K es un número positivo, la gráfica de y la de son como la de desplazadas k




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fecha de publicación28.08.2016
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FUNCIONES

1.- TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE FUNCIONES

Veamos cómo se representan, a partir de una función conocida, otras funciones relacionadas con ella:


  • y=f(x)+k, y=f(x)-k, a partir de y=f(x)


Si k es un número positivo, la gráfica de y la de son como la de desplazadas k unidades hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Ten en cuenta que k se le suma o se le resta a , es decir, al valor de la función. Por tanto, la ordenada aumenta o disminuye k unidades. Por ejemplo:



  • y=-f(x), a partir de y=f(x)


La gráfica correspondiente a es la simétrica de la de respecto del eje X. Ten en cuenta que la función cambia de signo. Por tanto, la ordenada cambia de signo: si está por encima del eje X pasa a estar hacia abajo, y viceversa. Por ejemplo:


Ejercicio resuelto 1.1: Representar . A partir de ella representar:








Ejercicio propuesto 1.1: Representar . A partir de ella representa:

a) b)
Ejercicio propuesto 1.2 Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa:
a) b)


  • y=kf(x), a partir de y=f(x)


La gráfica de se obtiene multiplicando por k las ordenadas de la gráfica de . Si k es positivo y mayor que 1, la gráfica “se estira”. Si 0k se multiplica por , es decir, por el valor de la función. Por tanto, la ordenada de cada punto se multiplica por k. Por ejemplo:

Si k es negativo, se obtiene la gráfica de y después, se halla su simétrica respecto del eje X.

Ejercicio resuelto 1.2: Representa:

a)

b) , a partir de la gráfica .

c) a partir de





Ejercicio propuesto 1.3: Representar . A partir de ella representa:

a) b) c)
Ejercicio propuesto 1.4: Representa . A partir de ella representa:
a) b) c)


  • y=f(x-a), y=f(x+a), a partir de y=f(x)


Si a es un número positivo, 1as gráficas de e son como las de desplazadas a unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente. Por ejemplo:



  • y=f(-x), a partir de y=f(x)


La gráfica de es simétrica a la de respecto del eje Y.

Ejercicio resuelto 1.3: Representa . A partir de esta gráfica, representar estas otras:

a) b) .


Ejercicio resuelto 1.4: Representa . A partir de esta gráfica, representar estas otras: a) b) c)



Ejercicio propuesto 1.5: Representa . A partir de esta gráfica, representa estas otras: a) b)
Ejercicio propuesto 1.6: Representa . A partir de esta gráfica, representa estas otras:

a) b) c) d)
Ejercicio resuelto 1.5: Representa .




Ejercicio resuelto 1.6: Representa .



En resumen, veamos lo que le pasa a un punto de una función al aplicarle una transformación:
FUNCIÓNUN PUNTOEjercicio propuesto 1.7: Si pasa por , di un punto de:

, , , , , ,
Ejercicio propuesto 1.8: Representa:
a) b)

2.- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones, y , se llama función compuesta de y , y se designa por , a la función que transforma en :

La expresión se lee compuesta con . Se nombra en primer lugar la función de la derecha porque es la primera en actuar sobre la .
En general, la función es distinta de .
Ejercicio propuesto 2.1: Si y , obtén las expresiones de y . Halla y .
Ejercicio propuesto 2.2: Si y , halla , , y . Halla el valor de estas funciones en y .

3.- FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA

Se llama función inversa o recíproca de a otra función (se designa por ) que cumple la siguiente condición:

Si , entonces
Como consecuencia, se dan las relaciones siguientes:




La función inversa de es, a su vez, . Por eso se dice, simplemente, que las funciones y son inversas o recíprocas.
Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la recta .
Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de ha de corresponder a un único valor de . Si no es así, ha de descomponerse en tramos en que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa.
Por ejemplo, como no es inyectiva, para hallar su inversa procedemos así:




Cómo obtener f-1: Para hallar la inversa de , se intercambian la y la , , y se despeja la en la última expresión.

Por ejemplo: . Se ha obtenido que

Ejercicio propuesto 3.1: Representa y comprueba que son inversas.
Ejercicio propuesto 3.2: Comprueba que hay que descomponer en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta . Averigua cuáles son.
Ejercicio propuesto 3.3: Si y , comprueba que . ¿Son y funciones inversas? Comprueba que el punto está en la gráfica de y que el punto está en la gráfica de . Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta .

4.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES




  • Funciones lineales y=ax+b.


Son ecuaciones de primer grado en y en .

  • Funciones cuadráticas y=ax2+bx+c.


Se representan mediante parábolas. Para representar una parábola:

  • se localiza el vértice. La del vértice se calcula . Se sustituye en la ecuación de la parábola y se calcula la del vértice, .

  • Si a>0, el vértice es un mínimo. Si a>0, el vértice es un máximo.

  • Se dan algunos valores a la izquierda y a la derecha del vértice (es simétrica).

  • Si es necesario se calculan puntos de corte con los ejes…


Ejemplo:
___

  • Funciones raiz y=kx.

Se representan mediante parábolas con el eje paralelo al eje X. Para que sea una función sólo podemos considerar uno de los dos valores de la raíz:


  • Funciones de proporcionalidad inversa y=k/x.


Su representación gráfica son hipérbolas con las asíntotas paralelas a los ejes coordenados.
Ejercicio propuesto 4.1: Representa la siguiente hipérbola.

La gráfica es como la de desplazada tres unidades a la derecha. Sus asíntotas son el eje X y la recta x=3.
Ejercicio propuesto 4.2: Representa la siguiente hipérbola.

Vamos a escribir la función utilizando la relación:
Efectuamos la división: . Es como la de desplazada dos unidades a la derecha y 3 arriba.
Ejercicio propuesto 4.3: Representa la siguiente hipérbola.

Realizamos la división: . La gráfica es simétrica de respecto al eje X, desplazada dos unidades hacia la izquierda.


  • Funciones definidas “a trozos”.


Son funciones que están definidas de distintas formas según los valores de . Las expresiones analíticas son peculiares:



Hay que representar cada uno de los tramos en el intervalo indicado:



  • Función Parte entera y=Ent(x).


Se llama
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