Tesis de maestria en calidad




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2.3.3 Cartas de control por variables


Una característica que se mide en una escala numérica se denomina una variable. Por ejemplo temperaturas, dimensiones, volumen, tiempo, etc. Las cartas de control por variables son: de medias y rangos, de medias y desviación estándar y de valores individuales.

2.3.3.1 Gráficas de control de medias y rangos


Si una variable del proceso está distribuida normalmente con media y desviación estándar ambas conocidas. Si x1, x2, .... xn forman una muestra de tamaño n entonces se puede calcular la media de la muestra .

De Donde (2.3)

Los límites de control se estiman a partir de 20 o 25 muestras preliminares o subgrupos, el tamaño de subgrupo es de 4, 5 o 6 normalmente. Si se tienen m subgrupos, la gran media se calcula como sigue:
(2.4)
El promedio de medias representa la línea central de la carta de medias.

Para estimar la sigma del proceso, se pueden utilizar los rangos de los subgrupos y para cada uno de los subgrupos el rango es calculado como:
R = xmax – xmin (2.5)
Si R1, R2, ....., Rm , son los rangos de los diferentes subgrupos, el rango promedio es:
(2.6)
Desarrollo de la formula para los límites de control
La variable W de rango relativo relaciona al rango con la desviación estándar como sigue:
W = R /  (2.7)
Los parámetros de la distribución de W son función de n. La media de W es d2. Por tanto un estimador de  es R / d2 , donde d2 está tabulado para diferentes valores de n, de esta forma si es el rango promedio de las primeras muestras, usando:
(2.8)
Los límites de control de la carta de medias son:

Límite superior de control (LSC)

Límite inferior de control (LIC) (2.9)

Línea central (LC)
Si se define a se tienen las ecuaciones siguientes:
LSC = + A2 (2.10)
LIC = - A2
El valor de A2 se encuentra tabulado en una tabla de constantes.
Para el caso de los rangos, la línea central es . El estimador para R puede hallarse de la distribución del rango relativo W = R / , si la desviación estándar de W es d3 en función de n, se tiene:

R = W  (2.11)

La desviación estándar de R es:

R = d3

Como  es desconocida, se puede estimar de  = / d2, resultando:

(2.12)

De esta forma los límites de control para el rango son:

LSC = + 3= + 3 = [ 1+ 3] = D4 (2.13)

LIC = - 3= - 3=[ 1- 3] = D3
Ventajas:

  • Se utilizan para monitorear procesos con datos medibles (variables). Una para las medias y otra para los rangos.

  • A parte de analizar la Carta X- (media) que analiza los promedios de las muestras del proceso monitoreando tendencias en la media del proceso, tambien se analiza la gráfica R la cual analiza los rangos de las muestras del proceso monitoreando la variabilidad del proceso.

  • Para pequeños tamaños de subgrupos desde 3 a 6 piezas.


Desventajas:

  • No se puede utilizar esta carta cuando el tamaño del subgrupo es mayor de 8, donde el rango pierde eficiencia por no tomar en cuenta valores intermedios.

  • El tamaño de muestra de cada subgrupo debe ser constante.


2.3.3.2 Gráficas de control de medias y desviación estándar ( y s)

Estas gráficas de control se recomiendan cuando:


  1. El tamaño de muestra es moderadamente grande n>10 o 12 (donde el rango pierde eficiencia por no tomar en cuenta valores intermedios).

  2. El tamaño de muestra es variable.


Su construcción es similar a la de la carta de medias-rangos, excepto que en lugar del rango R en cada subgrupo se calcula la desviación estándar S.
Cálculo para cuando n es constante.

Con esta información se pueden establecer los límites de control para la carta y S, cuando se conoce el valor de  dado que existe un historial.
Para la carta S se tiene: Para la carta se tiene:

LSCs = c4 + 3 = B6  LSCX =  + A (2.14)

LCs = c4 LC = 

LICs = c4 - 3 = B5  LICX =  - A
Los valores de las constantes se encuentran tabuladas para diferentes valores de n en los anexos.
En el caso de que no se conozca la desviación estándar de la población, se puede estimar utilizando diversos subgrupos m con datos históricos, donde se obtenga la desviación estándar en cada una de ellas y se promedien.

(2.15)

, donde m es el número de subgrupos (2.16)

(2.17)
Como el estadístico /c4 es un estimador insesgado de , los parámetros de la carta serán los siguientes:

LSCs = = B4 (2.18)

LCs =

LICs = = B3
Para el caso de la carta cuando /c4 es una forma de estimar , los límites de control para esta carta son:




LSCx = + = + A3 (2.19)

LCx =

LICx = - = - A3
Todas las constantes c4, A’s y B’s se encuentran tabuladas en función de n en la tabla de constantes (ver anexos).
Para cuando n es variable

En el caso de tamaño de muestra variable, se utiliza el promedio ponderado de las medias y de las desviaciones estándar como sigue:
(2.20)
(2.21)
Como método alterno para n variable se puede utilizar la si no hay mucha variación entre los diferentes tamaños de muestra (dentro de  25%).

Ventajas:

  • Esta gráfica es la más completa, más exacta, más sensible y proporciona mayor información, ya que utiliza los parámetros Media y Desviación estándar que son los que mejor definen una distribución de probabilidad.

  • Para tamaños de muestra en cada subgrupo moderadamente grande mayor a 9

  • Además para cuando la muestra del subgrupo es variable.

Desventajas:

No se puede utilizar la carta cuando el tamaño de muestra es pequeño menor a 6.

2.3.3.3 Gráficas de lecturas individuales.

Existen muchas situaciones donde el tamaño de muestra es n =1, por ejemplo:


  1. Cuando hay inspección automática de piezas individuales.

  2. La tasa de producción es muy baja y es inconveniente tomar muestras de más de una pieza.

  3. Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (sólo por errores de medición de laboratorio) como en procesos químicos.

  4. En plantas de proceso como las de papel, el espesor de los acabados tiene una variabilidad muy baja a través del rollo.


En tales situaciones se utiliza la carta de control por lecturas individuales. Los rangos móviles se empiezan a calcular a partir de la segunda muestra con:

= (2.22)

Para este caso, los límites de control para la carta son:

LSCx =

LCx = (2.23)

LICx =

Si n = 2
Ventajas:

  • Para cuando la variabilidad es muy baja y no se requiere tomar en cuenta más muestras

  • Cuando la producción es muy baja y es inconveniente tomar muestras de más de una pieza

Desventajas:

  • Esta carta es para casos en los que el tamaño de la muestra es n=1 y no mayor

  • Para datos variables que no pueden ser muestreos en lotes o grupos


Gráficas de control para la media

Estos gráficos se utilizan para observar los cambios en la media de una distribución13. Las gráficas de control para la media, muestran el limite de control inferior (LIC) y el limite de control superior (LSC), estos dos límites de control corresponden a los valores críticos que involucran a los límites de control (C1 y C2). En el momento en que una muestra caiga fuera del intervalo entre los límites de control, se rechaza la hipótesis y se dice que el proceso está fuera de control. Esto nos indica que existe una desviación en el proceso que sale de los límites especificados. Para esto se requiere un acción cada vez que esto suceda.

Gráficas de control para la desviación estándar.

Los gráficos s (desviación estándar) se utiliza en lugar del gráfico R, a fin de observar los cambios en la dispersión o variación de una distribución. Para hacer una gráfica de control para la desviación estándar se necesita un límite de control superior o si se desea una gráfica con límite de control superior y límite de control inferior.
2.3.4 Construcción de una carta de control
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