 
Matemática Superior Aplicada
2013
Florencia Paola La Selva; Lucrecia Zepeda Farías; Martín Spagnolo
Matemática Superior Aplicada
27/09/2013
Análisis de las Ecuaciones de Maxwell
Ingeniería Química
UTN-FRBA
Índice
Las ecuaciones de Maxwell 4
Desarrollo de las ecuaciones de Maxwell 9
La ley de Ohm 13
La ecuación de ondas 15
Desarrollo de la ecuación de onda 16
Ecuación homogénea unidimensional 19
Ecuación homogénea tridimensional 21
El caso bidimensional 26
La ecuación de ondas no homogénea 28
Soluciones de las ecuaciones de Maxwell 30
Ejemplo 30
Conclusión 39
Bibliografía 40
Introducción:
Maxwell demostró la existencia de ondas electromagnéticas a partir de las leyes generalizadas de la electricidad y el magnetismo, introduciendo el concepto de corriente de desplazamiento.
En este texto se analizan sus cuatro escuaciones, describiendo en forma teórica las deducciones de ellas, como así también se generalizan sus aplicaciones en problemas de campos magnéticos y eléctricos cuyas propiedades matemáticas se encuentran relacionadas.
Se verá además que a estas ondas les corresponde una ecuación que proporciona una función del campo eléctrico dependiendo de la posición, de la masa o el volúmen, según el campo con que se trabaje sea homogéneo, unidimensional, tridimensional o no homogéneo.
Una vez definida la teoría se presenta un ejemplo y una resolución en un software de aplicación a un problema tipo.
Las ecuaciones de Maxwell
J. C. Maxwell fue el primero que estableció las ecuaciones que caracterizan los campos eléctricos y magnpeticos, en condiciones generales, a partir de las cuales se deducen todas lasleyes del electroagnetismo. Los campos eléctricos y magnéticos noson entidades independientes, estan muy relacionados. El punto más delicado es establecer con exactitud la dependencia entre ellos. Así la ecuación magnetostática generalizada,
rot H =  
muestra cómo la variación del campo eléctrico produce un campo magnético.
Del mismo modo, sucede que la ecuación electrostática rot E = 0 es incompleta, y en el caso general debe modificarse para reflejar que las variaciones de campos magnéticos también pueden producir campos eléctricos. Este fenómeno fue descubierto por Faraday investigando con bobinas, es decir, circuitos en forma espiral.
Recíprocamente, Faraday descubrió que si hacemos girar un circuito en forma de espira en el seno de un campo magnético, este inducirá una corriente en el circuito. Debidamente generalizada, la ley de Faraday puede enunciarse como sigue:
  
El signo expresa una simple cuestión de orientación: fijado el sentido en que el flujo se considera positivo, un aumento del mismo induce sobre C una corriente en sentido horario. Esta ley explica el funcionamiento de los alternadores: cuando un circuito en forma de espira es hecho girar en un campo magnético constante, el flujo que lo atraviesa pasa de un valor máximo F hasta el valor − F de forma periódica, lo que provoca una corriente alterna en el circuito. Por el teorema de Stokes tenemos:
 
y como la igualdad se ha de dar para toda superficie S es claro que
 
Con esto tenemos la última de las ecuaciones de Maxwell.
En total son las siguientes:
div D = ρ div B = 0
rot H =
La elección de D o E y de B o H no se debe a razones estéticas (para eliminar constantes), sino que de este modo las ecuaciones valen para medios arbitrarios. En medios homogéneos debemos completarlas con las relaciones
D = £ E, B= µH.
Ninguno de los argumentos de las secciones anteriores puede considerarse una demostración de las ecuaciones de Maxwell, pues todos ellos partían de hipótesis restrictivas sobre invarianza en el tiempo. La teoría del electromagnetismo de Maxwell postula la validez general de estas cuatro ecuaciones y deduce de ellas todas las propiedades del electromagnetismo, incluidos los resultados de las secciones anteriores. Por ejemplo, tomando la divergencia en la cuarta ecuación queda
0 = div rot H = div 
usando la primera ecuación llegamos a
div  
es decir, tenemos la ecuación de continuidad, que expresa la conservación de la carga eléctrica. Por otra parte, el teorema de Gauss se sigue inmediatamente de la primera ecuación mediante el teorema de la divergencia.
Los potenciales de div B = 0 se sigue la existencia del potencial vectorial magnético A, de modo que B = rot A. La tercera ecuación de Maxwell muestra que en general el campo eléctrico no es conservativo, pero sustituyendo el potencial magnético queda
rot (E + ∂A/∂t) = 0
con lo que existe un potencial escalar V tal que
E = −
V − (∂A/∂t)
En el caso en que A no dependa de t tenemos el potencial electrostático que ya conocemos.
Las ecuaciones de Maxwell permiten expresar los potenciales V y A en términos de la distribución de carga ρ y la densidad de corriente .
El primer paso es encontrar ecuaciones diferenciales que contengan una sola delas incógnitas V y A. Para ello sustituimos la ecuación anterior en la primera ecuación de Maxwell:
− ∆V −∂/ ∂t div A = ρ/£
Por otro lado, sustituyendo en la cuarta ecuación de Maxwell resulta:
rot rot A= µ +µ£ ( −
∂V/ ∂t − ∂2 A/∂t2)
Ahora usamos la definición de laplaciano vectorial:
div A − ∆ A = µ - µ£
∂V/ ∂t − µ£ ∂2 A/∂t2
Las ecuaciones se pueden simplificar notablemente si tenemos en cuenta que A está determinado unicamente por su rotacional, y el teorema nos permite elegir su divergencia. Una buena elección es
div A = − µ£ ∂V /∂t
Esta ecuación se conoce como condición de Lorentz y tiene una interpretación en la teoría de la relatividad. Sustituyéndola en las ecuaciones que hemos obtenido resultan dos fórmulas simétricas
∆ V − µ£ ∂2V/∂t2 = −ρ/£
∆A− µ£ ∂2/∂t2 = − µ
Estas ecuaciones determinan los potenciales V y A a partir de ρ e, y a su vez los potenciales determinan los campos E y B a través de las ecuaciones
B = rot A, E = −
V − ∂A/∂t.
Los campos E y B satisfacen ecuaciones similares a (13.5) y (13.6). Para obtener la de E tomamos gradientes en la primera ecuación de Maxwell y aplicamos la definición del laplaciano vectorial:
∆ E + rot rot E =1/£
ρ
Aplicamos la tercera ecuación y después la cuarta:
∆E − ∂/ ∂t rot B =1/£
ρ
  + d2D/dt2) = 1/£
ρ
De aquí llegamos a
∆ E − µ£ ∂2E/∂t2 = 1/£
ρ + 
Un razonamiento similar nos da:
∆ H − µ£ ∂2H/∂t2 = 
Las ecuaciones en derivadas parciales obtenidas se diferencian únicamente en el término independiente (el que no contiene a la incógnita V , A , E o H). Ello hace que su resolución pueda ser estudiada en general. Notemos, no obstante, que si las magnitudes son invariantes con el tiempo todas ellas son ecuaciones de Poisson, y nos llevan a resultados como:
Energía electromagnética
Aplicando la relación a los campos E y H,
div (E ∧H ) = (rot E) H − E (rot H)
Si lo aplicamos a los campos E y H, las ecuaciones de Maxwell,
div (E ∧H ) = −H ∂B/∂t −E ∂D/∂t – E = −∂/ ∂t µH2 /2 − ∂/ ∂t £E2 /2
Fijado un volumen Ω, podemos aplicar el teorema de la divergencia:
∂ /∂t 
Observemos que si sobre un objeto de masa m que se mueve con velocidad v actúa una fuerza F, su energía cinética es (1/2) m v2, luego la variación de esta energía es m v a = v F. En nuestro caso, si llamamos v a la velocidad de las cargas en cada punto (y recordando que dm es el elemento de volumen), se cumple
E dm = Eρv dm = Ev dq = ( E + v ∧ B ) v dq = v dF, luego el segundo término del primer miembro de la igualdad anterior es el aumento de energía cinética del fluído eléctrico producido por el campo electromagnético. Esto nos lleva a definir la energía potencial electromagnética acumulada en un volumen Ω como
∂ /∂t
De este modo, la relación anterior es una ley de conservación: si tomamos Ω suficientemente grande como para que los campos sean nulos en su frontera, tenemos que la energía total (cinemática potencial) permanece constante. Más en general, el vector P = E ∧ H recibe el nombre de vector de Poynting, y su flujo a través de una superficie nos da la energía electromagnética que sale de ella por unidad de tiempo. La variación de la energía (o el trabajo realizado por unidad de tiempo) se mide en vatios.
Un vatio es simplemente un Julio por segundo. Las unidades del vector de Poynting son, pues, vatios por metro cuadrado.
Desarrollo de las ecuaciones de Maxwell
Se supone que existe una distribución de cargas positivas y negativas que generan un campo eléctrico E en cierta región del espacio. En esta región se construye una superficie gaussiana que puede o no encerrar cargas. La ley de Gauss relaciona el flujo de total a través de esta superficie con la carga neta encerrada por ella expresada por la siguiente ecuación:
Luego, aplicando el Teorema de la Divergencia se deduce esta expresión equivalente:
ρ: densidad volumétrica de carga
También se sabe que
Dado que las integrales tienen el mismo recinto de integración se pueden igualar los integrandos obteniendo así la primera ecuación de Maxwell
El campo eléctrico asociado a una carga nace en ella, si es positiva, o muere en ella si es negativa.
En una superficie cerrada, las integrales de superficie de los campos magnético y eléctrico son cero porque el flujo entrante es igual al saliente
Se aplica el Teorema de la Divergencia y se obtiene la siguiente expresión
Según la Ley de Faraday-Lenz la variación del flujo respecto al tiempo genera una fuerza electromotriz inducida definida por:
Donde  , entonces:
Por el Teorema de Stokes se puede afirmar que  , luego
Debido a que el recinto de las integrales es el mismo se pueden igualar los integrandos
La Ley de Ampère calcula la circulación de un campo magnético a través de las líneas de campo.
Nos referimos a  como la corriente encerrada por un campo magnético que se calcula como el flujo de la corriente circulante, entonces
Utilizando el teorema de Stokes
Como en los cálculos anteriores se pueden igualar los integrandos
Como la ley de Ampere vale sólo para corrientes constantes, la anterior ecuación es válida si el vector J es estacionario.
Maxwell corrigió la ecuación de modo que pueda emplearse para casos generales. Se basó en el siguiente razonamiento:
Se basa en el Principio de conservación de la carga, por lo cual se acepta que la carga neta total del universo permanece constante. En consecuencia, si en un volumen dado la carga neta cambió, ello indica que ha salido o entrado carga desde el exterior al volumen elegido, implicando corrientes durante el cambio.
Calculando el flujo a través de una superficie cerrada, siendo el segundo miembro la carga neta en el volumen V
Aplicando el Teorema de la Divergencia
En los puntos en los que el volumen permanece en reposo los límites de integración no dependen del tiempo por lo que se puede conmutar la derivada con respecto al tiempo con el integrando.
Como la densidad de carga en un punto está dada por la divergencia de  en dicho punto, lo que permite la siguiente relación:
Ahora queda la Ley de Ampere-Maxwell:
Así queda enunciada la hipótesis de Maxwell, que comprueba la existencia de las ondas electromagnéticas
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