Vamos a ver en esta sesión varios ejemplos de una de las actividades más fructíferas de las matemáticas como es la generalización

Números mórficos Estas ecuaciones nos podrían llevar a pensar en sistemas de ecuaciones del tipo , para valores naturales de r y s y definir a sus soluciones como unos números especialmente armoniosos (números mórficos). Se demostró en el año 2001 que sólo los números áureo y de plástico son mórficos. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 1. Basta comprobar que , o lo que es lo mismopor las identidades notables se verifica que el primer miembro es 2. Trazando un sistema de ejes cartesianos con origen en A (0 , 0) las coordenadas de B y C son respectivamente B; C. La función lineal que pasa por A y C es que también pasa por B (basta con sustituir sus coordenadas). 3. Observando la figura se ve que los triángulos ABE y PCD son semejantes . figura 9 Por lo tanto tenemos: 4. a) ; b) ; c) ; d) ; e) Vista en c); Para las demás basta ir multiplicando por la primera e ir sustituyendo por 5. Al ser el triángulo rectángulo, aplicando el teorema de Pitágoras, podemos poner que: de donde Por tanto las tangentes pedidas son iguales a: ; 6. La figura formada por el agua es un tronco de pirámide pentagonal cuya base menor es el pentágono dado y cuya base mayor es otro pentágono regular que tiene por lado la diagonal del anterior paralela a la arista de la base como se muestra en la figura inferior derecha. Más abajo, se ha dibujado en forma invertida para una mejor comprensión del dibujo. (Figura central). Establezcamos primero algunas relaciones conocidas para un pentágono regular de lado 1. (Figura de la izquierda). Llamemos d a la diagonal. Por semejanza de los triángulos ABE y PCD tenemos: en nuestro caso es la relación de semejanza entre las bases del tronco de pirámide. Además : y para el radio r: . Llamando V al volumen de la pirámide grande, v al de la pequeña, sabemos que V = v ; y para el volumen del tronco de cono Vt queda: ; siendo a el área del pentágono de lado 1. Sólo nos queda calcular a, h, sustituir y operar: El área a la calculamos sumado 5 triángulos isósceles de lados iguales r, dos radios trazados a vértices consecutivos forman un ángulo de 72º (hemos usado 2rsen36º = 1 de (2)). Para calcular h, por la semejanza de los triángulos de la figura central, tenemos: Como verifica la ecuación (1): ; tenemos para la expresión de h: Sustituyendo las expresiones de a y h y poniendo ; queda: y sustituyendo el valor de de (1), queda finalmente: 7. 8. 9. Se puede demostrar previamente que , por lo que como es solución de , el primer polinomio se anula para y sacando factor común a y despejando se obtiene el resultado. 10. Basta dividir por la igualdad

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