Para estudiar la invasión de un líquido o de un gas en un medio poroso, la propagación de una enfermedad o un incendio, se recurre a un mismo concepto, el de percolacion, que permite establecer algunas leyes universales comunes a los distintos fenómenos de contagio desordenado




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títuloPara estudiar la invasión de un líquido o de un gas en un medio poroso, la propagación de una enfermedad o un incendio, se recurre a un mismo concepto, el de percolacion, que permite establecer algunas leyes universales comunes a los distintos fenómenos de contagio desordenado
fecha de publicación04.11.2015
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La percolación o la geometría del contagio

GRASSBERGER (Mundo Científico Nº 115 VOLUMEN 11)

Selección

PARA ESTUDIAR LA INVASIÓN DE UN LÍQUIDO O DE UN GAS EN UN MEDIO POROSO, LA PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD O UN INCENDIO, SE RECURRE A UN MISMO CONCEPTO, EL DE PERCOLACION, QUE PERMITE ESTABLECER ALGUNAS LEYES UNIVERSALES COMUNES A LOS DISTINTOS FENÓMENOS DE CONTAGIO DESORDENADO

¨En qué condiciones un hilillo de agua atraviesa un pedazo de gruyere, una epidemia se difunde en una población o un incendio se propaga en un bosque? Estos problemas, aparentemente inconexos, plantean, sin embargo, el mismo tipo de cuestión: ¿cómo se establece conexión de punta a punta en un conjunto de elementos unidos parcial y aleatoriamente (como los agujeros en el gruyere? los científicos disponen de un término genérico para estos fenómenos: la percolación. El agua percola a través del gruyere, o el fuego a través del bosque (fig. 1), como el agua a través de un percolador de café.

E1 concepto fue introducido en 1956 por los ingleses J.M. Hammersley, matemático, y S.R. Broadbent, ingeniero, a propósito de un estudio sobre máscaras de gas. Cuando el filtro se obstruye, la entrada de aire deja de estar comunicada con el interior. Basta que se obstruya una parte de los canales enmarañados que recorren el filtro para que queden cerradas las vías de paso.

Pero ¨con qué proporción de canales obstruidos es inutilizable el filtro?

Para enfocar mejor el problema, tomemos otro ejemplo, la propagación de un parásito en un huerto donde se han plantado distintos  áboles frutales. Supongamos que los parásitos sólo infectan los manzanos y sólo pueden saltar de un  árbol a su vecino inmediato. Si el propietario es astuto, mezclar  los manzanos con otras especies. Con una proporción de manzanos lo bastante pequeña, un par sito infectar  sólo unos pocos  árboles. Asimismo, un fuego sólo puede propagarse en un bosque si no hay demasiados claros. De lo contrario queda confinado en unos cuantos bosquecillos.

Cabe preguntarse si la probabilidad que tiene el parásito de ir infectando todos los manzanos aumenta regularmente con la proporción de manzanos o si la probabilidad de cortar el incendio es proporcional a la superficie de los claros. Nada de eso. Sorprendentemente, la probabilidad que tiene un parásito de ir de punta a punta del huerto es prácticamente nula por debajo de una cierta proporción de manzanos, y es prácticamente del 100% por encima de este valor. lo mismo ocurre con la propagación del incendio forestal o con los demás fenómenos mencionados: la percolación funciona según una ley de <>. Es lo que los físicos llaman un fenómeno de umbral.

Se comprende que estos umbrales de percolación tengan gran importancia en campos tan variados como la medicina (contagio y propagación de epidemias), la física (propiedades de conducción o de rigidez de los materiales) o la química, en suma, en todos aquellos campos donde el problema implica conexiones en sistemas heterogéneos y desordenados. Son muchas las aplicaciones prácticas e industriales en las que una buena comprensión de los fenómenos de percolación es extraordinariamente útil.

Veamos más de cerca, con un ejemplo geométrico, cómo surge este umbral de percolación. Consideremos una red cuadrada, un tablero de ajedrez o una mesa de juego de Go; las casillas pueden ser azules o rojas; pero estos colores, en vez de estar regularmente distribuidos como en un tablero de ajedrez, son elegidos al azar. La proporción de casillas azules es p, la de casillas rojas 1-p. Nuestra red presenta grupos azules y grupos rojos de variados tamaños (fig. 2). Concentrémonos en los grupos rojos. Cuando las casillas azules son muy minoritarias, es muy poco probable que aparezca un grupo grande. Pero cuando la proporción de casillas azules es lo bastante alta, se encuentran grupos cada vez mayores, y algunos de ellos atraviesan toda la red (aunque ésta sea muy grande). Como hemos visto en el caso del huerto, cuando la proporción de casillas azules es mayor que un cierto umbral llamado pu(que en nuestro caso resulta ser igual a 0,5927...), la probabilidad de dar con un grupo que vaya de punta a punta es prácticamente igual a 1 y ello independientemente de la distribución detallada de las casillas azules (fig. 2). Así, al aumentar la proporción p de casillas azules, el tamaño de los grupos crece brutalmente: el grupo mayor <
> cuando p rebasa el valor umbral pu . El valor <> que marca el umbral, la frontera, entre los grupos disjuntos y el grupo percolante depende, claro está, de la forma de la red. Si ésta está formada por triángulos, y no por cuadrados, el resultado será distinto. También ser  distinto si en vez de construir los grupos coloreando casillas y reuniendo casillas del mismo color trazamos puentes entre casillas elegidas al azar (en tal caso lo que cuenta es la proporción de casillas unidas a sus vecinas).

El tamaño y la forma del grupo mayor, el que percola, siempre son muy irregulares. No obstante, los investigadores han encontrado notorias semejanzas entre los distintos ejemplos en las proximidades de la transición. Expliquémonos. Se trata de ciertas características de los grupos cuando la proporción de casillas azules y rojas se aproxima al umbral de la transición. En promedio, el tamaño del grupo mayor aumenta al hacerlo el número de casillas azules de acuerdo con una ley matemática muy simple: es inversamente proporcional a la distancia en relación al umbral de la proporción casillas azules/casillas rojas, es decir, a (p-pu), elevada a una cierta potencia, que los científicos llaman exponente crítico.

Más aún: los investigadores han demostrado que este exponente crítico es muy general, ya que toma el mismo valor cualquiera que sea el tipo de percolación considerado. Otras varias propiedades de los grupos varían de modo análogo en las cercanías del umbral, como por ejemplo la probabilidad de que una casilla elegida al azar esté en el grupo mayor el que va a percolar o la probabilidad de que dos casillas pertenezcan al mismo grupo. Así, en las cercanías del umbral de percolación, las diferencias entre los distintos sistemas se difuminan y surge un comportamiento universal. Las propiedades ya no dependen del detalle de la estructura, sino que obedecen a unas leyes globales llamadas <>. Pero aunque esta universalidad está bien establecida, todavía no se ha dado de ella ninguna formulación matemática completa y para los investigadores no siempre es obvio cómo distinguir a priori en un sistema cuales son las magnitudes <> y cuales los detalles que se pueden despreciar. Esta cuestión es el tema de buena parte de los trabajos sobre la percolación. Un aspecto al que el fenómeno es ciertamente sensible es el siguiente. Consideremos, por ejemplo, un incendio forestal y supongamos que sopla un fuerte viento que acelera la propagación de las llamas en una cierta dirección impidiendo que los  árboles transmitan el fuego a sus vecinos en la dirección contraria. En el umbral de la percolación, el motivo que esbozan los  árboles quemados es muy distinto del que se obtendría sin viento. El grupo que percola se extiende sobre todo en la dirección del viento: estamos ante una <
>. Estas consideraciones se aplican sólo a la forma de los grupos, no a su tamaño, es decir, a propiedades geométricas. Volviendo al parásito del huerto, hasta aquí sólo nos hemos interesado por la distribución de los  árboles que acaban siendo contagiados. Pero también se puede inquirir a qué velocidad se difunde el parásito o a qué velocidad avanza el frente de llamas en el bosque.

Se trata ahora de estudiar la dinámica del problema de la percolación.
Un aspecto dinámico de la percolación:

A qué velocidad avanza el frente de llamas en un incendio forestal

¿Qué encuentran los investigadores?

Otro exponente universal que aparece muy cerca del umbral. Justo por encima de éste, la velocidad es proporcional a la distancia al umbral elevada a una potencia de aproximadamente 0,17. En el umbral exacto, claro está, la velocidad tiende a cero porque el grupo percolante desaparece y con él la posibilidad de transmisión. Este modelo se aplica, por ejemplo, a una epidemia en la que los enfermos mueren o se inmunizan, o en todo caso a una epidemia que agota su medio y que por lo tanto tiene que propagarse para subsistir. Un fenómeno análogo se produce en el crecimiento de ciertas especies de setas.

Supongamos ahora que la epidemia pueda volver a una región ya infectada con anterioridad. Se trata por ejemplo de una epidemia contra la cual los individuos no desarrollan inmunidad, pero que no es mortal (algo semejante a la gripe, aunque la analogía no sea del todo correcta). Con mayor generalidad, este proceso describe la propagación de un fenómeno contagioso que no agota los recursos del medio. Llamamos al proceso, proceso de contacto o proceso de epidemia simple, para distinguirlo del proceso general de epidemia considerado antes. Imaginemos un esquema que represente la evolución espaciotemporal de esta epidemia simple. En el caso de una sola dimensión espacial, se obtiene un esquema muy parecido (fig. 3B) al que representa el incendio impulsado por el viento (fig. 3A). La percolación dirigida, por lo tanto, puede interpretarse de dos maneras: si la dirección privilegiada es una dirección espacial, se trata de un proceso en el que los recursos se agotan (como en el proceso general de epidemia). Si esta dirección privilegiada es el tiempo, se trata de un contagio en el que los recursos no se agotan y la epidemia está siempre presente, aunque sin propagarse globalmente. La noción de percolación también es extraordinariamente útil en química. Se puede observar, por lo demás, que el proceso de epidemia simple se interpreta muy fácilmente en términos de reacciones químicas. Llamemos A a un individuo enfermo y B a otro sano; el contagio se traduce en la reacción A +B = A + A. Pero el individuo enfermo puede sanar: A þ B. Como es lógico, las propiedades matemáticas no dependen de la interpretación del proceso en la realidad, razón por la cual el modelo puede utilizarse para modelizar una reacción química muy importante industrialmente: la reacción de oxidación del monóxido del carbono 2CO+O2=CO2 con catálisis de superficie.

((((Para ilustrar las características principales del fenómeno de la percolación, basta examinar un objeto geométrico muy simple una red de casillas cuadrados coloreadas de azul y de rojo. En (A), el color de cada casilla se elige al azar y hoy tantas casillas azules como casillas rojas. Ambos tipos de casillas forman grupos más o menos irregulares (las casillas de igual color que no comparten una arista no se cuentan como pertenecientes al mismo grupo). Uno de los grupos azules, a modo de ejemplo se ha coloreado con un color más claro. Ningún grupo azul se extiende de punta a punta de la red: la proporción de casillas azules no es suficiente para que un grupo percole. La probabilidad de hallar un grupo de casillas azules que se extienda de punta a punta de la red no aumenta regularmente con la proporción de casillas azules Por debajo de un cierto umbral, esta probabilidad es prácticamente nula. Vemos en (B) un motivo formado con un 58 % de casillas azules. Pintamos con un color más claro tres de los grupos azules de mayor tamaño. Ninguno de ellos percola. Aumentando un poco más todavía la proporción de casillas azules se sobrepasa el umbral (que según la teoría, es de aproximadamente 59,27 %) y se est  prácticamente seguro de encontrar un grupo que percola. Es lo que vemos en (C), donde la proporción de casillas azules es de 60 %)))

R. Ziff, E. Gulari y Y. Barshad, investigadores de la universidad de Michigan en Ann Arbor, Estados Unidos, propusieron en 1986 un modelo en el que una red cuadrada representa los lugares del catalizador a los que se unen las moléculas implicadas en la reacción. ? Cada lugar puede estar vacío, ocupado por uno de los  tomos de oxígeno de una molécula de O2 o también ocupado por el carbono de una molécula de C0. Las moléculas de monóxido de carbono CO están sobre la superficie del catalizador, orientadas perpendicularmente a ella, mientras que las de oxígeno lo están longitudinalmente con sus dos  tomos unidos a la superficie. En esta situación, el enlace entre los dos  tomos está muy debilitado y uno de ellos puede unirse con una molécula de monóxido de carbono para formar dióxido de carbono, que deja entonces la superficie.
La dificultad que acabados de mencionar no existe en las muestras artificiales preparadas cuidadosamente en los laboratorios. En la universidad de Paris Sud, E. Guyon y sus colaboradores optaron por experimentar con incendios en bosques en miniatura. Los  árboles eran sustituidos por pequeños bloques de madera situados encima de una red de casillas cuadradas. los investigadores estudiaron la propagación del fuego con o sin viento. Con esta maqueta, descubrieron que el umbral de propagación y otras propiedades concordaban bien con la teoría.

Un último problema de cara a la comparación entre teoría y experiencia con sistemas en que las predicciones teóricas sólo son válidas en las proximidades inmediatas del umbral. Si el sistema observado está lejos del umbral, entonces la teoría no predice nada en absoluto.

En particular, no hay que esperar ninguna ley de escala que no sea evidente a priori. Y no obstante, como ha observado el matemático Benoit Mandelbrot, las leyes de escala no evidentes, como las que se observan en el umbral de percolación, acaban siendo más frecuentes de lo previsto. ¨De dónde viene este resultado sorprendente? Tres investigadores del laboratorio nacional de Brookhaven, Estados Unidos, P Bak, C. Tang y K. Wiesenfeld, han conjeturado que ciertos sistemas tienden en cierto modo automáticamente a funcionar cerca del umbral.(Este comportamiento, que han llamado criticidad autoorganizada, se ha observado en ciertos modelos. Para comprender mejor de qué se trata, consideremos el caso de un incendio. La hipótesis de Bak y sus colaboradores significaría la existencia de mecanismos de regulación capaces de mantener el incendio en el límite justo en que puede propagarse. A escalas de tiempo muy largas, este mecanismo de regulación podría ser simplemente el lento rebrote de los  árboles en las partes quemadas. En una epidemia, seria la pérdida progresiva de la inmunización.

(( Figura 4. (a propagación de un incendio forestal o de una epidemia pueden abordarse por medio del concepto de percolación En ambos casos es importante tener en cuenta el agotamiento de los recursos del medio por el fenómeno: los árboles se queman, los enfermos se inmunizan contra la enfermedad o mueren: en ninguno de ambos casos incendio o enfermedad) puede el agente volver inmediatamente a lugares ya alcanzados. Pero al cabo de un cierto tiempo los árboles vuelven o crecer y los individuos pierden su inmunidad con lo cual el fuego y la enfermedad reaparecen. Es lo que vemos en lo figura, que modeliza un incendio forestal de 800 x 800 lugares. Se ha supuesto que el incendio (representando por casillas amarillas) dura un día dejando tras de sí cenizas (en negro) Pero más atrás todavía puede haber nuevos árboles (que han crecido) con una probabilidad(d del 0,5 % por lugar y por día (casillas verdes).

¨¿Hay mecanismos que mantienen un incendio forestal o una epidemia en el límite justo en que puede propagarse?.

Pero volvamos al incendio forestal, aunque no siempre sea un ejemplo muy adecuado. Podemos imaginar dos situaciones límite. La primera corresponde al caso en que los árboles no vuelven a crecer en la tierra quemada y el incendio se propaga según lo que hemos llamado proceso de epidemia general. La segunda corresponde al caso en que los árboles vuelven a crecer muy deprisa, antes incluso de que el fuego haya acabado de propagarse (lo cual no es demasiado realista y se aplica más bien a una epidemia); el incendio puede volver a sitios anteriormente visitados y estamos en el caso de la epidemia simple, unida a la percolación dirigida. Entre estos dos extremos, la nueva situación que nos interesa aparece cuando los árboles vuelven a crecer poco a poco. En-lentamente en lugares aislados, esperando en cierto modo a que los árboles hayan crecido lo bastante en los lugares ya visitados para volver a quemarlos (fig. 4). La dinámica de la propagación implica así un delicado equilibrio entre la extinción y la propagación. Los epidemiólogos reconocerán en este ejemplo un análogo de las enfermedades endémicas. E1 caso es muy difícil de estudiar teóricamente, y por ahora no se sabe cómo tratarlo. De todos modos, no es totalmente seguro que se trate de un ejemplo de criticidad autoorganizada.

¿Habrán dado por fin los investigadores con el buen modelo? Subsisten pues muchas cuestiones abiertas en la teoría de la percolación. Pero, pese a las dificultades de la teoría pura, ésta sigue teniendo un gran adelanto sobre las aplicaciones. Las principales dificultades son de dos ordenes: en primer lugar, es difícil proceder a experimentos conformes a las condiciones teóricas, en las cuales la escala <>, en la que se produce la transmisión entre elementos de la red, es muy pequeña con respecto a la escala <>, la de la red entera. Por otra parte, los aspectos dinámicos son todavía muy difíciles de caracterizar en la práctica, y en este campo quedan muchos progresos metodológicos por hacer. No habría que concluir de todo ello que la teoría es inútil. Tiene un indiscutible poder predictivo y ha logrado grandes éxitos.

Ha tenido también el mérito de forjar unos conceptos generales aplicables a fenómenos muy variados de la incumbencia de distintas ciencias. Tal vez sea este teniendo un gran adelanto sobre las aspecto unificador lo que hace de la percolación un fenómeno tan fascinante.

Un artículo de divulgación:

P. G. de Gennes, <>, 1985, p. 313.

Una introducción moderna y accesible:

D. Stauffer, Introduction to percolation theory, Paylor and Francis 1985.

G. Deutscher, x. Zallen y J. Adler (eds.) Percolation structures and processes, Adam Hilger,1983.

Una monografía que trata de los procesos epidémicos en el espacio:

N T.M. Liggett, Interacting particle systems, Springer-verlag, 1985.

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