 de la altura del triángulo, a partir del vértice del mismo.

 

Tomando sumatoria (  de Momentos con respecto al punto  O en el vértice del triángulo

 

 4400 Kgr  X(m) = 2400 Kgr  2,2 m + 2000 Kgr  (2/3(2)+1,2) m

 



 

 

PROBLEMA 9

 

Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área triangular CD de 1,2 m  1,8 m mostrada en la figura 9, C es el vértice del triángulo.



Figura  9

 F = hcg  A

 

 

Como es un triángulo, su centro de gravedad estará a 2/3 de C o sea 2/3  1,8 m = 1,2 m   de C

 

    X cg = 1,414 m + 1,2m = 2,614 m   y el hcg será:



 

Ubicación del Empuje



 Xcp = 2,683 m de F

 



Figura 10

             Ig = 1/36 bh3



 

 

                      = 1,848 m + 0,0974 Sen²  45

                      = 1,897 m

 

 
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