2. 2 medidas de centralizacióN: media aritmética, mediana y moda. Propiedades. Relación entre media, mediana y moda




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D37 ESTADÍSTICA. Tema 2

TEMA 2
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN


2.1 Características de las medidas de posición central.

2.2 Medidas de centralización: media aritmética, mediana y moda. Propiedades. Relación entre media, mediana y moda.

2.3 Cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles.

2.4 Medias geométrica, armónica.


INTRODUCCIÓN



En este tema y los dos siguientes vamos a obtener unos números que cuantifiquen las propiedades fundamentales de la distribución de frecuencias. Estos números podemos clasificarlos en:


  • Medidas de localización (posición). Son coeficientes de tipo promedio que tratan de representar una determinada distribución, pueden ser de dos tipos:

1.-Centrales:

-Medias:

  • Aritmética

  • Geométrica

  • Armónica

-Medianas

-Moda

2.-No centrales:

-Cuantiles:

  • Cuartiles

  • Deciles

  • Centiles o percentiles



  • Medidas de dispersión.


Son complementarias de las de posición en el sentido que señalan la dispersión en conjunto de todos los datos de la distribución respecto de la medida o medidas de localización adoptadas.

-Medidas de dispersión absoluta: Recorrido

-Medidas de dispersión relativa: Recorrido intercuartílico, desviación media, varianza, desviación típica.

-Coeficiente de variación PEARSON.

-Diagrama de caja.


  • Medidas de forma

Estudian la asimetría- simetría y deformación (apuntamiento, aplastamiento) respecto de una distribución modelo denominada distribución NORMAL
Coeficiente de asimetría y coeficiente de Curtosis.


  • Medidas de concentración

Estudian la concentración de una distribución frente a la uniformidad.

INDICE DE GINI, CURVA DE LORENZ.

2.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL.

Las medidas de posición son promedios y pueden ser de tendencia central o no, las más importantes son las que hemos indicado en la introducción, esto es: media, mediana, moda y los cuantiles.

2.2 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN: MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA. PROPIEDADES. RELACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA.



Media aritmética: Es la suma de todos los valores de la variable dividida entre el número total de elementos.



Si el valor xi de la variable X se repite ni veces, aparece en la expresión de la media aritmética de la forma:

, que será la expresión que consideraremos definitiva de la media aritmética.

Como otra posible expresión será
Ejemplo: Si tenemos la siguiente distribución, se pide hallar la media aritmética, de los siguientes datos expresados en kg.

xi

ni

xi ni

54

2

108

59

3

177

63

4

252

64

1

64




10

601


kg

NOTA: A la media aritmética se la denomina también CENTRO DE GRAVEDAD de la distribución.
Si la variable esta agrupada en intervalos (variable continua), se asignan las frecuencias a las marcas de clase y se procede como si la variable fuera discreta. En el futuro consideraremos indistintamente ci = xi
Ejemplo:



Añadimos las columnas según las necesidades
[Li-1,Li)

xi = ci

ni

ci ni

[30 , 40)

35

3

105

[40 , 50)

45

2

90

[50 , 60)

55

5

275







10

470




Media Aritmética ponderada: En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será como un aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso.
Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable

Se la suele representar como:

Siendo wi la ponderación de la variable xi y la suma de todas las ponderaciones.
Ejemplo: Un estudiante realiza 3 exámenes de complejidad creciente, obteniendo los siguientes resultados: 5, 8 y 7.

El primer examen lo hizo en ½ hora, el segundo en 1 hora y el tercero en hora y media, por lo que se les atribuye una ponderación de 1, 2 y 3 respectivamente. Se pide calcular la nota media.


Xi

ni

Wi

xi wi

5

1

1

5

8

1

2

16

7

1

3

21




3

N = 6

42


Si calculamos la media aritmética tendremos que :

.

Ahora bien, si calculamos la media ponderada, obtendremos:



Propiedades de la media aritmética

PROPIEDAD 1: La suma de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética es 0.
Veamos que resulta al operar la siguiente expresión:. Tendremos que
PROPIEDAD 2: La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética (Teorema de KÖRING).



Para (media aritmética) el valor de las desviaciones será mínima.
PROPIEDAD 3: Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad:
Supongamos que tenemos una variable x de la que conocemos su media.

Supongamos ahora que tenemos otra variable, que se calcula a partir de la anterior de la siguiente forma: . Si ahora queremos calcular la media de esta segunda variable:


como si sustituimos tendremos que es lo que pretendíamos demostrar.
PROPIEDAD 4: Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante . La demostración se realizaría de manera análoga a la anterior.
NOTA: De las dos propiedades anteriores se deduce que la resta y la división se realizarían de igual manera para la propiedad 3 y 4 respectivamente.
Corolario: Si una variable es transformación lineal de otra variable (suma de un número y multiplicación por otro), la media aritmética de la 1ª variable sigue la misma transformación lineal con respecto a la media aritmética de la 2ª variable, siendo yi = a xi + b , donde a y b son números reales:


Podemos utilizar esta metodología para calcular la media de la siguiente distribución.


Xi

ni

38432

4

38432

8

38436

4

38438

3

38440

8


Si efectuamos un cambio de variable tomando como nueva variable el valor más centrado, tendremos::


xi

ni

yi

yi ni

38432

4

(38432 - 38436)/2 = -2

-8

38432

8

(38432 - 38436)/2 = -1

-8

38436

4

(38436 - 38436)/2 = 0

0

38438

3

(38438 - 38436)/2 = 1

3

38440

8

(38440 - 38436)/2 = 2

16




n = 27




3


Como , entonces


PROPIEADAD 5: - Si en un conjunto de valores se pueden obtener 2 ó más subconjuntos disjuntos, la media aritmética del conjunto se relaciona con la media aritmética de cada uno de los subconjuntos disjuntos de la siguiente forma:



Siendo  la media de cada subconjunto y Ni el núm. de elementos de cada subconjunto.
Veamos la demostración de la propiedad: Sea la distribución x1, x2, x3, x4, …… xn, xn+1, xn+2 ……….xk, observando que habrían como dos subconjuntos de n y k-n elementos cada uno. Si consideramos la media aritmética de la distribución: y calculamos los sumatorios para los dos subconjuntos, la expresión de la media quedaría:



Si multiplicamos numerador y denominador de cada una de las fracciones por una misma cantidad el resultado no varía, por tanto, multiplicaremos la primera por N1 que es su número de elementos del primer subconjunto y la segunda por N2 que es el correspondiente, la expresión quedará:

como y son la media del primer y segundo subconjunto, la expresión la podemos expresar de la siguiente manera: que es lo que queríamos demostrar ya que si las frecuencias se multiplican o dividen por un mismo número, la media no varía
IMPORTANTE: Hay que tener en cuenta que la media aritmética es muy sensible a los valores extremos, es decir, a valores numéricos muy diferentes, (tanto por lo grandes, o pequeños que sean), al resto de la muestra. Esto puede resultar un problema. Hay formas de resolverlo, que veremos más adelante.

Media geométrica y armónica.
a) Media geométrica: Responde a la siguiente expresión



y se la puede define, como la raíz n-ésima del producto de todos los valores de la variable.

También la podemos representar como:



NOTA: En muchas ocasiones, los valores de la distribución nos impiden poder efectuar los cálculos al exceder la capacidad de la calculadora.

Utilizaremos las propiedades de los logaritmos:

  • lg (a.b) = lg a + lg b

  • lg an = n lg a




sabiendo que lo podemos expresar en notación compacta:

, por lo que podemos decir que

G = anti lg

El logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable. El problema se presenta cuando algún valor es 0 ó negativo y exponente de la raíz par ya que no exista raíz par de un número negativo.
Suele utilizarse cuando los valores de la variable siguen una progresión geométrica. También para promediar porcentajes, tasas, nº índices, etc. siempre que nos vengan dados en porcentajes.
Ejemplo: Hallar la media geométrica de la siguiente distribución:


xi

ni

100

10

120

5

125

4

140

3




n = 22



por lo tanto será conveniente ampliar la tabla con lo que nos quedará


xi

ni

lg xi

ni lg xi

100

10

lg 100 = 2

20

120

5

lg 120 = 2.079

10,396

125

4

lg 125 = 2.097

8,387

140

3

lg 140 = 2.146

6,438




n = 22




45.221



G = anti lg. 2,0555 = 113,632
NOTA: En la calculadora el antilogaritmo se halla apretando la tecla SHIFT log x




  1. Media armónica. La representaremos como H: Es la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores de la variable, responde a la siguiente expresión:



Se utiliza para promediar velocidades, tiempos, rendimiento, etc. (cuando influyen los valores pequeños).

Su problema: cuando algún valor de la variable es 0 o próximo a cero no se puede calcular.
Ejemplo: calcular la media armónica de la siguiente distribución:



xi

ni

100

10

120

5

125

4

140

3


Para poder hallarla, es necesario que calculemos el inverso de x y el inverso de la frecuencia por lo que ampliaremos la tabla con 2 columnas adicionales :


xi

ni

1/xi

ni/xi

xini

100

10

1/100

0.1

1000

120

5

1/120

0.042

600

125

4

1/125

0.032

500

140

3

1/140

0.021

420




N= 22




0.195

2520



Entre la media aritmética la media geométrica y media armónica se da siempre la siguiente relación:


MEDIANA: Me
La mediana o valor mediano será el valor de la variable que separa en dos grupos los valores de las variables, ordenadas de menor a mayor. Por tanto es una cantidad que nos indica orden dentro de la ordenación.

El lugar que ocupa se determina dividiendo el nº de valores entre 2:

Cuando hay un número impar de valores de la variable, la mediana será justo el valor de orden central, aquel cuya frecuencia absoluta acumulada coincida con . Es decir: . Por tanto la mediana coincide con un valor de la variable.

El problema está cuando haya un número par de valores de la variable. Si al calcular resulta que es un valor menor que una frecuencia absoluta acumulada, el valor de la mediana será aquel valor de la variable cuya frecuencia absoluta cumpla la misma condición anterior: . Por el contrario si coincide que , para obtener la mediana realizaremos el siguiente cálculo:
Ejemplo: Sea la distribución


xi

ni

Ni

1

3

3

2

4

7

5

9

16

7

10

26

10

7

33

13

2

35




n = 35




lugar que ocupa
como se produce que ,por lo tanto Me = 7

El otro caso lo podemos ver en la siguiente distribución:


xi

ni

Ni

1

3

3

2

4

7

5

9

16

7

10

26

10

6

32




n= 32





Lugar que ocupa = 32/2 = 16 ==>

Notar que en este caso se podría haber producido que hubiera una frecuencia absoluta acumulada superior a 16. En este caso se calcularía como en el ejemplo anterior.
En distribuciones agrupadas, hay que determinar el intervalo mediano , la forma de hacerlo será calcular el valor de la mitad de n, y observar que intervalo tiene una frecuencia absoluta acumulada que cumpla .

Después de saberlo haremos el siguiente cálculo:


Siendo: [ Li-1, Li) el intervalo que contiene a la frecuencia acumulada N/2
ai = amplitud de dicho intervalo.

Ejemplo:


[ Li-1, Li)

ni

Ni

[20 , 25)

100

100

[25 , 30)

150

250

[30 , 35)

200

450

[35 , 40)

180

630

[40 , 45)

41

671




N = 671






671/2 = 335.5 ; Me estará en el intervalo [30 - 35 ). Por tanto realizamos el cálculo:



MODA: Mo
Será el valor de la variable que más veces se repite, es decir, el valor que tenga mayor frecuencia absoluta.

Pueden existir distribuciones con más de una moda: bimodales, trimodales, etc.

En las distribuciones sin agrupar, la obtención de la moda es inmediata.
Ejemplo:

xi

ni

1

2

2

7

3

5

4

7

5

4


Moda {2, 4}, en este caso tenemos una distribución bimodal.
En los supuestos que la distribución venga dada en intervalos, es decir, sea agrupada, se pueden producir dos casos: que tengan la misma amplitud, o que esta sea distinta.
Si tienen la misma amplitud, en primer lugar tendremos que encontrar el intervalo modal, será aquel que tendrá mayor frecuencia absoluta . Posteriormente realizaremos el siguiente cálculo:


Siendo:

Li-1 = extremo inferior del intervalo modal

ai amplitud de dicho intervalo

ni-1 + ni+1 = densidades de frecuencia de los intervalos anterior y posterior respectivamente al que contiene la moda.
Cuando los intervalos sean de distinta amplitud, el intervalo modal será el de mayor densidad de frecuencia , es decir ,ya que consideraremos la “calidad” del intervalo en función de la frecuencia y de la amplitud. Para realizar el cálculo, tendremos en cuenta la siguiente expresión:
Nota:

1.- Cuando hay una única moda, la mediana suele estar comprendida entre y Mo.

2.- Cuando la distribución es simétrica (con 1 moda) se cumple que: = Me=Mo
Ejemplo: Hallar la moda de la siguiente distribución


[Li-1,Li)

ni

di = ni/ai

[0 , 25)

20

0.8

[25 , 50)

140

5.6

[50 , 100)

180

3.6

[100 , 150)

40

0.8

[150 , 200)

20

0.4


Calculamos el intervalo modal [25 – 50). Operamos:


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