Doble periodicidad, espacial y temporal de las ondas




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I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química



MOVIMIENTOS ONDULATORIOS - RESUMEN Y COMPLEMENTOS

Ecuación de las ondas armónicas

La perturbación que se propaga en forma de onda armónica está producida por un oscilador armónico y su ecuación es una función sinusoidal (seno o coseno) de x (dirección de propagación) y del tiempo t de la forma:

si la onda se mueve hacia la derecha, o bien:

si la onda se mueve hacia la izquierda.
En esta ecuación A es la amplitud de la onda, k es el número de onda relacionado con la longitud de onda λ de la forma , ω es la frecuencia angular relacionada con el período de la forma .

La velocidad de propagación de la onda v se puede expresar de la forma .

Doble periodicidad, espacial y temporal de las ondas

La expresión matemática obtenida para la función de onda “y” revela una importante propiedad: el movimiento ondulatorio armónico sigue una ley doblemente periódica. Es decir, se trata de una función de dos variables, el valor “y” de la perturbación depende tanto del tiempo t como de la posición x del medio que consideremos.
Periodicidad temporal
Para cualquier partícula del medio afectada por el movimiento ondulatorio, el estado de vibración se repite cada vez que transcurre un tiempo igual al período T.
Así, los estados de vibración de una partícula para tiempos que difieren un número entero de períodos están en fase.
Periodicidad espacial
Además, en este período de tiempo T el movimiento ondulatorio ha recorrido un espacio igual a la longitud de onda y alcanza un punto que se encuentra en fase (mismo estado de vibración) con el foco.
Por lo tanto, cada período de espacio λ en la dirección de propagación, se repite el estado de vibración de las partículas (periodicidad espacial), de ahí que, para partículas diferentes, la perturbación del foco se repite en un instante determinado en todos los puntos cuyas distancias a él son múltiplos enteros de la longitud de onda.
Estas dos periodicidades T (temporal) y λ (espacial) están relacionadas entre si mediante la velocidad de propagación del movimiento ondulatorio, ya que:



Como consecuencia de esta doble periodicidad temporal y espacial, el perfil de la onda se repite cada vez que transcurre un tiempo igual al período del movimiento vibratorio del foco.

Reflexión de Ondas

La reflexión de ondas es el fenómeno que ocurre cuando una onda, que se propaga en un medio, se encuentra con la superficie de separación con otro medio diferente. En este caso la onda cambia de dirección y sigue propagándose por el mismo medio.
Tanto la onda incidente como la reflejada, al propagarse por el mismo medio lo hacen con la misma velocidad.
En la figura se representa la reflexión de una onda plana.




El frente de onda plana AB incide sobre la superficie de separación de los dos medios formando un ángulo de incidencia “i” con la normal N a la superficie de separación.
El frente de onda reflejado CD forma un ángulo de reflexión “r” con la normal N.
Cuando el punto B del frente de onda incidente llega a C, el punto A se encuentra en el punto D del frente de onda reflejado. Como el tiempo que transcurre y la velocidad de propagación son los mismos tendremos que:







Por lo tanto se cumplirá que:





y, por lo tanto:





Es decir, cuando una onda se refleja, el ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales.

Refracción de Ondas

Cuando una onda incide sobre la superficie de separación de dos medios distintos, además de la onda reflejada, se produce otra onda que se propaga por el otro medio y recibe el nombre de onda refractada.
La onda refractada, al propagarse en el otro medio con distinta velocidad a la incidente, cambia de dirección según se indica en la figura adjunta.
Durante el tiempo que emplea B en llegar a C, se ha generado en el segundo medio un nuevo frente de ondas A’C, que se propaga a distinta velocidad que le frente incidente AB.




Se cumplirá que:






Al dividir m.a.m. estas dos expresiones tendremos que:


expresión que representa la ley de Snell para la refracción.
Si v2 < v1 , entonces i > r y la dirección de la onda refractada se acerca a la normal como es el caso de la figura anterior.
Si v2 > v1 , entonces i < r y la dirección de la onda refractada se aleja de la normal tal y como se indica en la figura siguiente.



Características diferenciales de ondas y partículas

Existen varias características que diferencian claramente a una onda y una partícula.
Partículas
Una partícula es un pequeño objeto que goza de las siguientes características:
a) Está localizada en el tiempo y en el espacio. Se desplaza en el espacio describiendo una trayectoria definida y podemos decir que la partícula “explora” el espacio sólo a lo largo de la trayectoria que describe e ignora lo que ocurre fuera de esa trayectoria.
b) Tiene masa.
c) Posee una cierta energía cinética y cantidad de movimiento que están relacionadas con su masa y su velocidad.
d) La masa, la energía y la cantidad de movimiento de una partícula son “inseparables” entre sí.
e) La partícula, en sus interacciones con otras partículas, produce efectos permanentes, localizados y observables, que depende de la totalidad de estas magnitudes. Así, cuando dos partículas chocan entre sí, cambian de manera brusca sus velocidades y direcciones de movimiento como consecuencia de la interacción, dependiendo el cambio producido de la energía y cantidad de movimiento que ambas posean. Sin embargo, a pesar de la interacción que entre ellas se producen cada una mantienen permanentemente su identidad, tanto durante el choque como después de él.
Ondas
Por el contrario, una onda:
a) Consiste en una perturbación que se propaga a una zona amplia del espacio. Por lo tanto, las ondas no están localizadas en un punto. Esta deslocalización espacial de las ondas es una de sus principales características.
b) Las ondas, en sí, no tienen masa, aunque en el caso de las ondas mecánicas necesitan la materia de un medio elástico para propagarse a través de él.
c) Las ondas llevan asociadas cierta energía y cantidad de movimiento que se propagan, sin transporte de materia, a una zona amplia del espacio.
d) De acuerdo con esto, la energía y la cantidad de movimiento de una onda son independientes de la masa que utilizan para propagarse a través del espacio.
e) En la interacción con las partículas sólo interviene la energía y cantidad de movimiento de la parte de la onda que interacciona. Además, se comprueba experimentalmente que, cuando dos ondas se cruzan o encuentran, se superponen e interfieren, perdiendo cada una de ellas su identidad.
Sin embargo, cada onda conserva después de cruzarse la misma forma e igual energía y cantidad de movimiento que antes del cruce o encuentro. Podemos pues decir, que no hay interacciones en las ondas que se cruzan, aunque se superponen e interfieren entre sí. Esta propiedad de las ondas es totalmente ajena a las partículas.

Interferencia entre ondas armónicas

Si dos ondas armónicas de la misma amplitud, número de onda y frecuencia angular, pero de diferente fase, se encuentran viajando en un mismo medio interferirán entre ellas. Si las ecuaciones de las ondas son:

Cuando estas ondas interfieren en un punto x del medio y en un instante t, la perturbación y en ese punto será la suma algebraica de ambas perturbaciones. Se puede demostrar que la perturbación resultante en cualquier punto viene dada por:

Observando esta ecuación se puede ver que la onda resultante de la interferencia es también armónica y tiene la misma longitud de onda y frecuencia que las ondas originales.
La amplitud de la onda resultante viene dada por:

Y de pende de la diferencia de fase δ entre las ondas individuales. En función de esta diferencia de fase pueden ocurrir los siguientes casos:
a) Las ondas están en consonancia de fase δ=0.
El desfase entre las onda que interfieren es nulo y la amplitud de la onda resultante será:

Es decir, la amplitud se duplica y se dice que las ondas interfieren constructivamente.

El mismo resultado se obtendría si el desfase fuese 2π, 4π, etc.
b) Las ondas están en oposición de fase δ=π.
En este caso la amplitud resultante será:

La amplitud resultante es nula y las ondas interfieren destructivamente, anulando sus efectos.
En los casos en el que el desfase entre las ondas se encuentre entre 0 y π radianes, la onda resultante tendrá una amplitud comprendida entre 2A y cero.

Ondas estacionarias

Este tipo de ondas se forman por superposición de dos ondas iguales que viajan en sentidos contrarios

Si las ecuaciones de las ondas originales son:

La ecuación de la onda estacionaria que se produce por interferencia de estas dos es de la forma:

Donde se puede observar que la amplitud de la onda resultante, 2Asen(kx), es función de la posición x de modo que hay determinados puntos que oscilan con amplitud máxima, llamados vientres, y otros que no oscilan (amplitud cero), llamados nodos.
Los nodos se encuentran en las posiciones de x que cumplen con la condición:

Los vientres con amplitud máxima se encuentran en las posiciones de x que cumplen con la condición:


En el caso de una cuerda fija por ambos extremos, de longitud L, las posibles frecuencias que dan lugar a ondas estacionarias vienen dadas por:

donde v es la velocidad de propagación de la onda. Dando valores a n se obtienen las frecuencias de los distintos armónicos.
Para n=1 se obtiene la frecuencia del primer armónico o frecuencia fundamental que será: .
NOTA: La ecuación de las ondas estacionarias puede tomar diferentes formas en función de cómo se escriban las ecuaciones de las ondas originales cuya superposición origina la onda estacionaria. Así, las ondas estacionarias pueden venir también dadas por las siguientes expresiones, por ejemplo:


Semejanzas y diferencias entre ondas estacionarias y ondas viajeras

Semejanzas
Como cualquier onda viajera:
a) La onda estacionaria lleva asociada una λ y una ω propias, que coinciden con la λ y ω de las ondas que interfieren.
b) Los diferentes puntos del medio que soportan una onda estacionaria se encuentran sometidos a movimientos vibratorios armónicos simples de igual frecuencia.

Diferencias
a) Las amplitudes de los movimientos vibratorios a que se encuentran sometidos los distintos puntos del medio no son iguales. En efecto, la amplitud de estos movimientos vibratorios, al ser función de “x”, varía de unos puntos a otros.
Puesto que A = 2 cos(kx) , para un punto dado del medio (x=cte) la amplitud es constante e independiente de “t”. Es decir, la amplitud correspondiente a cada punto de una onda estacionaria depende exclusivamente de su localización y varía entre 0 y 2A.
Según esto, para ciertos puntos del medio la amplitud es cero, y, por lo tanto, esos puntos están permanentemente en reposo sin entrar en vibración. Por el contrario, otros puntos tienen amplitud máxima (2A). Los puntos de amplitud máxima reciben el nombre de vientres, mientras que los de amplitud nula se llaman nodos.
b) Además, puesto que la elongación de cualquier punto viene dada por la expresión Asen(ωt), todos los puntos de la onda estacionaria vibran en fase o en oposición de fase, según que las elongaciones sean del mismo signo o de signo contrario, por lo que su perfil sube y baja pero no se desplaza en el espacio. Por esta razón a este tipo de perturbación se le denomina onda estacionaria.
c) Las ondas estacionarias no son ondas. A diferencia de las ondas viajeras, que son las verdaderas ondas porque se propagan por el medio y al cabo de cierto tiempo van alcanzando a los distintos puntos del mismo, las ondas estacionarias no se propagan, sino que están localizadas, mediante fronteras, en una región específica del medio. Por ejemplo, al pulsar las cuerdas de una guitarra, se producen ondas estacionarias que están localizadas entre los extremos fijos de la cuerda.
En el caso de una onda estacionaria no existe propagación ni transporte de energía a través del medio. Aunque la onda estacionaria fuera una verdadera onda, no transportaría energía, ya que lo impedirían los puntos nodales. En efecto, si existen una serie de puntos permanentemente en reposo no se puede transmitir energía a través de ellos. En este caso, no se transporta energía, sino que la energía permanece estacionaria en el medio, produciéndose un intercambio entre energía cinética vibracional y energía potencial elástica, como ocurre en el movimiento armónico simple.
En el instante en que todas las partículas pasan por la posición de equilibrio la energía de las partículas es cinética, mientras que cuando todas las partículas ocupan la posición de elongación máxima la energía es potencial.




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