Solución: Primero se identifica que la condición dad para la fuente tiene simetría esférica. Por lo tanto, las superficies gaussianas apropiadas deben ser superficies esféricas concéntricas. Debemos hallar el campo




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títuloSolución: Primero se identifica que la condición dad para la fuente tiene simetría esférica. Por lo tanto, las superficies gaussianas apropiadas deben ser superficies esféricas concéntricas. Debemos hallar el campo
fecha de publicación13.02.2016
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LEY DE GAUSS

La Ley de Gauss establece que el flujo de salida total del campo E a través de cualquier superficie cerrada en el espacio libre es igual a la carga total encerrada en la superficie, dividida por .
Dicha Ley es muy útil para determinar el campo E de distribuciones de carga con ciertas condiciones de simetría, tal como que la componente normal de la intensidad de campo eléctrico sea constante sobre una superficie cerrada.
Problema resuelto

Ejercicio 1

Determine el campo E producido por una nube esférica de electrones con densidad volumétrica de carga
Solución:
Primero se identifica que la condición dad para la fuente tiene simetría esférica. Por lo tanto, las superficies gaussianas apropiadas deben ser superficies esféricas concéntricas. Debemos hallar el campo E en dos regiones.
a)
Se construye una superficie gaussiana esférica hipotética Si con RE es radial y tiene magnitud constante:


Al sustituir se tiene:

b) Para este caso se construye una superficie gaussiana esférica Sv con R>b fuera de la nube de electrones.


Ejercicio 2:
Una distribución esférica de carga existe en la región Esta distribución de carga está rodeada concéntricamente por una capa conductora de radio interior Ri (>b)y radio exterior Rv. Determinar E en todos los puntos.

Ejercicio 3:
Dos superficies cilíndrica coaxiales de longitud infinita, r=a y b=b(b>a), tienen densidades superficiales de carga , respectivamente.

  1. determinar E en todos los puntos.

  2. ¿Cuál debe ser la relación entre a y b para que E se anule para r>b?


TEOREMA DE STOKES
El teorema de Stokes puede considerarse como una versión del teorema de Green para una dimensión más alta. El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera de S ( que es una curva en el espacio ). La orientación de S induce la orientación positiva de la curva frontera C. Esto significa que si uno camina alrededor de C en sentido positivo entonces la superficie siempre estará a la izquierda de uno.
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES
Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R3 que contiene a S. Entonces:

PROBLEMAS RESUELTOS
1) Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba.
3

y

z

x

C

S

3

9

Solución
Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como:

Con esta parametrización tenemos:
F() = 9sen i + 0j  18cos k
r´() = 3sen i + 3cos j + 0k
r´() = 27sen2

Cálculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.


Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:

El producto vectorial fundamental será:

Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva.
Usando entonces esta parametrización, tenemos:

Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.

2) Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el Teorema de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del rotacional del campo vectorial F(x; y; z) = xyzi + xyj + x2yzk sobre el dominio S consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (1; 1; 1), orientado hacia afuera.
z

1

O

y

x

1

1

Solución
La geometría descrita en el enunciado está representada en la figura. Se requiere calcular el flujo de rot F a través de todas las caras del cubo menos la de abajo. Observemos que esa región de integración está limitada por la curva orientada indicada en la figura; llamémosla C. (La orientación dada se corresponde con normales con la componente z mayor o igual que 0, que es lo necesario para que las normales apunten hacia el exterior del cubo.) El teorema de Stokes nos asegura que:
,
lo cual en sí no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de línea.
Sin embargo, notemos que la curva C también delimita la superficie de la base del cubo, a la cual llamaremos S’. Puesto que el teorema de Stokes nos asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por ella, tenemos que:

con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. Parametrizando esta última tenemos, pues:
T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)) = (x; y; -1), -1  x  1, -1  y  1 (1)
y su producto vectorial fundamental es:

No temos que esta normal apunta hacia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derecha. Por otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por:

Por lo tanto la integral que buscamos será:

En este problema vemos que el teorema de Stokes permite no sólo transformar una integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral de superficie de cálculo más sencillo. La selección de una u otra de estas opciones dependerá del problema particular.

3) Aplicación al concepto de circulación de un campo. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido F(x;y;z) = (tan-1(x2); 3x; e3z tanz) a lo largo de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con z > 0.
Solución:
x

y

z

1

2

2

La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará.
Prima facie vemos que el campo vectorial F tiene una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar asaz engorroso. Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable.

En efecto, se simplifican enormemente los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante.
Por el teorema de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última:

Y hallando el producto vectorial fundamental:

Vemos que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. Con esto podemos calcular ahora:




EJERCICIOS

  1. Dado el vector A= ax2 + ay5 + az , encuentre la expresión de



    1. Un vector unitario aB tal que aB  A

    2. Un vector unitario aC en el plano xy tal que aC  A

SOLUCIÓN

Nos dan : A= ax2 + ay5 + az

  1. aB = ax Bx + ay By + az Bz ,

Donde ( Bx2 + By2 + Bz2 )1/2= 1 (1)

aB  A requiere aB x A = 0 =

donde By + 2 Bz = 0 (2a)

• Bx + 5 Bz = 0 (2b)

• 2 Bx -5 By = 0 (2c)

Las ecuaciones (2ª), (2b) y (2c) no son todas independientes y resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos que;

Bx = ; By = ; y Bz =

AB =(ax2 + ay5 + az)

  1. Ahora ac = ax cx + ay cy + az cz , donde cz= 0

Y cx2 + cz2 =1 (3)

aC  A requiere aC . A = 0, ó 5 cx - 2 cy = 0 (4)

Y resolviendo (3) y (4)

Cx = y cy =

Así que aC = (ax 2 + ay 5)

  1. La posición de un punto en coordenadas cilíndricas esta indicada por ( 3, 4/3, -4)

Especifique la situación del punto en

    1. Coordenadas cartesianas

    2. Coordenadas esféricas

SOLUCIÓN

  1. X = r.cos = 3 cos 240° = - 3/2

Y = r.sen = 3 sen 240° = - 3/2 (-3/2, - 3/2, -4)

Z = -4

  1. R = (r2 + z2)1/2 = (32 + 42)1/2 = 5

 = tan-1 (r/z) = tan-1 (3/-4) = 143,1 ° ( 5, 143,1°, 240°)

 = 4/3 = 240°

  1. Un campo vectorial D = aR(cos2)/R3 existe en la región comprendida entre dos capas esféricas definidas por R = 2 y R = 3. Calcule







SOLUCIÓN

aR . R2 sen d d , R = 3

D = aR ds = -aR. R2 sen d d , R = 2

  1. = = -/3



  1. = - , dv = R2sen.dR.d.d

= = -/3

  1. Supongamos un campo vectorial A = ax (2x2 + y2) + ay (xy – y2)



    1. Calcule a lo largo del contorno triagunlar ilustrado

    2. Calcule sobre el area triangular

    3. ¿Puede expresarse A como el gradiente de un escalar? Explique.

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