2.4.3
ECUACION DE ONDA
La ecuación de Schrodinger describe la evolución (determinista) de un campo llamado función de ondas. Esta ecuación en una dimensión es de la forma:
i
|
_
h
|
|
(x,t)
t
|
=
|
|
-
|
2m
|
|
2
x2
|
+V(x)
|
|
(x,t) = H
|
|
(1)
|
Donde h es la constante de Planck, (x,t) es el campo que representa a una partícula en el instante t, m es la masa de dicha partícula, V(x) es el potencial al que se ve sometida y H es el operador Hamiltoniano (que es Hermítico). La función de ondas es la magnitud que contiene toda la información accesible a un observador externo al sistema (notar que es una variable compleja). Para evitar el uso continuado de m y h, reescalamos el tiempo t th y el espacio x xh/[2m] lo que nos da una ecuación de Schrodinger equivalente a (1) pero con h = 1 y m = 1/2. Esta ecuación reescalada será la que utilicemos a partir de ahora.
El carácter físico de la función de ondas fue dado por Max Born al interpretar que
es proporcional a la probabilidad de encontrar la partícula en el punto x en el instante t. Para que sea una probabilidad, debemos de garantizar que
Esto es, las funciones de onda han de ser de cuadrado integrable luego han de pertenecer a un espacio de Hilbert. Notar que la integral de probabilidad es una constante durante la evolución.
Finalmente decir que la solución formal de la ecuación de Schrodinger es
Donde el operador eitH es unitario al ser H hermético. Esta última propiedad nos será útil a la hora de hallar la discretización más adecuada.
RESUMEN ACERCA DE ECUACIÓN DE ONDA DE SCHRÔDINGER
En 1926 usando técnicas matemáticas complicadas, formula una ecuación que describe el comportamiento y la energía de partículas submicroscópicas en general.
Esta ecuación incorpora tanto el comportamiento de partícula, en función de la masa m, como de onda, en términos de una función de onda ψ, que depende de la posición del sistema en el espacio (por ejemplo un electrón en un átomo).
SIGNIFICADO FISICO DE LA FUNCIÓN DE ONDA
Indica la probabilidad de encontrar al electrón en cierta región del espacio cuando se eleva al cuadrado ψ2.
Esto significa que ψ2 define la distribución de la densidad electrónica al rededor del núcleo en el espacio tridimensional; una alta densidad representa una probabilidad alta de localizar al electrón y viceversa.
El orbital atómico o REEMPE, se puede considerar como la función de onda del electrón de un átomo.
APLICACIONES:
1.- Especifica los posibles estados energéticos que el electrón del átomo de hidrógeno puede ocupar e identifica las correspondientes funciones de onda ψ, por medio de un conjunto de números cuánticos, con los cuales se puede construir un modelo comprensible del átomo de hidrógeno.
2.- No funciona para átomos que tengan más de un electrón, pero el problema se resuelve usando métodos de aproximación para átomos polielectrónicos.
Premio Nóbel 1933, autor de la teoría de la Mecánica Ondulatoria o Mecánica Cuántica, con las aportaciones de Heisenberg; sentaron las bases de la Teoría Cuántica Moderna.
Mecánica Cuántica y Orbitales Atómicos
En1926 Erwin Schrödinger formula la ecuación de onda de Schrödinger, que describe el comportamiento y la energía de las partículas submicroscópicas. Es una función análoga a las leyes de Newton para los sólidos macroscópicos que incorpora tanto el carácter de partícula (en función de la masa) como el carácter de onda en términos de una función de onda Y ( psi)..
P odemos pensar en las ecuaciones de onda de Schrödinger como en ondas estacionarias de diferente energía.
El ejemplo del movimiento de una cuerda de guitarra nos ayudará a comprender el concepto de onda estacionaria. La cuerda de guitarra vibra pero no se desplaza, por eso es estacionaria.
Un nodo es un punto que no se mueve. La longitud de la cuerda tiene que ser un múltiplo del valor de media longitud de onda, ya que en los dos extremos de la cuerda que están fijos debe haber un nodo.
Para resolver la ecuación de onda Schrödinger requiere el uso de herramientas de cálculo complejas, que no vamos a analizar. Aunque la ecuación no tiene en sí significado físico el valor de la función de onda al cuadrado (ψ2) representa la distribución de probabilidad de encontrar al electrón en cierta región del espacio, también denominado densidad electrónica.
La ecuación de Schrodinger inició una nueva era para la física y la química, y abrió un nuevo campo: él de la mecánica cuántica (también conocido como mecánica ondulatoria).
Descripción mecánico cuántica del átomo de hidrógeno: Orbitales y números cuánticos
Mientras que en el modelo de Bohr se hablaba de órbitas definidas en el modelo de Schrödinger sólo podemos hablar de las distribuciones probables para un electrón con cierto nivel de energía. Así para un electrón en el estado fundamental la probabilidad de la distribución se refleja en la siguiente figura, dónde la intensidad del color rojo indica una mayor probabilidad de encontrar al electrón en esa región, o lo que es lo mismo una mayor densidad electrónica.
De la resolución de la ecuación de onda de Schrödinger se obtiene una serie de funciones de onda (ó probabilidades de distribución de los electrones) para los diferentes niveles energéticos que se denominan orbitales atómicos.
La figura anterior representa el orbital de mínima energía del átomo de hidrógeno con -2.18 x 1018 J (la misma que tenía la órbita más cercana al núcleo del modelo de Bohr). Mientras que el modelo de Bohr utilizaba un número cuántico(n) para definir una órbita el modelo de Schrödinger utiliza tres números cuánticos para describir un orbital: n, l y ml. A continuación vemos las características de estos números:
Número cuántico principal “n”
Toma valores enteros: 1,2,3...
A mayor n, más lejos se encuentra del núcleo la región de mayor densidad electrónica.
A mayor n, el electrón tiene mayor energía y se encuentra menos “atado” al núcleo.
Número cuántico del momento angular ó azimutal “  ” :
Depende de “n” y toma valores enteros de 0 a (n-1) . Así para n=1 sólo hay un valor posible 0. Para n=2 hay dos valores de l: 0 y 1. Para n=3 hay tres valores posibles: 0, 1 y 2.
Generalmente el valor de se representa por una letra en vez de por su valor numérico:
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Nombre del orbital
|
s
|
p
|
d
|
f
|
g
|
h
|
Definen la forma del orbital (tipo de subnivel)
El número cuántico magnético “ml”
El valor del número cuántico magnético depende de . Toma valores enteros entre - y , incluyendo al 0. Para cierto valor hay (2 +1) valores de ml
Describe la orientación del orbital en el espacio. (tipo de orbital)
Veamos los diferentes orbitales que podemos tener para n=3. Tendremos entonces tres valores de : 0,1 y 2. Los valores de ml para cada valor de l se compilan en la tabla siguiente: (los orbitales que comparten los valores de n y se dicen que pertenecen al mismo subnivel y todos los orbitales con la misma n formarían un nivel)
(define la forma)
|
Subnivel
|
ml
(define orientación)
|
Nº de orbitales en el subnivel
|
0
|
3s
|
0
|
1
|
1
|
3p
|
-1,0,1
|
3
|
2
|
3d
|
-2,-1,0,1,2
|
5
|
Para el hidrógeno todos los orbitales del mismo nivel tienen la misma energía, como podemos ver en el gráfico adjunto:
En condiciones normales todos los átomos de hidrógeno están en su estado fundamental (El electrón en el orbital 1s)
El electrón puede pasar a un estado excitado mediante la absorción de un fotón con el nº apropiado de cuantos de energía.
Representaciones de los Orbitales
Orbitales s
El orbital 1s tiene simetría esférica:
Representado ψ2 frente a la distancia al núcleo (r) vemos que la probabilidad de encontrar al electrón disminuye conforme aumenta r. Esto indica que en el estado fundamental la atracción electrostática del núcleo es lo suficientemente fuerte para mantener al electrón en un radio próximo al núcleo.
Los orbitales s de niveles superiores son también esféricamente simétricos, pero presentan nodos en la función de probabilidad: 
En un n nodo la densidad electrónica se aproxima a 0. El orbital 2s tiene un nodo, el orbital 3s dos nodos..etc
Los orbitales s para n>1 (estados excitados) tienen una densidad electrónica en la cual es más probable encontrar al electrón lejos del núcleo.
El tamaño del orbital s aumenta al aumentar el número cuántico principal (n).
Generalmente se representan los límites de los orbitales atómicos de Schrödinger de manera que el orbital englobe al 90% de la distribución de densidad electrónica. En el caso de los orbitales s la representación es una esfera, de mayor radio cuánto mayor sea n.
Orbitales p
La forma de los orbitales p es de dos lóbulos situados en lados opuestos al núcleo y con un nodo en él.
Hay tres tipos de orbitales p (  ; ml= -1,0,1) que difieren en su orientación. No hay una correlación simple entre los tres números cuánticos magnéticos y las tres orientaciones: las direcciones x, y y z. Los orbitales p del nivel n se denominan npx, npy, npz
Los orbitales p al igual que los s aumentan de tamaño al aumentar el número cuántico principal.
Orbitales d
En el tercer subnivel tenemos 5 orbitales atómicos (para n>3 l =2; ml=-2,-1,0,1,2) con diferentes orientaciones s en el espacio tal y como vemos en la figura :
Aunque el orbital 3dz2 difiere en su forma de los otros cuatro, los cinco orbitales d tienen todos la misma energía.
Otros orbitales de mayor energía
Para n>4 tendremos 7 orbitales f ( =3 y ml=-3,-2,-1, 0, 1, 2,3). Los orbitales f son importantes para comprender el comportamiento de los elementos con número atómico mayor a 57.
Para valores de >4 tenemos los orbitales g y subsiguientes (a partir de f sigue el orden alfabético de las consonantes). En química general nos bastará con los orbitales s, p y d para comprender las propiedades de los elementos. |
