K es un número positivo, la gráfica de y la de son como la de desplazadas k

FUNCIONES 1.- TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE FUNCIONES Veamos cómo se representan, a partir de una función conocida, otras funciones relacionadas con ella: y=f(x)+k, y=f(x)-k, a partir de y=f(x) Si k es un número positivo, la gráfica de y la de son como la de desplazadas k unidades hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Ten en cuenta que k se le suma o se le resta a , es decir, al valor de la función. Por tanto, la ordenada aumenta o disminuye k unidades. Por ejemplo: y=-f(x), a partir de y=f(x) La gráfica correspondiente a es la simétrica de la de respecto del eje X. Ten en cuenta que la función cambia de signo. Por tanto, la ordenada cambia de signo: si está por encima del eje X pasa a estar hacia abajo, y viceversa. Por ejemplo: Ejercicio resuelto 1.1: Representar . A partir de ella representar: Ejercicio propuesto 1.1: Representar . A partir de ella representa: a) b) Ejercicio propuesto 1.2 Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa: a) b) y=kf(x), a partir de y=f(x) La gráfica de se obtiene multiplicando por k las ordenadas de la gráfica de . Si k es positivo y mayor que 1, la gráfica “se estira”. Si 0k se multiplica por , es decir, por el valor de la función. Por tanto, la ordenada de cada punto se multiplica por k. Por ejemplo: Si k es negativo, se obtiene la gráfica de y después, se halla su simétrica respecto del eje X. Ejercicio resuelto 1.2: Representa: a) b) , a partir de la gráfica . c) a partir de Ejercicio propuesto 1.3: Representar . A partir de ella representa: a) b) c) Ejercicio propuesto 1.4: Representa . A partir de ella representa: a) b) c) y=f(x-a), y=f(x+a), a partir de y=f(x) Si a es un número positivo, 1as gráficas de e son como las de desplazadas a unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente. Por ejemplo: y=f(-x), a partir de y=f(x) La gráfica de es simétrica a la de respecto del eje Y. Ejercicio resuelto 1.3: Representa . A partir de esta gráfica, representar estas otras: a) b) . Ejercicio resuelto 1.4: Representa . A partir de esta gráfica, representar estas otras: a) b) c) Ejercicio propuesto 1.5: Representa . A partir de esta gráfica, representa estas otras: a) b) Ejercicio propuesto 1.6: Representa . A partir de esta gráfica, representa estas otras: a) b) c) d) Ejercicio resuelto 1.5: Representa . Ejercicio resuelto 1.6: Representa . En resumen, veamos lo que le pasa a un punto de una función al aplicarle una transformación: FUNCIÓNUN PUNTOEjercicio propuesto 1.7: Si pasa por , di un punto de: , , , , , , Ejercicio propuesto 1.8: Representa: a) b) 2.- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones, y , se llama función compuesta de y , y se designa por , a la función que transforma en : La expresión se lee compuesta con . Se nombra en primer lugar la función de la derecha porque es la primera en actuar sobre la . En general, la función es distinta de . Ejercicio propuesto 2.1: Si y , obtén las expresiones de y . Halla y . Ejercicio propuesto 2.2: Si y , halla , , y . Halla el valor de estas funciones en y . 3.- FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA Se llama función inversa o recíproca de a otra función (se designa por ) que cumple la siguiente condición: Si , entonces Como consecuencia, se dan las relaciones siguientes: La función inversa de es, a su vez, . Por eso se dice, simplemente, que las funciones y son inversas o recíprocas. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la recta . Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de ha de corresponder a un único valor de . Si no es así, ha de descomponerse en tramos en que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa. Por ejemplo, como no es inyectiva, para hallar su inversa procedemos así: Cómo obtener f-1: Para hallar la inversa de , se intercambian la y la , , y se despeja la en la última expresión. Por ejemplo: . Se ha obtenido que Ejercicio propuesto 3.1: Representa y comprueba que son inversas. Ejercicio propuesto 3.2: Comprueba que hay que descomponer en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta . Averigua cuáles son. Ejercicio propuesto 3.3: Si y , comprueba que . ¿Son y funciones inversas? Comprueba que el punto está en la gráfica de y que el punto está en la gráfica de . Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta . 4.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES Funciones lineales y=ax+b. Son ecuaciones de primer grado en y en . Funciones cuadráticas y=ax2+bx+c. Se representan mediante parábolas. Para representar una parábola: se localiza el vértice. La del vértice se calcula . Se sustituye en la ecuación de la parábola y se calcula la del vértice, . Si a>0, el vértice es un mínimo. Si a>0, el vértice es un máximo. Se dan algunos valores a la izquierda y a la derecha del vértice (es simétrica). Si es necesario se calculan puntos de corte con los ejes… Ejemplo: ___ Funciones raiz y=√kx. Se representan mediante parábolas con el eje paralelo al eje X. Para que sea una función sólo podemos considerar uno de los dos valores de la raíz: Funciones de proporcionalidad inversa y=k/x. Su representación gráfica son hipérbolas con las asíntotas paralelas a los ejes coordenados. Ejercicio propuesto 4.1: Representa la siguiente hipérbola. La gráfica es como la de desplazada tres unidades a la derecha. Sus asíntotas son el eje X y la recta x=3. Ejercicio propuesto 4.2: Representa la siguiente hipérbola. Vamos a escribir la función utilizando la relación: Efectuamos la división: . Es como la de desplazada dos unidades a la derecha y 3 arriba. Ejercicio propuesto 4.3: Representa la siguiente hipérbola. Realizamos la división: . La gráfica es simétrica de respecto al eje X, desplazada dos unidades hacia la izquierda. Funciones definidas “a trozos”. Son funciones que están definidas de distintas formas según los valores de . Las expresiones analíticas son peculiares: Hay que representar cada uno de los tramos en el intervalo indicado: Función Parte entera y=Ent(x). Se llama

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