Vamos a ver en esta sesión varios ejemplos de una de las actividades más fructíferas de las matemáticas como es la generalización

El número de plástico El estudio de la belleza de las formas geométricas fue abordado en la antigüedad por los griegos y relacionado con el concepto de proporción; pues bies ya entonces consideraron que el rectángulo áureo era el más armonioso en el plano. También se plantearon extender este concepto al espacio de tres dimensiones. Consideraban armoniosos los paralelepípedos rectos de dimensiones: 1x1x; 1xx; 1xx2; 1x2x3 pero ninguno de ellos cumplía las propiedades geométricas que caracterizan el rectángulo áureo. Tuvieron que pasar muchos siglos hasta que dicha generalización, el número de plástico, fuese descubierto. El número de plástico ψ es un término acuñado por el arquitecto y monje Benedictino Hans Dom van der Laan (1904 – 1991) y que lo utilizó como base para sus construcciones arquitectónicas. El número de plástico da lugar a la escala de Van der Laan que sirvió de base para la construcción de la capilla de St. Benedictusberg, abadía benedictina (figuras 6 y 7). Es la única solución real de la ecuación: ( figura 6 figura 7 Reseña histórica sobre la resolución de la ecuación de tercer grado La ecuación es un caso particular de la ecuación de tercer grado cuya resolución fue fuente de una curiosa disputa matemática. figura 8 En el año 1545 Girolamo Cardano (figura 8) publica Ars Magna, en el que presenta la solución general de la ecuación cúbica y la de la cuártica. Dicha publicación causó tal impacto en el mundo del álgebra que generalmente se considera el año 1545 como el que marca el período moderno en matemáticas. Pero, ¿fue Cardano el verdadero descubridor de los métodos de resolución de dichos tipos de ecuaciones? Durante el siglo XV el dominio del álgebra estaba creciendo en Europa gracias a la difusión de los escritos procedentes de los árabes (grandes conocedores de esta rama). Mucha gente comenzó a estudiarla y muchos llegaron a dominarla tanto como para impartir clases sobre ella. Algunos métodos árabes se mejoraron en esta época y se añadieron nuevos casos y problemas. Pero el estudio de la ecuación seguía resistiéndose. Hasta había matemáticos, como Luca Pacioli, que aunque no decían que el problema no tenía solución sí lo comparaban con problemas tipo la cuadratura del círculo. A mediados del siglo XVI, Niccolo Fontana, llamado Tartaglia (figura 9) por su condición de tartamudo, se trasladó a Venecia. Tartaglia llegó a ser famoso en la zona por sus trabajos realizados para los ingenieros del Arsenal veneciano. figura 9 Estando en la ciudad de los canales llegó a sus oídos que un tal Antonio María del Fiore presumía de conocer la fórmula maravillosa para resolver la ecuación cúbica. Dicha fórmula, según del Fiore, le había sido entregado por parte de un gran matemático 30 años antes. El hecho de que existiera alguna posibilidad de resolver la cúbica llevó a Tartaglia a trabajar en el desarrollo de un método de resolución, consiguiéndolo algo después. A raíz de la noticia de este descubrimiento se organizó un desafío público entre del Fiore y Tartaglia. Aunque el primero de ellos era un matemático más bien mediocre, aceptó el desafío (puede que confiado por la fórmula maravillosa que poseía). Cada uno de ellos propuso 30 cuestiones al otro contendiente que tenían que ser resueltas en un tiempo concreto. Los de Tartaglia trataban sobre temas aritméticos, geométricos y algebraicos. Los de del Fiore tenían todos la misma temática: ecuaciones cúbicas sin término de grado dos. Cuando llegó el día fijado para la presentación de las soluciones, Tartaglia había resuelto todos los problemas propuestos por del Fiore, pero éste no había podido dar respuesta a ninguna de las cuestiones propuestas por Tartaglia. Ni siquiera uno en el que se debía resolver una ecuación cúbica, para la que Tartaglia conocía un método particular. La noticia del desafío y de la aplastante victoria de Tartaglia llegó a oídos de Cardano, que prometió buscarle alguien que lo patrocinara en el futuro (Tartaglia no tenía en aquella época ningún apoyo) a cambio de que le revelara el método de resolución de la cúbica, además de nombrarle en Ars Magna como descubridor de la misma. A pesar de estas promesas Tartaglia no accedió a compartir su tesoro con Cardano. Pero la resistencia de Tartaglia no duró mucho. En 1539 Cardano invita a Tartaglia a pasar unos días con él en Milán y nuestro amigo Niccolo Fontana acaba cayendo: revela a Cardano los métodos de resolución de las tres formas en las que puede presentarse una ecuación cúbica sin término de segundo grado a condición de que éste no los publique. Cardano comienza en ese mismo instante a estudiar la fórmula de Tartaglia junto con su ayudante Ludovico Ferrari. Poco después consigue resolver la cúbica en su forma general, es decir, de la forma . Pero había un pequeño problema: en ciertas ecuaciones que parecían normales aparecían soluciones en las que se podía encontrar una raíz cuadrada con radicando negativo (estas ecuaciones son las que más adelante se llamarían irreducibles). Teniendo en cuenta que, como hemos comentado antes, en esta época ni siquiera los números negativos estaban demasiado aceptados, la aparición de este tipo de soluciones se veía como algo bastante extraño. Quizás por eso Cardano y Ferrari viajaron a Bolonia en 1542. En este punto de la historia es donde entra el gran héroe de este artículo: Scipione del Ferro. Él fue realmente quien encontró la fórmula de la resolución de la cúbica . De hecho del Ferro fue el gran matemático que reveló a del Fiore (que era alumno suyo) la fórmula. También compartió su descubrimiento con Annibale della Nave, su propio yerno. La publicación de la resolución de la cúbica habría proporcionado a del Ferro fama y prestigio. ¿Por qué Scipione del Ferro no dio a conocer su descubrimiento? En aquella época los desafíos entre matemáticos eran muy habituales. A veces el prestigio era lo único en juego, pero en ocasiones llegaban a jugarse hasta la cátedra. Ser la única persona que conocía tal fórmula significaba tener un arma muy potente a la hora de afrontar dichas contiendas. Cuando del Ferro estaba a punto de morir compartió su descubrimiento con della Nave (posiblemente por que era su yerno y eso le proporcionaba un futuro a él y a su hija) y a del Fiore. No se sabe muy bien por qué reveló su secreto a este último. El viaje de Cardano y Ferrari tenía como propósito pedir permiso a della Nave para consultar las notas de del Ferro en busca de información sobre las ecuaciones irreducibles. En el transcurso de esta búsqueda encontraron el método de resolución de la cúbica reducida que del Ferro había descubierto. Dicho método era el mismo que el que Tartaglia le había confiado a Cardano, por lo que éste se vio con total libertad para publicarlo. Ars Magna (figura 10) fue una revolución en su momento. Contenía una gran cantidad de avances, entre ellos el método de resolución de la cúbica y un método de resolución de la ecuación cuártica (mediante una transformación que la reducía a una cúbica) que descubrió Ferrari. Aunque Cardano nombró hasta tres veces a Tartaglia en su obra, éste se sintió traicionado por la publicación de su método de resolución Figura 10 La respuesta de Niccolo fue publicar un libro un año después que contenía su fórmula, además de ataques a Cardano, pero éste no respondió. El que sí dio respuesta a dichos ataques fue Ferrari mediante un cartel (que envió a todos los matemáticos conocidos de la época) en el que acusaba a Tartaglia de plagio y donde además le retaba a un desafío público. La respuesta de Niccolo no se hizo esperar: en otro cartel pedía que el reto lo afrontara Cardano, no su discípulo. A partir de aquí el envió de carteles continuó hasta que el 21 de abril de 1547 Tartaglia envía un cartel con 31 problemas para que su contrincante los resuelva. Ferrari le contesta el 24 de mayo del mismo año con otros 31 problemas. Al final Tartaglia acepta el duelo, celebrándose éste el 10 de agosto de 1548 en Milán. Este reto fue un auténtico acto social. A él acudieron gran cantidad de personalidades de la ciudad, aunque se notó la ausencia de Cardano. En un momento del mismo comenzó una discusión por un problema propuesto por Ferrari que Tartaglia no había resuelto. Esto conllevó a un aplazamiento del desafío hasta el día siguiente. Pero Tartaglia no se presentó, por lo que se dio por ganador a Ferrari. Más tarde Tartaglia escribió que el acoso de la multitud, favorable a Ferrari, influyó en el resultado. Resolución de la ecuación x3 + px + q = 0 Vamos a resolver a continuación la ecuación (1), supongamos que α sea una solución, hacemos la sustitución obtenemos: Si tomamos u, v de manera que 3uv + p = 0, esto es, u, v serían soluciones de la ecuación cuadrática , obtenemos . Puesto que tenemos que u3, v3 son las soluciones de la ecuación cuadrática (2).Así pues para encontrar una solución de la ecuación (1) tomamos una solución β de (2), calculando u una raíz cúbica de β y ponemos . Entonces v3 es la otra raíz de (2) y es solución de (1). Con fórmulas: ya que las soluciones de (2) son Estas fórmulas de Cardano aplicadas a nuestra ecuación nos dan como solución el número de plástico El número de plástico ψ cumple la propiedad geométrica en el espacio relativa a la diagonal al superponer dos cajas plásticas análoga a la del número de oro con dos rectángulos áureos (figura 11), como no es difícil de demostrar, eligiendo un sistema de coordenadas espaciales con origen el vértice inferior izquierdo de la diagonal. figura 11 Generalizando: Todas las cajas con medidas del tipo , y c arbitrario (notar que ) siendo el número de plástico cumplen esa propiedad. Vamos a intentar visualizar ahora con una aproximadamente espiral logarítmica el número de plástico (ver figuras 12.1 y 12.2). Se parte de tres triángulos equiláteros de lado 1 y se van añadiendo sucesivos triángulos en el sentido de las agujas del reloj primero 2 triángulos de lado 2, y los siguientes triángulos de lados 3, 4 , 5, 7, 9, 12, 16, 21, etc. figura 12.1 figura 12.2 La sucesión de los lados de los triángulos: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 16, 21,… es conocida como sucesión de Padovan en honor al arquitecto inglés Richard Padovan (1935 – ). Verifica;. (O también, porque triángulos adyacentes sobre el mismo lado han de quedar adosados). . Pues bien el número de plástico es el límite de las razones de términos consecutivos de esa sucesión. La sucesión de Padovan crece más lentamente que la de Fibonacci, porque . Edouard Lucas también estudio estas sucesiones y encontró partiendo de valores iniciales diferentes una sucesión conocida como sucesión de Perrín que cumple la propiedad de que siempre que n sea primo entonces es divisible entre n. La proposición recíproca (si n divide a entonces es primo) no se ha podido demostrar que sea cierta. (La conjetura tendría grandes aplicaciones en criptografía para generar claves secretas) Otro camino para “visualizar” los números de Padovan es utilizar la misma técnica de disposición en espiral de los cuadrados de la sucesión de Fibonacci, pero ahora con “cajas” que son paralelepípedos rectos de caras rectangulares. Se genera un tipo de espiral tridimensional con estas cajas. Se empieza con un cubo de arista 1 y se coloca otro adyacente resultando una caja 1x1x2, en la cara 1x2 se añade otra caja 1x1x2 para formar una caja 1x2x2. En la cara 2x2 se añade un cubo de arista 2 para formar una caja 2x2x3. A la cara 2x3 se le añade una caja 2x2x3 para generar una caja 2x3x4 y así sucesivamente añadiendo cajas en las posiciones: a la derecha, por delante, por abajo, a la derecha, por delante,… En cada etapa la nueva caja formada tendrá de medidas tres números consecutivos de la serie de Padovan. Curiosamente si en las caras cuadradas de las cajas que se van añadiendo se conectan sus diagonales por líneas rectas el resultado es una espiral que está en un plano. Otra analogía con el número de oro que según vimos en los ejercicios cumplía ; , también el número de plástico verifica un par de ecuaciones parecidas:; EJERCICIO 9: Demostrar que EJERCICIO 10: Demostrar que

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