Alfredo gonzalez hernandez




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títuloAlfredo gonzalez hernandez
fecha de publicación01.02.2016
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ALFREDO GONZALEZ HERNANDEZ

INGENIERIA PETROLERA

ANALISIS NUMERICO

UNIDAD1

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UNIDAD 1

METODOS NUMERICO

    1. INTRODUCCION A LOS METODOS NUMERICOS

    2. TIPOS DE ERRORES

      1. DEFINICION DE ERROR

      2. ERROR POR RODENDEO

      3. ERROR POR TRUNCAMIENTO

      4. ERROR POR TRUNCAMIENTO TOTAL

      5. ERRORES HUMANOS

    3. TEORIA DE METODO ITERATIVO

    4. RAIZ DE UNA ECUACION


INTRODUCCION A LOS METODOS NUMERICOS

Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos

De tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas”

Los métodos numéricos se utilizan para:

• Solución de sistemas de ecuaciones lineales

• Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales

• Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación

• Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando

una curva: ajuste de curvas

• Integración numérica de una función

• Solución numérica de ecuaciones diferenciales

DEFINICION DE ERROR

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por: 

E   =   P*   -   P

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. 

TIPOS DE ERRORES

Existen varios tipos de errores.

  • Error absoluto

  • Error relativo

  • Error porcentual

  • Error de redondeo

  • Error de truncamiento

  • Error de suma y resta

ERROR POR REDONDEO

Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes.

Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

ERROR POR TRUNCAMIENTO

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características  de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomio. http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/ejemplo200.jpg

ERROR POR TRUNCAMEINTO TOTAL

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).

EJEMPLO:

Valor del error por truncamiento = 5,25.

Valor del erro por redondeo = 5,25.

Valor número total= 5.25 + 5.25= 10.5 error numérico total.

monografias.com

ERRORES HUMANOS

el error humano que pueden ocurrir cuando se toman datos estadísticos o muestras, si estos datos son mal recopilados los errores al utilizarlos serán obvios. Cuando se calibran mal los equipos donde de harán lecturas de algunas propiedades de los compuestos o resultados de un experimentos. Cuando se desarrollan modelos matemáticos y estos son mal formulados y no describen correctamente el fenómeno o equipo en estudio. Todos los tipos de errores pueden contribuir a un error mayor, sin embargo el error numérico total, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo.https://sites.google.com/site/metalnumericos/_/rsrc/1328243519037/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-error-absoluto-error-relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento/f5.jpg?height=78&width=400

https://sites.google.com/site/metalnumericos/_/rsrc/1328243347913/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-error-absoluto-error-relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento/ea.gif?height=120&width=200

TEORIA DE METODO ITERATIVO

Un método iterativo trata de resolver un problema matemático (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

Puntos fijos atractivos

Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x) = x, y una solución x es un punto fijo atractivo de la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn) para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥ 1 convergerá a la solución x.

Sistemas lineales

En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los más generales métodos delsubespacio de Krylov

Métodos iterativos estacionarios

Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que se aproxima al original, y basándose en la medida de error (el residuo), desde una ecuación de corrección para la que se repite este proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.

Métodos del subespacio de Krylov

Los métodos del subespacio de Krylov forman una base ortogonal de la secuencia de potencias de la matriz por el residuo inicial (la secuencia de Krylov). Las aproximaciones a la solución se forman minimizando el residuo en el subespacio formado. El método prototípico de esta clase es el método de gradiente conjugado. Otros métodos son elmétodo del residuo mínimo generalizado y el método del gradiente biconjugado.

RAIZ DE UNA ECUACION

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraicof(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

f(x) = 0 \,.

Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:

f(x) = (x-r)f_1(x)\,

Entonces se dice que:

  • La raíz es simple si f_1(r)\ne 0\,

  • La raíz es múltiple si f_1(r)= 0\,, en este último caso la raíz se dice de orden n, siendo \scriptstyle n>1\,, cuando se puede escribir:

f(x) = (x-r)^nf_n(x),\quad \mbox{con}\ f_n(r)\ne 0\,

Con la definición anterior, pueden existir ceros múltiples de orden no finito. Por ejemplo la función definda como:

f(x) = \begin{cases} \exp(-1/x^2) & x> 0\\ 0 & x = 0 \end{cases}

Tiene un cero múltiple en x=0, ya que:

f(x)=(x-0)f_1(x) \qquad f_1(x) = \begin{cases} \cfrac{\exp(-1/x^2)}{x^n} & x> 0\\ 0 & x = 0 \end{cases},\ n\in \mathbb{N}

Como n puede tomarse tan grande como se quiera en la expresión anterior, se sigue que esa función no tiene un cero de orden finito.


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